辽宁省阜新二高2020学年高二数学下学期寒假验收考试试题

辽宁省阜新二高2020学年高二数学下学期寒假验收考试试题
考试时间：120分钟 总分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分，每小题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的)
1.若集合A={x|x 2
﹣2x ﹣3＜0}，集合B={x|x ＜1}，则A ∩B 等于（ ） A ．（1，3） B ．（﹣∞，﹣1） C ．（﹣1，1）
D ．（﹣3，1）
2.从编号为1，2，…，80的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为8的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，若S △ABC =
（其中S △ABC 表示△
ABC 的面积），且（+）•=0，则△ABC 的形状是（ ）
A ．等腰直角三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．有一个角是30°的等腰三角形 4.已知数列{a n }是等比数列，且a 1=8
1，a 4=-1，则{a n }的公比q 为（ ）
A.2
B.
2
1
C.-2
D.21
5.5位同学站成一排照相，其中甲与乙必须相邻，且甲不能站在两端的排法总数是（ ） A..40 B.36 C.32 D.24
6.抛物线y=3x 2
的焦点坐标是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
7.若焦点在x 轴上的椭圆+=1的离心率是，则m 等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8.已知命题p ：x ∈A ∪B ，则非p 是（ ） A ．x 不属于A ∩B B ．x 不属于A 或x 不属于B C ．x 不属于A 且x 不属于B
D ．x ∈A ∩B
9.已知两定点F 1（﹣5，0），F 2（5，0），动点P 满足|PF 1|﹣|PF 2|=2a ，则当a=3和5时，P 点的轨迹为（ ）
A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条直线D．双曲线的一支和一条射线
10.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为
．若a2sinC=4sinA，（a+c）2=12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为（）
A．B．2 C．3 D．
11.．如图，设抛物线y=﹣x2+1的顶点为A，与x轴正半轴的交点为B，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M，随机往M内投一点P，则点P落在△AOB内的概率是（）
A．B．C．D．
12.设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）
A．[）B．[） C．[）D．[）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上）
13.复数 2-i （i为虚数单位）的虚部为
14.已知x，y∈R+，且满足x+2y=2xy，那么x+4y的最小值为。

15.把8个相同的篮球任意分发给甲、乙、丙、丁4所中学，不同的分法
共有多少种。

16.如图，O为△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC为钝角
M是边BC的中点，则•的值为
三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17. （本小题满分10分）
有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子．问：
（1）共有多少种放法？
（2）恰有一个空盒，有多少种放法？
（3）恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？
18. （本小题满分12分）
△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若cos（π﹣B）=﹣．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a=4，c=2，求b和A的值．
19（本小题满分12分）
.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD=1．
（1）证明：平面PQC⊥平面DCQ
（2）求二面角B﹣PC﹣Q的余弦值．
20. （本小题满分12分）
已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．
21. （本小题满分12分）
设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物线y2=2px （p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．
（I）求椭圆的和抛物线的方程；
（II）设l上方程两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ
与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．
22. （本小题满分12分）
设函数f（x）=lnx+，m∈R．
（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；
（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；
（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．
高二理数答案
一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.C
2.B
3.A
4.C
5.B
6.D
7. B
8.C
9. D10.A11.C12.D
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上） 11． －1 12． 322 15. 165. 16. .5
三、解答题：（本大题共 6 小题，共 80分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
18解：（I ）∵，∴
，∴
…4 分（II）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=16+4﹣8=12，
解得…7 分
由正弦定理可得，即
，
故…10分
19.答案解：（1）由题意可得QA⊥平面ABCD，∴QA⊥CD．
由四边形ABCD为正方形知DC⊥AD，又QA、AD⊂平面PDAQ，QA∩AD=A，
∴CD⊥平面PDAQ，∴CD⊥PQ．
在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，
∴PQ2+DQ2=PD2．
由勾股定理得逆定理得：PQ⊥QD．
又CD、QD为平面ADCB内两条相交直线，
∴PQ⊥平面DCQ．
再由PQ⊂平面PQC，可得平面PQC⊥平面DCQ．
（2）如图，建立以D为坐标原点，DA，DP，DC分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
∵QA=AB=PD=1，∴PD=2，
则Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0），B（1，0，1），
=（1，0，0），
=（﹣1，2，﹣1）．
设=（x，y，z）是平面的PBC法向量，则
，即
，
可取=（ 0，﹣1，﹣2）．
同理求得平面PCQ的法向量=（x，y，z）．
则=（0，﹣2，1），
=（﹣1，1，0），
则，令y=1，则x=1，z=2，即
=（1，1，2）．
所以cos＜，
＞==
=
=﹣
，
∵二面角B﹣PC﹣Q是锐二面角，
即二面角二面角B﹣PC﹣Q的余弦值为．
20.解：（Ⅰ）等差数列{a n}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，
所以{a n}的通项公式：a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9，
等比数答案列{b n}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．∴q2=3，
{b2n﹣1}是等比数列，公比为3，首项为1．
b1+b3+b5+…+b2n﹣
1==
．
21.（Ⅰ）解：设F的坐标为（﹣c，0）．
依题意可得，
解得a=1，c=，p=2，于是b2=a2﹣c2=．
所以，椭圆的方程为x2+=1，抛物线的方程为y2=4x．
（Ⅱ）解：直线l的方程为x=﹣1，设直线AP的方程为x=my+1（m≠0），
联立方程组，解得点P（﹣1，﹣
），故Q（﹣1，
）．
联立方程组，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，
解得y=0，或y=﹣．
∴B（，
）．
∴直线BQ的方程为（﹣
）（x+1）﹣（）（y﹣
）=0，
令y=0，解得x=，故D （，0）．
∴|AD|=1﹣
=
．
又∵△APD的面积为，∴
×
=
，
整理得3m2﹣2|m|+2=0，解得
|m|=，∴m=±
．
∴直线AP的方程为3x+y﹣3=0，或3x﹣
y﹣3=0．
22.解：（Ⅰ）当m=e时，f（x）=lnx+，∴f′（x）=；
∴当x∈（0，e）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上是减函数；
当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上是增函数；
∴x=e时，f（x）取得极小值为f（e）=lne+=2；（Ⅱ）∵函数g（x）=f′（x）﹣
=
﹣
﹣（x＞0），
令g（x）=0，得m=﹣x3+x（x＞0）；
设φ（x）=﹣x3+x（x＞0），
∴φ′（x）=﹣x2+1=﹣（x﹣1）（x+1）；
当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上是增函数，
当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上是减函数；
∴x=1是φ（x）的极值点，且是极大值点，
∴x=1是φ（x）的最大值点，
∴φ（x）的最大值为φ（1）=；
又φ（0）=0，结合y=φ（x）的图象，如图；
可知：①当m＞时，函数g（x）无零点；
②当m=时，函数g（x）有且只有一个零点；
③当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；
④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；
综上，当m＞时，函数g（x）无零点；
当m=或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；
当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；
（Ⅲ）对任意b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；
设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），
则h（b）＜h（a）．
∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；
∵h′（x）=﹣
﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，
∴m≥﹣x2+x=﹣
+
（x＞0），
∴m≥；
对于m=，h′（x）=0仅在
x=时成立；
∴m的取值范围是[，+∞）．。