自考线性代数证明题

27．证明：若A 为3阶可逆的上三角矩阵，则1-A 也是上三角矩阵．
证：设⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=3323221312110
00
a a a a a a A ，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==*-3323
13
322212
3121
11
1||1||1A A A A A A A A A A A A A ， 其中000332312=-
=a a A ，00002213=-=a A ，00
12
11
23=-=a a
A ， 所以⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=-3332223121111
||1A A A A A A A A 是上三角矩阵． 四、证明题（本大题6分）
27．设A 是n 阶方阵，且0)(2=+E A ，证明A 可逆．
证：由0)(2=+E A ，得022=++E A A ，E A A =+-)2(2，E A E A =+-)2(．
所以A 可逆，且)2(1E A A +-=-． 四、证明题（本大题6分）
27．设向量组1α,2α线性无关，证明向量组211ααβ+=，212ααβ-=也线性无关． 证：设02211=+ββk k ，即0)()(212211=-++ααααk k ，0)()(221121=-++ααk k k k ．
由1α,2α线性无关，得⎩⎨⎧=-=+00
21
21k k k k ，因为
021111≠-=-，方程组只有零解，所以1β,2β线性无关．
四、证明题（本题6分）
27．设n 阶矩阵A 满足A A =2，证明A E 2-可逆，且A E A E 2)2(1-=--．
证：由A A =2，得E A A E A A E A E A E =+-=+-=--4444)2)(2(2，所以A E 2-可逆，且A E A E 2)2(1-=--．
四、证明题（本大题6分）
27．设α为0=Ax 的非零解，β为b Ax =（0≠b ）的解，证明α与β线性无关． 证：设021=+βαk k ，则0)(21=+βαk k A ，021=+βαA k A k ，0021=+b k k ，由此可得
02=k ，从而01=αk ，又0≠α，可得01=k ，所以α与β线性无关．
27．设η为非齐次线性方程组Ax =b 的一个解，r ξξξ,,,21 是其导出组Ax =0的一个基础解系．证明r ξξξη,,,,21 线性无关．
证：设02211=++++r r k k k k ξξξη ， 则0)(2211=++++r r k k k k A ξξξη ， 02211=++++r r A k A k A k kA ξξξη ，
000021=++++r k k k kb ，0=kb ， 由0≠b ，得0=k --（1） 从而02211=+++r r k k k ξξξ ， 由r ξξξ,,,21 线性无关，得021====r k k k -（2） 由（1）（2）可知r ξξξη,,,,21 线性
四、证明题（本大题共1小题，6分）
27．设向量组321,,ααα线性无关，211ααβ+=，322ααβ+=，133ααβ+=，证明：向量组321,,βββ线性无关． 证：设0332211=++βββk k k ，即
0)()()(133322211=+++++ααααααk k k ， 0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k ，
因为321,,ααα线性无关，必有⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=+=+000322131
k k k k k k ，
021
11
11
101101
01110011101||≠=-=-==A ，
方程组只有零解：0321===k k k ，所以321,,βββ线性无关．
四、证明题（本题6分）
27．已知A 是n 阶矩阵，且满足方程022=+A A ，证明A 的特征值只能是0或2-．
证： 设a 是A 的特征值, 则 a^2+2a 是 A^2+2A 的特征值
而 A^2+2A =0, 零矩阵的特征值只能是0 所以 a^2+2a = 0 所以 a(a+2)=0 所以 a=0 或 a=-2 即A 的特征值只能是0或-2.
四、证明题（本大题共1小题，6分）
27．证明：若向量组n ααα,,,21 线性无关，而
n n n n ααβααβααβααβ+=+=+=+=-132321211,,,, ，
则向量组n βββ,,,21 线性无关的充要条件是n 为奇数．
证：设02211=+++n n k k k βββ ，即0)()()(1232121=+++++++n n k k k k k k ααα ，
由n ααα,,,21 线性无关，可得齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧=+=+=+0
013221n k k k k k k ，其系数行列式
1
10000100
1
1
0001)1(1
0001
1000
0100
1
1
1
00011
1000001000
1
1
00011
||1
n
A +-+== n +-+=1)1(1，当且仅当n 为奇数时，0||≠A ，齐次方程组只有零解，n βββ,,,21 线性无
四、证明题(本题6分)
27．设向量组321,,ααα线性无关，且332211αααβk k k ++=．证明：若01≠k ，则向量组
32,,ααβ也线性无关．
证：设033221=++ααβx x x ，即0)()(33132212111=++++αααx x k x x k x k ．
由321,,ααα线性无关，可得⎪⎩⎪
⎨⎧=+=+=00031
32121
1x x k x x k x k ．
若01≠k ，则方程组的系数行列式01
0010
013
2
1
≠=k k k k ，
只有0321===x x x ，所以32,,ααβ 四、证明题（本大题6分）
27.已知向量组α1,α2，α3，α4线性无关，证：α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1线性无 证明：设存在不全为0的实数k1,k2,k3,k4,k5使得
k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α4)+k4(α4+α5)+k5(α5+α1)=0 则(k1+k5)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3+(k3+k4)α4+(k4+k5)α5=0 因为向量组α1.α2.α3.α4,α5线性无关，所以k1+k5=0，k1+k2=0，k2+k3=0，k3+k4=0，k4+k5=0 解得k1=k2=k3=k4=k5=0
所以不存在不全为0的实数使k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α4)+k4(α4+α5)+k5(α5+α1)=0， 所以向量组α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α5,α5+α1线性无关。

四、证明题(本题6分)
27.设n 阶矩阵A 满足A 2=E,证明A 的特征值只能是1±.
证明：设λ是A 的任意一个特征值，α是λ所对应的特征向量
Aα=λα A²α=λAα Eα=α=λ·λα=λ²α λ²=1 λ=±1 所以A 的特征值只能是±1 四、证明题（本大题共1小题，6分）
27.设向量1α，2α，….,k α线性无关，1<j ≤k . 证明：1α+j α，2α，…,k α线性无关. 证明：由m1(a1+aj)+m2a2+...+mjaj+...+mkak=0得ma1+m2a2+...+(m1+mj)aj+...+mkak=0
因a1,a2,…，ak 线性无关故m1=0,m2=0,...,m1+mj=0,...,mk=0 即m1=0,m2=0,...,mj=0,...,mk=0 故a1+aj,a2,…，ak 线性无关 四、证明题（本大题共6分）
27．设A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵 证明：（1）AB -BA 为对称矩阵；（2）AB +BA 为反对称矩阵.
证明：（1） 因为(AB-BA)'= B'A'-A'B'= -BA+AB=AB-BA ，故AB-BA 对称 （2） (AB+BA)'= B'A'+ A'B'= -BA+A(-B)=-(AB+BA) 故 AB+BA 反对称 四、证明题（本大题6分）
27．设123ααα，，线性无关，证明1121323ααααα++，，也线性无关. 证明: 设 k1α1+k2(α1+α2)+k3(α1+α2+α3)=0. 则（k1+k2+k3)α1+(k2+k3)α2+k3α3 =0
因为α1，α2，α3线性无关 所以k1+k2+k3=0，k2+k3=0，k3=0， 因为齐次线性方程组的系数行列式 1 1 1 0 1 1
0 0 1 = 1 (不等于0) 所以方程组只有零解,即 k1=k2=k3=0. 所以 α1，α1+α2，α1+α2+α3 线性无关 # 四、证明题(本题6分)
27.设A 是3阶反对称矩阵，证明0.
=A
证明：因为A 是3阶反对称矩阵 所以 A^T = -A
所以 |A| = |A^T| = |-A| = (-1)^3|A| = -|A| 所以 |A| = 0 四、证明题（本大题共1小题，6分） 27．三阶矩阵A =11
121321
222331
32
33
a a a a a a a a a 行列式不等于 0，证：131112121222323313233,,a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
ααα线无
证明：设有一组数看k1 k2 k3 使k1a1，k2a2，k3a3=0即（a1,a2,a3）{k1,k2,k3}=0
亦即A{k1,k2,k3}=0故{k1.k2.k3}是AX=0的解注意到AX=0只有零解， 因为A 的秪等于3=未知量的个数， 故k1=k2=k3=0，从而a1,a2,a3线性无关。