2020年高考数学考点突破—不等式、推理与证明1：不等式的性质与一元二次不等式

2020年高考数学考点突破不等式、推理与证明（1）
第1讲 不等式的性质与一元二次不等式
【考点梳理】
1．实数的大小顺序与运算性质的关系 (1)a >b ⇔a －b >0； (2)a ＝b ⇔a －b ＝0； (3)a <b ⇔a －b <0. 2．不等式的性质
(1)对称性：a >b ⇔b <a ；(双向性) (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；(单向性) (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；(双向性) a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(单向性) (4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ； a >b ，c <0⇒ac <bc ；
a >
b >0，
c >
d >0⇒ac >bd ；(单向性)
(5)乘方法则：a >b >0⇒a n >b n (n ≥2，n ∈N )；(单向性)
(6)开方法则：a >b >0n ≥2，n ∈N )；(单向性) (7)倒数性质：设ab >0，则a <b ⇔1a >1
b .(双向性)
3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
【考点突破】
考点一、不等式的性质及应用【例1】(1)已知x，y∈R，且x>y>0，则()
A.1x －1y >0 B ．sin x －sin y >0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭
⎪⎫12y <0 D ．ln x ＋ln y >0
(2)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围． [答案](1)C
[解析]函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上为减函数，∴当x >y >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，
即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫
12y <0，故C 正确；函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，由x >y >0⇒1x <
1y ⇒1x －1
y <0，故A 错误；函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，当x >y >0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误；x >y >0⇒xy >0⇒/ ln(xy )>0⇒/ ln x ＋ln y ＞0，故D 错误．
(2)由题意知f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ， f (－2)＝4a －2b .
设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b ， 则⎩⎨⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎨⎧
m ＝1，n ＝3， ∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1). ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤f (－2)≤10，
即f (－2)的取值范围为[5,10]. 【类题通法】
1.对于不等式的常用性质，要弄清其条件和结论，不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据，因为解不等式要求的是同解变形．
2．判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．
3．由a <f (x ，y )<b ，c <g (x ，y )<d 求F (x ，y )的取值范围，要利用待定系数法解决，即设F (x ，y )＝mf (x ，y )＋ng (x ，y )，用恒等变形求得m ，n ，再利用不等式的性
质求得F (x ，y )的取值范围．
【对点训练】
1．若1a <1
b <0，则下列结论不正确的是( ) A ．a 2<b 2 B ．ab <b 2 C ．a ＋b <0
D ．|a |＋|b |>|a ＋b |
2．若角α，β满足－π
2<α<β<π，则α－β的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3π2 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，0 [答案]1．D 2．B
[解析]1．由题可知b <a <0，所以A ，B ，C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误，选D.
2．∵－π2<β<π，∴－π<－β<π2， ∴－3π2<α－β<3π2. 又∵α<β，∴α－β<0， 从而－3π
2<α－β<0.
考点二、一元二次不等式的解法
【例2】解下列不等式： (1)3＋2x －x 2≥0； (2)x 2－(a ＋1)x ＋a <0.
[解析] (1)原不等式化为x 2－2x －3≤0， 即(x －3)(x ＋1)≤0，
故所求不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}. (2)原不等式可化为(x －a )(x －1)<0，
当a >1时，原不等式的解集为(1，a )； 当a ＝1时，原不等式的解集为∅； 当a <1时，原不等式的解集为(a,1).
[变式]将(2)中不等式改为ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)，求不等式的解集． [解析]原不等式变为(ax －1)(x －1)<0，因为a >0，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －1a (x －1)<0.
所以当a >1时，解集为1
a <x <1； 当a ＝1时，解集为∅； 当0<a <1时，解集为1<x <1
a . 综上，当0<a <1
时，不等式的解集为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
1<x <1
a
； 当a ＝1时，不等式的解集为∅； 当a >1
时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪
⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
1a
<x <1. 【类题通法】
1.解一元二次不等式的步骤：
(1)使一端为0且把二次项系数化为正数．
(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法． (3)写出不等式的解集．
2．解含参数的一元二次不等式的步骤：
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
【对点训练】
已知不等式ax 2
－bx －1>0
的解集是⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x | －12<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的
解集是( )
A ．{x |2<x <3}
B ．{x |x ≤2或x ≥3}
C.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x | 13<x <12 D.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x | x <13或x >12 [答案]B
[解析]∵不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x | －12<x <－13，
∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－1
3，且a <0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
－12－13＝b a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫
－13＝－1a ，
解得⎩⎨⎧
a ＝－6，
b ＝5.
则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3.
考点三、一元二次不等式恒成立问题
【例3】不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是__________.
[答案] (－2,2]
[解析]当a －2＝0，即a ＝2时，不等式即为－4<0，对一切x ∈R 恒成立， 当a ≠2时，则有⎩⎨⎧
a －2<0，Δ＝4(a －2)2
＋16(a －2)<0， 即⎩⎨⎧
a <2，－2<a <2，
∴－2<a <2. 综上，可得实数a 的取值范围是(－2,2]．
【例4】设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．
[解析]要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3
4m －6<0在x ∈[1,3]
上恒成立.
有以下两种方法：
法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3
4m －6，x ∈[1,3]．
当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <6
7； 当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，
所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0. 综上所述：m
的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫m ⎪
⎪⎪
m <6
7
. 法二：因为x 2
－x ＋1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122＋3
4>0，
又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6
x 2－x ＋1
.
因为函数y ＝
6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3
4
在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <6
7即可．
所以m
的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫m ⎪
⎪⎪
m <67. 【例5】对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是__________．
[答案]{x |x <1或x >3}
[解析]x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立， 即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0， 在k ∈[－1,1]时恒成立．
只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎨⎧
x 2
－5x ＋6>0，
x 2－3x ＋2>0，
解得x <1或x >3. 【类题通法】 恒成立问题求解思路
(1)一元二次不等式在R 上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解.
(2)一元二次不等式在x ∈[a ，b ]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围.
(3)一元二次不等式对于参数m ∈[a ，b ]恒成立确定x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.
【对点训练】
1．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )，若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是__________.
[答案]⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，32
[解析]由题意知(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，所以－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．
故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0， 所以4y 2－4y －3<0，解得－12<y <32.
2．若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．
[答案] (－∞，0]
[解析]∵不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立， ∴4x －2x ＋1≥a 在[1,2]上恒成立．
令y ＝4x －2x ＋1＝(2x )2－2×2x ＋1－1＝(2x －1)2－1. ∵1≤x ≤2，∴2≤2x ≤4.
由二次函数的性质可知：当2x ＝2，即x ＝1时，y 取得最小值0， ∴实数a 的取值范围为(－∞，0]．
3．已知a ∈[－1，1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为( )
A.(－∞，2)∪(3，＋∞)
B.(－∞，1)∪(2，＋∞)
C.(－∞，1)∪(3，＋∞)
D.(1，3)
[答案]C
[解析]把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4， 则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1，1]恒成立， 所以f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，
且f (1)＝x 2
－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩
⎨⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.。