2020年高考数学(文科)一轮复习第43讲立体几何的综合问题

听课手册第43讲立体几何的综合问题
................ 课前双基巩固
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1•平行问题的转化
性负
利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化卩从“线线平行”到“线面平行;'再到“面面平行”;而应用性质定理时，其顺序正好相反•在解题过程中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用.
2.垂直问题的转化
刿定
1ZL
=t|嫌面垂直I血面4；
L质1 —」性质
在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫.应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题
课堂考点探究
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©探究点一平行与垂直关系的证明
例1 [2018 •北京卷]如图7-43-1,在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD丄平
面ABCD，PA丄PD，PA=PD，E，F 分别为AD，PB 的中点.
(1)求证:PE丄BC;
(2)求证:平面PAB丄平面PCD;
⑶求证:EF //平面PCD.
［总结反思］证明面面关系的核心是证明线面关系，证明线面关系的核心是证明线线关系.证明线线平行的常用方法：(1)线面平行的性质定理；(2)三角形中位线法；(3)平行四边形法.证明线线垂直的常用方法:(1)等腰三角形三线合一；(2)勾股定理逆定理;(3)线面垂直的性质定理；(4) 菱形对角线互相垂直例2 [2018 •烟台二模]如图7-43-2所示，在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是矩形，E,F分别为BC,AP的中点.
(1)求证:EF //平面PCD;
(2)若平面PAB丄平面ABCD AD=AP= 1 AB=2,/ PAB=45 °求三棱锥P-DEF的体积.
图7-43-2
图 7-43-3
［总结反思］求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面
面问题去求解，注意求体积的一些特殊方法一一分割法、补形法、等体积法 •①割补法:求一
些不规则几何体的体积时 ，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决
•②等积法：等 积法包括等面积法和等体积法 •等积法的前提是几何图形 （或几何体）的面积（或体积）通过已
知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高 （或几何体的高）,特别是在求三角形
的高（或三棱锥的高）时,这一方法回避了通过具体作图得到三角形
（或三棱锥）的高，而通过直 接计算得到高的数值•
变式题 ［2018 •合肥二模］如图7-43-3所示，在多面体 ABCDPQ 中，平面 PAD 丄平面 ABCD ,AB // CD // PQ ，AB 丄 AD ，△ PAD 为正三角形，0 为 AD 的中点，且 AD=AB=2，CD=PQ= 1.
（1）求证:平面POB 丄平面PAC ;
⑵求多面体ABCDPQ 的体积.
，将空间问题转化为平
图7-43-3
O探究点二探索性问题中的平行与垂直关系
例3 [2018 •山东、湖北部分重点中学模拟]如图7-43-4所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中侧面ABB1A1 是矩形，/ BAC=90°,AA1 丄BC,AA1=AC=2AB=4且BC1 丄A1C.
(1)求证:平面ABC』平面A1ACC1.
⑵设D是A1C1的中点，判断并证明在线段BB1上是否存在点E,使得DE //平面ABC1?若存
在,请说明理由并求点E到平面ABC1的距离.
图7-43-4
［总结反思］处理空间中平行或垂直的探索性问题，一般是先根据条件假设相关结论正确，再
给出证明.探索点的存在性问题时，点多为中点或三等分点中的一个，也可以根据相关的知识确定点的位置变式题［2018 •衡水中学月考］女口图7-43-5,在三棱柱ABC-A i B i C i中,已知
AB=AC=AA i= ,BC=4,点A i在底面ABC上的投影是线段BC的中点O.
(1)求证:在侧棱AA i上存在一点E,使得OE丄平面BB i C i C,并求出AE的长;
⑵求三棱柱ABC-A i B i C i的侧面积.
图7-43-5。

探究点三折叠问题中的平行与垂直关系
例4如图7-43-6所示，在△ PBE中AB丄PE,D是AE的中点C是线段BE上的一点，且
AC= —,AB=AP=-AE=2,将厶PBA沿AB折起使得二面角P-AB-E是直二面角,连接PE.
(1)求证:CD //平面PAB；
(2)求三棱锥E-PAC的体积.
图7-43-6
［总结反思］在解决折叠问题时，需要明确翻折的过程中哪些量是不变的，哪些量是变化的，翻折的角度等•求体积时，注意等体积法的应用•
变式题［2018 •湖北重点高中联考］如图7-43-7①,在等腰梯形ABCD中,AB // CDAE丄CD, 将厶ADE沿AE折起到△ AD i E的位置，使二面角D i-AE-C成直二面角，连接D i B,D i C(如图7-43-7 ②).
(1)求证:D i E 丄BC;
⑵若BC=CE=2DE=2,求点A到平面BCD i的距离.
图7-43-7
完成课时作业（四十三）。