江苏省2019高考数学总复习 优编增分练：高考填空题分项练7 直线与圆

高考填空题分项练7 直线与圆
1．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.
答案1
解析因为两直线互相垂直，
所以1×2＋（－2)×m＝0⇒m＝1。

2．圆心坐标为（2，－1)的圆截直线x－y－1＝0所得的弦长为2错误!，则此圆的方程为________．答案(x－2)2＋(y＋1)2＝4
解析圆心到直线的距离d＝错误!＝错误!，
由于弦心距d，半径r及弦长的一半构成直角三角形,
所以r2＝d2＋（2）2＝4,
所以所求圆的方程为(x－2)2＋（y＋1）2＝4。

3．已知两点A（3，0)，B（0，4)，动点P(x，y）在线段AB上运动，则xy的最大值是________．答案3
解析AB线段的方程为错误!＋错误!＝1（0≤x≤3）,
则x＝3错误!，xy＝错误!＝错误!，
所以当y＝2，即x＝错误!时，（xy)max＝3。

4．直线l1：x－y＋1＝0关于点P（1，1)对称的直线l2的方程为________．
答案x－y－1＝0
解析方法一设点M（x,y）是直线l2上的任意一点,
点M关于点P（1，1）的对称点为N,
则点N的坐标为(2－x,2－y)．
∵直线l1与l2关于点P(1，1）对称，
∴点N（2－x,2－y）在直线l1上，
∴（2－x ）－（2－y ）＋1＝0,即x －y －1＝0.
∴直线l 2的方程为x －y －1＝0。

方法二 ∵点P 不在直线l 1上，所以l 2∥l 1，
设l 2的方程为x －y ＋c ＝0，在l 1上取点A （－1，0），
则点A 关于点P 的对称点A ′(3,2）在直线l 2上，
∴3－2＋c ＝0,即c ＝－1，
∴直线l 2的方程为x －y －1＝0。

5．(2018·镇江期末)已知圆C 与圆M ：x 2＋y 2
＋10x ＋10y ＝0相切于原点，且过点A （0，－6）,则圆C 的标准方程为________________．
答案 （x ＋3）2＋（y ＋3)2＝18
解析 设圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，其圆心为C (a ，b )，半径为r （r 〉0)，
∵圆M ：x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0可化简为（x ＋5)2＋(y ＋5)2＝50，
∴其圆心M (－5，－5），半径为5错误!，
将A （0，－6)代入（x ＋5)2＋(y ＋5）2＝26〈50,
∴A 点在圆M ：(x ＋5）2＋（y ＋5）2＝50的内部，
∴两圆内切于原点O ,
∵圆C 过点（0，－6），
∴错误!
解得a ＝－3，b ＝－3，r ＝3错误!,
∴圆C 的标准方程为（x ＋3）2＋(y ＋3)2＝18.
6．（2018·全国大联考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中,若直线y ＝错误!x ＋m 上存在一点A ，圆C ：x 2＋（y －2）2＝4上存在一点B ，满足错误!＝4错误!，则实数m 的取值范围为________．
答案 [8－4错误!,8＋4错误!]
解析 设点B （x 0，y 0），
因为错误!＝4错误!,
所以点A (4x 0,4y 0)，
因为点A 在直线y ＝12
x ＋m 上， 所以4y 0＝2x 0＋m ，
而点B （x 0，y 0）在圆C 上，
所以x 错误!＋（y 0－2)2＝4，
由题意关于x 0，y 0的方程组错误!有解,
消去x 0，整理得5y 错误!－（4＋2m ）y 0＋错误!＝0，
所以Δ＝－m 2＋16m ＋16≥0,
解得实数m 的取值范围为［8－45,8＋4错误!]．
7．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0（a>0）的公共弦长为2错误!，则a＝________.
答案1
解析如图，设两圆的公共弦为AB，AB交y轴于点C，连结OA，则OA＝2。

把x2＋y2＝4与x2＋y2＋2ay－6＝0相减，得2ay＝2，
即y＝错误!为公共弦AB所在直线的方程,所以OC＝错误!.
因为AB＝2错误!，所以AC＝错误!,
在Rt△AOC中，OC2＝OA2－AC2，即错误!＝4－3＝1，
又因为a〉0，所以a＝1。

8．已知点A（4，－3）与点B(2，－1）关于直线l对称,在l上有一点P,使点P到直线4x＋3y－2＝0的距离等于2，则点P的坐标是________．
答案（1，－4）或错误!
解析由题意知线段AB的中点为C（3，－2)，k AB＝－1，
故直线l的方程为y＋2＝x－3,即y＝x－5.
设P(x，x－5),则2＝错误!，解得x＝1或x＝错误!.
即点P的坐标是（1,－4)或错误!。

9．已知直线l过点P(1，2）且与圆C：x2＋y2＝2相交于A，B两点，△ABC的面积为1，则直线l的方程为____________________．
答案x－1＝0或3x－4y＋5＝0
解析由S△ABC＝错误!×错误!×错误!×sin∠ACB＝1，
得sin∠ACB＝1，所以∠ACB＝90°，
若直线l的斜率存在，则点C(0，0)到直线l的距离为1，
设直线l的方程为y－2＝k（x－1)，利用距离公式可得k＝错误!，此时直线l的方程为3x－4y＋5＝0.
当k不存在时，x－1＝0满足题意．
综上，直线l的方程为x－1＝0或3x－4y＋5＝0。

10．已知经过点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
132的两个圆C 1，C 2都与直线l 1:y ＝错误!x ，l 2：y ＝2x 相切，则这两圆的圆心距C 1C 2＝________。

答案 错误!
解析 假设圆心所在直线为y ＝kx ，则
直线上点（1,k ）到l 1,l 2的距离相等，
即错误!＝错误!,解得k ＝1（－1舍去)．
故假设圆C 1：(a －1）2＋错误!2
＝错误!，
圆C 2:(b －1）2＋错误!2＝错误!，
即圆C 1：36a 2－100a ＋65＝0，
圆C 2：36b 2－100b ＋65＝0。

∴a ＋b ＝错误!，ab ＝错误!,
∴C 1C 2＝错误!＝错误!。

11．已知点P 在直线l ：y ＝x ＋1上,过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0的切线，切点分别是A ，B ，AB 的中点为Q ，若点Q 到直线l 的距离为错误!，则点Q 的坐标是________．
答案 错误!或错误!
解析 圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0的标准方程为
（x －1)2＋（y ＋2)2＝9.
设P （a ,a ＋1）,则P ，A ，C ，B 四点共圆，
该圆以PC 为直径，
方程为(x －a ）(x －1）＋(y －a －1）(y ＋2)＝0，
即x 2＋y 2－（a ＋1）x ＋(1－a )y －a －2＝0，
与圆C 的方程相减得，
弦AB 所在直线的方程为(a －1）x ＋(a ＋3)y ＋a －2＝0，
即a (x ＋y ＋1）－x ＋3y －2＝0,
该直线恒过直线x ＋y ＋1＝0与－x ＋3y －2＝0的交点M 错误!。

又由圆的几何性质可得CQ ⊥QM ，
则点Q 在以CM 为直径的圆上，
圆心是CM 的中点N 错误!，
半径为错误!CM ＝错误! 错误!＝错误!,
点N 到直线l ：y ＝x ＋1的距离为错误!，
由点Q 到直线l 的距离为错误!,
易知直线NQ 与l 平行，
此时直线NQ 的方程为y ＝x －错误!，
Q为直线NQ与圆N的交点，
联立y＝x－错误!与错误!2＋错误!2＝错误!，
得Q的坐标为错误!或错误!。

12．已知线段AB的长为2，动点C满足错误!·错误!＝λ（λ>－1），且点C总不在以点B为圆心，错误!为半径的圆内，则实数λ的最大值是________．
答案－错误!
解析建立平面直角坐标系（图略）,B(0，0)，A（2,0）,
设C(x，y)，则错误!·错误!＝x(x－2）＋y2＝λ，
则(x－1)2＋y2＝λ＋1,
点C的轨迹是以(1,0）为圆心，错误!为半径的圆且与x2＋y2＝错误!外离或外切．
所以0〈错误!≤错误!，解得－1〈λ≤－错误!,
所以λ的最大值为－错误!。

13．在平面直角坐标系xOy中,已知圆O：x2＋y2＝1，O1：（x－4)2＋y2＝4,动点P在直线x＋错误!y－b＝0上，过P分别作圆O，O1的切线,切点分别为A，B，若满足PB＝2PA的P点有且只有两个,则实数b的取值范围是________．
答案错误!
解析设P点坐标为(x，y）,
∵PB＝2PA，∴PB2＝4PA2，
即（x－4)2＋y2－4＝4(x2＋y2－1)，
整理得3x2＋3y2＋8x－16＝0.
方法一该方程表示一个圆，圆心错误!,r＝错误!。

∵P点有且只有两个,∴直线和此圆相交，
故错误!<错误!，解得b∈错误!。

方法二∵P点在直线x＋错误!y－b＝0上,
∴错误!y＝－x＋b，代入3x2＋3y2＋8x－16＝0，
得4x2＋(8－2b)x＋b2－16＝0。

∵P点有且只有两个，∴方程有两个不相等的实数根，
即Δ〉0，整理得3b2＋8b－80<0，∴b∈错误!。

14．（2018·南京模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆M：x2＋y2－6x－4y＋8＝0与x轴的两个交点分别为A，B，其中A在B的右侧，以AB为直径的圆记为圆N，过点A作直线l与圆M，圆N分别交于C,D两点．若D 为线段AC的中点，则直线l的方程为____________．
答案x＋2y－4＝0
解析由题意得圆M的方程为（x－3)2＋（y－2）2＝5，
令y＝0，得x＝2或x＝4，所以A(4,0），B(2，0）．
则圆N的方程为(x－3）2＋y2＝1，
由题意得直线l斜率存在，所以设直线l：y＝k（x－4）．
联立直线l的方程和圆M的方程并消去y，
得（1＋k2)x2－(8k2＋4k＋6）x＋16k2＋16k＋8＝0,
所以4＋x C＝错误!，①
联立错误!
得（1＋k2）x2－（8k2＋6)x＋16k2＋8＝0，
所以4＋x D＝错误!，②
因为x C＋4＝2x D,③
解①②③得k＝－错误!。

所以直线l的方程为x＋2y－4＝0.。