2020届上海市闵行区高考一模数学试题
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故选：B.
【点睛】
本题考查了平面截圆锥面所得轨迹问题，考查了转化化归思想，属于难题.
4．已知各项为正数的非常数数列 满足 ，有以下两个结论:①若 ，则数列 是递增数列；②数列 奇数项是递增数列则（）
A．①对②错B．①错②对C．①②均错误D．①②均正确
【答案】D
【解析】按照 和 分类讨论，分别判断①②即可得解.
2020届上海市闵行区高考一模（期末）数学试题
一、单选题
1．已知直线 的斜率为 ，则直线 的法向量为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】把斜率转化为直线方向向量 即可得解.
【详解】
直线 斜率为 ，
直线的一个方向向量可以为 ， 法向量可以是 .
故选：D.
【点睛】
本题考查了直线的斜率和方向向量的关系以及法向量的求解，属于基础题.
【详解】
将 中元素逐个代入 ，符合的有 、 ，即 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了描述法表示集合和集合的交集运算，属于基础题.
6．复数 的共轭复数是___________.
【答案】
【解析】由复数代数形式的除法运算化简复数 ，求出 即可．
【详解】
解： ，
复数 的共轭复数是
故答案为
【点睛】
本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础题．
14．若 是正六边形 的中心， ，且 互不相同，要使得 ，则有序向量组 的个数为____________
【答案】48
【解析】按照 ， 的夹角为 和 两种情况讨论，再求和即可得解.
【详解】
①如左图，这样的 ， 有 对，且 ， 可交换，此时 有 种情况，
有序向量组 个数为 个；
②如右图，这样的 ， 有 对，且 ， 可交换，此时 有 种情况，
所有正确结论的编号是______________；
【答案】①③④
【解析】根据条件画出 的图像，结合图像和 逐一判断即可.
【详解】
恰有 个零点， ， ，函数的图像如图：
①如图，即 有两个交点，正确；
②结合右图，且当 时， 在 递增，错误；
有序向量组 个数为 个.
综上所述，总数为 个.
故答案为： .
【点睛】
本题考查了分类加法和分布乘法的应用，考查了分类讨论的思想，属于中档题.
15．若 ，且 上的值域为 ，则实数 的取值范围是____________
【答案】
【解析】转化条件得 ，根据 的取值范围画出图像即可得解.
【详解】
由题意 ，
当 ，函数图像如左图， ，不符合题；
【详解】
由题意得 ，
.
故答案为： .
【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，属于基础题.
12．若首项为正数的等比数列 ，公比 ，且 ，则实数 的取值范围是____________
【答案】
【解析】转化条件得 ，即可得解.
【详解】
， ，
由题意可得
， ，即 ， .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了等比数列的通项和性质、对数函数的性质，属于基础题.
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【答案】B
【解析】把条件转化为 与圆锥的轴重合，面 与圆锥的相交轨迹即为点 的轨迹后即可求解.
【详解】
以平面截圆锥面，平面位置不同，生成的相交轨迹可以为抛物线、双曲线、椭圆、圆.令 与圆锥的轴线重合，如图所示，则圆锥母线与 所成角为定值，所以面 与圆锥的相交轨迹即为点 的轨迹.根据题意， 不可能垂直于平面 即轨迹不可能为圆.面 不可能与圆锥轴线平行，即轨迹不可能是双曲线.可进一步计算 与平面 所成角为 ，即 时，轨迹为抛物线， 时，轨迹为椭圆， ，所以轨迹为椭圆.
10．设函数 ，则方程 的解为____________
【答案】
【解析】转化条件得 ，即可得解.
【详解】
由题意得 ，即 ，
解得 或 ，由函数定义域可知 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了二阶行列式的计算和对数的运算性质，属于基础题.
11．已知 ，则 ____________（结果用数字表示）
【答案】
【解析】转化条件可得 ，运算即可得解.
故答案为： .
【点睛】
本题考查了基本不等式的应用，属于基础题.
9．在 中，已知 ， ， 为 的重心，用向量 表示向量 ___________
【答案】
【解析】利用平面向量的基本定理，结合重心性质即可得解.
【详解】
由重心的性质可知 ，
所 .
故答案为：
【点睛】
本题考查了重心的几何性质和平面向量基本定理，属于基础题.
7．计算： __________.
【答案】3
【解析】原式化简为 后即可得解.
【详解】
，
.
故答案为： .
【点睛】
本题考查了等差数列前 项和公式以及极限的求法，属于基础题.
8．已知 ，使得 取到最大值时， __________.
【答案】
【解析】利用基本不等式即可得 ，当 等号成立，即可得解.
【详解】
，
，即 ，当且仅当 时等号成立.
当 ，函数图像如右图，
， 结合图像，当 ， 或 ，
值域为 ， ，即 ， .
综上 .
【点睛】
本题考查了函数图像的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.
16．设函数 ，若 恰有 个零点，.
则下述结论中:
①若 恒成立，则 的值有且仅有 个；
② 在 上单调递增；
③存在 和 ，使得 对任意 恒成立；
④“ ”是“方程 在 恰有五个解”的必要条件.
13．如图，在三棱锥 中， 分别是 的中点， 分别是 的中点，设三棱柱 的体积为 ，三棱锥 的体积为 ，则 ____________
【答案】
【解析】分别找到底面积和高的比值即可得解.
【详解】
设 ，点 到平面 的距离为 ，
由题意易知 ，点 到平面 的距离为 ，
， ，
.
故答案为：
【点睛】
本题考查了立体图形体积的计算，属于基础题.
2．命题“若 ，则 ”是真命题，实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】转化条件得 或 ，即可得解.
【详解】
， 或 ，
或 ，
.
故选：D.
【点睛】
本题考查了分式不等式的解法和条件之间的关系，属于基础题.
3．在正四面体 中，点 为 所在平面上的动点，若 与 所成角为定值 ，则动点 的轨迹是（）
【详解】
为各项为正数的非常数数列， 且 ，
当 时，显然 为递增数列，①②均正确；
当 时， ，不满足①的前提 ；
， ，
依此类推， ， 即偶数项递减，奇数项递增.
故选：D.
【点睛】
本题考查了数列递推公式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.
二、填空题
5．已知集合 ，则 __________.
【答案】
【解析】将 中元素逐个代入判断 是否成立即可得解.
【点睛】
本题考查了平面截圆锥面所得轨迹问题，考查了转化化归思想，属于难题.
4．已知各项为正数的非常数数列 满足 ，有以下两个结论:①若 ，则数列 是递增数列；②数列 奇数项是递增数列则（）
A．①对②错B．①错②对C．①②均错误D．①②均正确
【答案】D
【解析】按照 和 分类讨论，分别判断①②即可得解.
2020届上海市闵行区高考一模（期末）数学试题
一、单选题
1．已知直线 的斜率为 ，则直线 的法向量为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】把斜率转化为直线方向向量 即可得解.
【详解】
直线 斜率为 ，
直线的一个方向向量可以为 ， 法向量可以是 .
故选：D.
【点睛】
本题考查了直线的斜率和方向向量的关系以及法向量的求解，属于基础题.
【详解】
将 中元素逐个代入 ，符合的有 、 ，即 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了描述法表示集合和集合的交集运算，属于基础题.
6．复数 的共轭复数是___________.
【答案】
【解析】由复数代数形式的除法运算化简复数 ，求出 即可．
【详解】
解： ，
复数 的共轭复数是
故答案为
【点睛】
本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础题．
14．若 是正六边形 的中心， ，且 互不相同，要使得 ，则有序向量组 的个数为____________
【答案】48
【解析】按照 ， 的夹角为 和 两种情况讨论，再求和即可得解.
【详解】
①如左图，这样的 ， 有 对，且 ， 可交换，此时 有 种情况，
有序向量组 个数为 个；
②如右图，这样的 ， 有 对，且 ， 可交换，此时 有 种情况，
所有正确结论的编号是______________；
【答案】①③④
【解析】根据条件画出 的图像，结合图像和 逐一判断即可.
【详解】
恰有 个零点， ， ，函数的图像如图：
①如图，即 有两个交点，正确；
②结合右图，且当 时， 在 递增，错误；
有序向量组 个数为 个.
综上所述，总数为 个.
故答案为： .
【点睛】
本题考查了分类加法和分布乘法的应用，考查了分类讨论的思想，属于中档题.
15．若 ，且 上的值域为 ，则实数 的取值范围是____________
【答案】
【解析】转化条件得 ，根据 的取值范围画出图像即可得解.
【详解】
由题意 ，
当 ，函数图像如左图， ，不符合题；
【详解】
由题意得 ，
.
故答案为： .
【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，属于基础题.
12．若首项为正数的等比数列 ，公比 ，且 ，则实数 的取值范围是____________
【答案】
【解析】转化条件得 ，即可得解.
【详解】
， ，
由题意可得
， ，即 ， .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了等比数列的通项和性质、对数函数的性质，属于基础题.
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【答案】B
【解析】把条件转化为 与圆锥的轴重合，面 与圆锥的相交轨迹即为点 的轨迹后即可求解.
【详解】
以平面截圆锥面，平面位置不同，生成的相交轨迹可以为抛物线、双曲线、椭圆、圆.令 与圆锥的轴线重合，如图所示，则圆锥母线与 所成角为定值，所以面 与圆锥的相交轨迹即为点 的轨迹.根据题意， 不可能垂直于平面 即轨迹不可能为圆.面 不可能与圆锥轴线平行，即轨迹不可能是双曲线.可进一步计算 与平面 所成角为 ，即 时，轨迹为抛物线， 时，轨迹为椭圆， ，所以轨迹为椭圆.
10．设函数 ，则方程 的解为____________
【答案】
【解析】转化条件得 ，即可得解.
【详解】
由题意得 ，即 ，
解得 或 ，由函数定义域可知 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了二阶行列式的计算和对数的运算性质，属于基础题.
11．已知 ，则 ____________（结果用数字表示）
【答案】
【解析】转化条件可得 ，运算即可得解.
故答案为： .
【点睛】
本题考查了基本不等式的应用，属于基础题.
9．在 中，已知 ， ， 为 的重心，用向量 表示向量 ___________
【答案】
【解析】利用平面向量的基本定理，结合重心性质即可得解.
【详解】
由重心的性质可知 ，
所 .
故答案为：
【点睛】
本题考查了重心的几何性质和平面向量基本定理，属于基础题.
7．计算： __________.
【答案】3
【解析】原式化简为 后即可得解.
【详解】
，
.
故答案为： .
【点睛】
本题考查了等差数列前 项和公式以及极限的求法，属于基础题.
8．已知 ，使得 取到最大值时， __________.
【答案】
【解析】利用基本不等式即可得 ，当 等号成立，即可得解.
【详解】
，
，即 ，当且仅当 时等号成立.
当 ，函数图像如右图，
， 结合图像，当 ， 或 ，
值域为 ， ，即 ， .
综上 .
【点睛】
本题考查了函数图像的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.
16．设函数 ，若 恰有 个零点，.
则下述结论中:
①若 恒成立，则 的值有且仅有 个；
② 在 上单调递增；
③存在 和 ，使得 对任意 恒成立；
④“ ”是“方程 在 恰有五个解”的必要条件.
13．如图，在三棱锥 中， 分别是 的中点， 分别是 的中点，设三棱柱 的体积为 ，三棱锥 的体积为 ，则 ____________
【答案】
【解析】分别找到底面积和高的比值即可得解.
【详解】
设 ，点 到平面 的距离为 ，
由题意易知 ，点 到平面 的距离为 ，
， ，
.
故答案为：
【点睛】
本题考查了立体图形体积的计算，属于基础题.
2．命题“若 ，则 ”是真命题，实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】转化条件得 或 ，即可得解.
【详解】
， 或 ，
或 ，
.
故选：D.
【点睛】
本题考查了分式不等式的解法和条件之间的关系，属于基础题.
3．在正四面体 中，点 为 所在平面上的动点，若 与 所成角为定值 ，则动点 的轨迹是（）
【详解】
为各项为正数的非常数数列， 且 ，
当 时，显然 为递增数列，①②均正确；
当 时， ，不满足①的前提 ；
， ，
依此类推， ， 即偶数项递减，奇数项递增.
故选：D.
【点睛】
本题考查了数列递推公式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.
二、填空题
5．已知集合 ，则 __________.
【答案】
【解析】将 中元素逐个代入判断 是否成立即可得解.