数学_2010-2011学年湖北省武汉市部分重点中学高三(上)8月数学模拟试卷(理科)(含答案)

2010-2011学年湖北省武汉市部分重点中学高三（上）8月数学模
拟试卷（理科）
一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合A ={x|log 2x ≥8}，B ={x|
2x −12x −16
<0}，则A ∩B =( )
A φ
B [3, 4)
C (0, 3]
D (4, +∞)
2. 已知函数f(x)=√3sinωx +cosωx(ω>0)，y =f(x)的图象与x 轴两个相邻交点的距离等于π
2，则f(x)的单调递增区间是（ ）
A [kπ−π12, kπ+5π12]，k ∈Z
B [kπ+5π12，kπ+
11π
12
]，k ∈Z C [kπ−π
3，kπ+π6
]，k ∈Z D [kπ+π6
，kπ+
2π3
]，k ∈Z
3. 已知两条直线a ，b 和平面α，若b ⊂α，则a // b 是a // α的（ ）
A 充分但不必要条件
B 必要但不充分条件
C 充要条件
D 既不充分又不必要条件 4. 已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3=S 6，则数列{1
a n
}的前5项
和为( )
A 15
8
或5 B 31
16
或5 C 31
16
D 15
8
5. 已知数列{a n } 是通项a n 和公差都不为零的等差数列，设S n =1
a 1a 2
+1
a
2a 3
+⋯+1
a
n a n+1
，
则S n ＝（ ） A
n a 1a n+1
B
n a 1a n
C
n−1a 1a n
D
n−1a 1a n+1
6. 设变量x ，y 满足约束条件{y ≥0
x −y +1≥0x +y −3≤0
，则z ＝2x +y 的最大值为（ ）
A −2
B 4
C 6
D 8
7. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（ ） A 72 B 96 C 108 D 144
8. 不等式|x +4|−|x −2|≤a 2−5a 对任意实数恒x 成立，则实数a 的取值范围是（ ） A (−∞, −2]∪[3, +∞) B (−∞, −6]∪[1, +∞) C (−∞, −3]∪[2, +∞) D (−∞, −1]∪[6, +∞)
9. 已知a 为正实数，函数f(x)的反函数为g(x)=1+algx(x >0)，则f(1)+g(1)=( ) A 0 B 1 C 2 D 4
10.
如图，直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AC =BC =CC 1=1，且AC ⊥
BC ，过C 1作截面分别交AC ，BC 于E ，F ，且二面角C 1−EF −C 为60∘，则三棱锥C 1−EFC 体积的最小值为（ ） A 1
3 B 1
9 C 1
6 D √6
18
11. 已知圆O 的半径为1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为两切点，那么PA →
⋅PB →
的最小值为( )
A −4+√2
B −3+√2
C −4+2√2
D −3+2√2
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．
12. 在二项式(x 2−1
x )5的展开式中，含x 4的项的系数是________．
13. 已知|a →
|=2，|b →
|=3，a →
、b →
的夹角为60∘
，则|2a →
−3b →
|=________．
14. 若直线x +(1+m)y −2+m =0与直线2mx +4y +9=0平行，则m 的值为________．
15. 如图，在自空间一点O 出发引三条射线OA ，OB ，OC 中，平面OAB 垂
直于平面OBC ，设直线OA 和平面OBC 所成的角为θ；∠AOC =β；∠BOC =γ；二面角A −OC −B 的平面角为φ则有下面四个命题， ①cosβ=cosθcosγ； ②cosθ=cosβcosγ； ③sinφ=sinθsinβ；
④sinθ=sinβsinφ其中正确命题的序号是________：（写出所有正确答案的序号） 16. 已知椭圆C:
x 2a
2+
y 2b 2
=1(a >b >0)的离心率为√3
2
，过右焦点F 且斜率为k(k >0)的直线
与C 相交于A 、B 两点，若AF →
=3FB →
，则k ＝________．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知函数f(x)=3−2sin 2ωx −2cos(ωx +π
2
)cosωx(0<ω≤2)的图象过点(π
16
，2+
√2)．
（1）求ω的值及使f(x)取得最小值的x 的集合；
（2）该函数的图象可由函数y =√2sin4x(x ∈R)的图象经过怎样的变换得出？
18.
如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠ABC =90∘，2AB =
2BC =CC 1=2，D 是棱CC 1的中点． （1）求证B 1D ⊥平面ABD ；
（2）平面AB 1D 与侧面BB 1C 1C 所成锐角的大小．
19. 某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，椐统计，随机变量ξ的概率分布如下：
(II)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．
20. 已知椭圆C ：x 2
a 2+y 2=1(a >1)的上顶点为A ，左右焦点分别为F 1、F 2，直线AF 2与圆M:x 2+y 2−6x −2y +7=0相切． (I)求椭圆的方程；
(II)若椭圆C 内的动点P ，使|PF 1|，|PO|，|PF 2|成等比数列（O 为坐标原点，）求PF 1→
⋅PF 2→
的取值范围．
21. 设函数f(x)=−1
3x 3+2ax 2−3a 2x +b ，0<a <1．
(1)求函数f(x)的单调区间、极值；
(2)若当x ∈[a +1, a +2]时，恒有|f′(x)|≤a ，试确定a 的取值范围．
22. 已知数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ∗)，且S n =(m +1)−ma n 对任意自然数都成立，其中m 为常数，且m <−1． (1)求证数列{a n }是等比数列．
(2)设数列{a n }的公比q =f(m)，数列{b n }满足：b 1=1
3a 1，b n =f(b n−1)(n ≥2, n ∈N ∗)，试问当m 为何值时，lim n →∞b n (lga n )=lim
n →∞3(b 1b 2+b 2b 3+b 3b 4+⋯b n−1b n )成立？
2010-2011学年湖北省武汉市部分重点中学高三（上）8月数学模
拟试卷（理科）答案
1. A
2. C
3. D
4. C
5. A
6. C
7. C
8. D
9. C
10. B
11. D
12. 10
13. √61
14. 1或−2
15. ①，④
16. √2
17. 解：（1）f(x)=3−(1−cos2ωx)+2sinωcosωx=2+cos2ωx+sin2ωx
=2+√2sin(2ωx+π4 )
∵ 函数f(x)的图象过点(π
16
，2+√2)
∴ 2+√2=2+√2sin(2ω×π
16+π
4
)
即sin(π
8ω+π
4
)=1，∴ π
8
ω+π
4
=2kπ+π
2
(k∈Z)
∴ 0<ω≤2，∴ 当k=0时，ω=2即的求ω的值为2故f(x)=2+√2sin(4x+π
4
)
当f(x)取最小值时，sin(4x+π
4)=−1，此时4x+π
4
=2kπ−π
2
(k∈Z)
∴ x=kπ
2−3
16
π(k∈Z)．
即，使f(x)取得最小值的x的集合为{x|x=kπ
2−3
16
π，k∈Z}
（2）由（1）可知f(x)=2+√2sin(4x+π
4
)
∴ 函数f(x)=2+√2sin(4x+π
4
)的图象可由y=√2sin4x的图象经过以下变换得出；
先把y=√2sin4x图象上所有的点向左平移π
16
个单位长度，
得到函数y=√2sin(4x+π
4
)的图象，再把所得图象上的所有点，
向上平移2个单位长度，从而得到函数y=2+√2sin(4x+π
4
)，x∈R的图象．
18.
解：方法一：（1）证明：在Rt △B 1C 1D 中，∠B 1C 1D =90∘，B 1C 1=1，
C 1
D =1
2C 1C =1
∴ B 1D =√2，同理BD =√2
在△B 1DB 中，∵ B 1D 2+BD 2=B 1B 2∴ ∠B 1DB =90∘
即B 1D ⊥BD 又∵ 在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠ABC =90∘
∴ AB ⊥平面BB 1C 1C ，而B 1D ⊂平面BB 1C 1C ，∴ B 1D ⊥ABAB ∩BD =B∴ B 1D ⊥平面ABD ； （2）由（1）知BD ⊥B 1D ，AD ⊥B 1D ，平面AB 1D ∩平面BB 1C 1C =B 1D ∴ ∠ADB 就是平面AB 1D 与侧面BB 1C 1C 的成角的平面角 在Rt △ABD 中，∠ABD =90∘，AB =1，BD =√2 ∴ tan∠ADB =AB
BD =
1√
2
=√2
2
，∴ ∠ADB =arctan
√2
2
． 即平面AB 1D 与侧面BB 1C 1C 所成锐角的大小为arctan √2
2
． 方法二：
证明：（1）如图所示建立空间直角坐标系B −xyz 则A(0, 1, 0)，B(0, 0, 0)C(1, 0, 0)， D(1, 0, 1)，B 1(0, 0, 2)，C 1(1, 0, 2) 于是B 1D →
=(1, 0, −1)，BD →
=(1, 0, 1)， AD →
=(1,−1,1)，BA →
=(0, 1, 0)
（1）∵ B 1D ¯
⋅BD ¯
=(1, 0, −1)(1, 0, 1)=0 B 1D ¯
⊥AD ¯=(1, 0, −1)(1, −1, 1)=0
∴ B 1D ¯⊥BD ¯，B 1D ¯⊥AD ¯
，即B 1D ⊥BD ，B 1D ⊥AD ， 又AD ∩BD =D∴ B 1D ⊥平面ABD 1
（2）设平面AB 1D 的法向量为n →
=(a, b, c)， 则由{n →
⋅AD →
=0˙得{a −c =0
a −
b +
c =0
令c =1得a =1，b =2∴ n =(1, 2, 1)， 易知平面BB 1C 1C 的法向量为BA →
=(0, 1, 0)
设平面AB 1D 与平面BB 1C 1C 所成角的大小为θ 则cosθ=|n →
||BA →
|˙=
√63
即平面AB 1D 与侧面BB 1C 1C 所成锐角的大小为arccos
√63
． 19. 解：(1)由概率分布的性质有0.1+0.3+2a +a =1，解得a =0.2， ∴ ξ的概率分布为
(2)设事件A 表示“两个月内共被投诉2次”事件A 1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；
事件A 2表示“两个月内每月均被投诉1次” 则由事件的独立性得
P(A 1)=C 21
P(ξ=2)P(ξ=0)=2∗0.4∗0.1=0.08 P(A 2)=[P(ξ=1)]2=0.32=0.09
∴ P(A)=P(A 1)+P(A 2)=0.08+0.09=0.17
故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17
20. 解：(1)将圆M:x 2+y 2−6x −2y +7=0化为标准方程(x −3)2+(y −1)2=3， 圆M 的圆心为M(3, 1)，半径为r =√3，
由A(0,1),F 2(c,0)，(c =√a 2−1)得直线AF 2:x
c +y =1，即x +cy −c =0
直线AF 2与圆M ：相切得
√c 2+1
=√3，c =√2，c =−√2（舍去）
当c =√2时，a 2=c 2+1=3，故椭圆C 的方程为x 2
3+y 2=1 (2)由(1)得，F 1(−√2,0)，F 2(√2,0)，设P(x, y)，
由题意得|PO|2=|PF 1||PF 2|，即(√x 2+y 2)2=√(x +√2)2+y 2⋅√(x −√2)2+y 2 化简得：x 2−y 2=1
PF 1→
⋅PF 2→
=x 2−2+y 2=2x 2−3 ∵ 点P 为椭圆内的动点，∴ 1≤x 2<3
2
∴ −1≤PF 1→⋅PF 2→
<0
21. 解：f ′(x)=−x 2+4ax −3a 2．令f ′(x)=−x 2+4ax −3a 2=0，得x =a 或x =3a 由表
可知：当x ∈(−∞, a)时，函数f(x)为减函数，当x ∈(3a, +∞)时．函数f(x)也为减函数；
当x ∈(a, 3a)时，函数f(x)为增函数．
当x =a 时，f(x)的极小值为−4
3a 3+b ；当x =3a 时，f(x)的极大值为b ．
(2)由|f ′(x)|≤a ，得−a ≤−x 2+4ax −3a 2≤a ．
∵ 0<a <1，∴ a +1>2a ，f ′(x)=−x 2+4ax −3a 2在[a +1, a +2]上为减函数． ∴ [f ′(x)]max =f ′(a +1)=2a −1，[f ′(x)]min =f ′(a +2)=4a −4．
于是，问题转化为求不等式组{2a −1≤a
4a −4≥−a
的解．解得45≤a ≤1．又0<a <1，∴ 45≤
a <1．
22. 解：(I)由已知S n+1=(m +1)−ma n+1(1)S n =(m +1)−ma n (2) 由(1)−(2)得：a n+1=ma n −ma n+1，
即(m +1)a n+1=ma n 对任意n ∈N ∗都成立．∵ m 为常数，且m <−1． 又∵ a 1=1≠0∴
a n+1a n
=
m
m+1
，即数列{a n }等比数列
(II)当n =1时，a 1=(m +1)−ma 1∴ a 1=1，从而b 1=13
，由(1)得， ∴ b n =f(b n−1)=b n−1
b n−1+1
(n ≥2,n ∈N ∗)
∴ 1b n
=1+1
b
n−1
，即1
b n
−1
b
n−1
=1．
∴ {1b n
}为等差数列，
1
b n
=3+(n −1)=n +2，b n =
1n+2
(n ∈N ∗)
∵ a 1=1数列{a n }的公比为m
m+1，即q =f(m)=m
m+1从而a n =(m
m+1)n−1
lim
n →∞b n
(lga n )=lim n →∞n−1n+2⋅lg m m+1=(lim n →∞n−1n+2)lg m m+1=lg m m+1lim n →∞3(b 1b 2+b 2b 3+b 3b 4++b n−1b n )=lim
n →∞3(13−14+14−15
++1n+1−1n+2)=1
由题意知lg
m m+1
=1，∴
m m+1
=10，∴ m =−10
9。