第8章 量子力学基础10
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|Ψ |2 表示概率密度。
26
波函数的性质
平方可积性——波函数是平方可积的，且为归一化的。
全空间找到粒子的概率总和为1，有
d
2
d 1
单值性——在空间每点，找到粒子的几率是确定的 连续性——波函数是连续的，其一阶微商也是连续函数 上述条件称为波函数的标准化条件，满足上述条 件的波函数才是有明确物理意义的合格波函数， 或称品优函数。
2 2 2 2 2 2 2 x y z
Laplace算符
2
2 ˆ 能量算符： H V ( x, y , z ) 2m
称哈密顿算符(Hamilton)。
23
本征方程、本征函数和本征值
若某算符作用于一个函数 f 等于一个常数F 乘以f， 即
ˆf Ff F
2 1 p 1 2 2 2 T m ( px py pz2 ) 2 2m 2m 1 2 2 2 ˆ T [(i ) ( i ) ( i ) ] 2m x y x 2 2 2 2 2 2 ( 2 2 2) 2m x y z 2m
波尔理论将电子轨道、能级和光谱线联系起来，成功 地解释了原子的稳定性和光谱产生的原因，并预见紫 外区有一新谱系，1915年这一谱系果然被拉曼找到， 称拉曼系；
促进了量子论的发展，开创了原子结构和光谱学的新 纪元。波尔获得1922年诺贝尔物理学奖。
10
旧量子论贡献
从1900年普朗克的量子假设到1924年间发展 起来的量子论称为旧量子论，是从经典物理 学过渡到量子力学的桥梁。 量子论认为, 微观世界中物理量有最小单位， 即量子。物理量的变化是分立的，不连续的， 即量子化的。 量子和量子化的性质是微观世界的基本特征 之一。
构造算符: 求某经典物理学量O 的算符，先写 出该量以坐标、时间和动量为变量的经典力学 形式，然后将O及其变量写成相应的算符（时 间t、坐标q1，q2等看作数乘算符，即不变，动 量做相应的变化）。
21
名称
坐标 动量 动量分量 动量分量平方 角动量
F
x, y, z p px, py, pz p x, p y, p z
11
4. 实物粒子的波粒二象性
波粒二象性（wave-particle duality）是指一切物质粒子 同时具备波的特质及粒子的特质； 1887年Thomson发现电子是有一定质量、带一定负电荷 的粒子； 20世纪初，光的波粒二象性，爱因斯坦的光量子方程： 0 = h， p=h/，m=h/c 1924年，法国青年物理学家德布罗意(de Brö glie L.)提出 假设，实物粒子也有波性： = h， p=h/=m，=h/m 实物粒子波动性称为德布罗意波或物质波； 物质波的概念开辟了通往量子力学之路，德布罗意获得 1929年诺贝尔物理学奖。
这一解释表明，自然法则中存在着一种根本的 随机性。
16
1922年11月，丹麦首都哥本哈根格外喧闹。原 来，从斯德哥尔摩传来特大新闻：哥本哈根大学教 授尼尔斯· 波尔荣获该年度诺贝尔物理学奖。他是 丹麦第一个诺贝尔奖获得者。 20世纪20年代，波尔的学识、造诣和人格魅力， 成了年轻一代物理学家心仪的导师；哥本哈根成为 欧洲青年物理学家向往的圣地。 玻恩、海森堡、约尔丹、泡利、罗森菲耳德以 及前苏联的福克和朗道等诺贝尔奖获得者都出自波 尔的门下。还有一大批物理学家也是在哥本哈根学 派的影响下成长起来的，如狄拉克、德拜、考斯特 等人。
17
爱因斯坦和EPR悖论 (EPR Paradox)
爱因斯坦对“几率波”的解释很不满，说了一句著名的 话：“我不相信上帝会掷骰子。” 他还提出一个“EPR 悖论”来反驳哥本哈根派的解释。 EPR悖论是爱因斯坦、 波多尔斯基和罗森三位物理学家为论证量子力学的不完 备性而提出的，又称EPR论证或EPR佯谬，涉及到如何 理解微观物理实在的问题。 爱因斯坦等认为，如果一个物理理论对物理实在的描述 是完备的，那么物理实在的每个要素都必须在其中有它 的对应量，即完备性判据。当我们不对体系进行任何干 扰，却能确定地预言某个物理量的值时，必定存在着一 个物理实在的要素对应于这个物理量。他们认为，量子 力学不满足这些判据，所以是不完备的，蕴涵着EPR悖 论，所以不能认为它提供了对物理实在的完备描述。
8
3.氢原子光谱
1911年，英国物理学家卢瑟福提出 了原子“行星”模型，认为原子是 由电子绕核运动构成的； 1913年，波尔根据Planck的量子论、 Einstein的光子学说和上面的原子 模型，建立了玻尔原子理论——原 子的能量也是量子化的。
9
波尔理论及结果
定态假设：原子中的电子只能在某些特定的轨道上运 动，有确定的能量，不辐射电磁波，处于稳定状态； 频率假设：原子由一个定态(E1)跃迁到另一定态(E2), 发射或吸收电磁波, 其频率满足: h =| E2 -E1 |； 算出氢原子各定态的半径和能量分别为: r=n2a0, E=R/n2。 数值取决于n2 ，且都是量子化的；
14
矩阵力学与不确定度原理
海森堡于1925年建立矩阵量子力学，获 得1932年的诺贝尔物理学奖。 1927年，海森堡提出不确定度原理： 微观粒子的坐标和动量不能同时准确测 定，其不确定量的乘积不小于h/4。
h x p x 4 h 2
不同于经典粒子，微观粒子有波动性，没 有固定的轨迹；不确定性成为微观世界
13
量子力学的诞生
诞生于1925年末和1926年初；
德国海森堡(W.Heisenberg) 放弃波尔的原子模 型假设，直接对可以测量的量如光的频率和振 幅等所构成的数组进行研究。 ——建立了矩阵力学
奥地利人薛定谔(E. Schrö dinger)等人根据电子 的波性，寻找和建立波动方程来描述电子运动 的规律。 ——建立了波动力学 计算氢原子的能级，得到完全一致、符合实验 的结果。 ——第一个关于微观世界的规律。
2 x 2 2 x 2 z x y 2 z
F
ˆ2 ,p y
Lx= ypz-zpy Ly= zpx-xpz
Lz= xpy-ypx
角动量平方
L2x, L2y,L2z
x
z y ) x z ) y x ) 2 z y )
22
例子：动能算符
的第三个特征；
15
对量子理论的认知
量子理论是20世纪科学的重大进展之一，但由 于量子力学对传统观念所带来的巨大冲击，连 “量子”的提出者都想尽各种办法拒绝它，或 做出各种调和性的解释。
为了正确认识光的波粒二象性，哥本哈根学派 的物理学家提出了 “几率波”的解释，光是一 种 “几率波”，衍射图像是光子（或者电子、 原子等等）出现的几率，衍射明条纹上发现粒 子的几率大，暗条纹上发现粒子的几率小。
5
普朗克假定
1900年，普朗克(Planck M)认为：黑体中原子和 分子辐射能量时做简谐振动, 谐振子能量是不连 续的, 只能取某一最小能量单位的整数倍的数 值——普朗克假定
=n0，0= h（n＝0,1,2,…)
由Planck假定推导出单位时间，单位表面积上 辐射的能量为: 8π h 3 h kT E d (e -1) d 3 c 这与黑体辐射实验结果完全相符。 Planck假定是历史性的突破，从此建立起能量 量子化的概念；荣获1918年诺贝尔物理学奖。
1. 黑体辐射
黑体：
能够吸收各种波长电磁 辐射的物体。加热时能 够最大程度地辐射各种 波长的电磁波。 例如：绝热、开有一个 小孔的金属空腔。
4
经典物理学研究:
瑞利（Lord Rayleigh, J W）和金斯(Jeans J H) 经典物理学结论，
8 E d 3 kT 2 d c
Rayleigh- Jeans公式 —— “紫外灾难”
d d 2 2 ax ax 2 2 ax ( 2 4a x ) xe 2 xe 4a x xe dx dx d ax 2 ax 2 2 ax ax (e 2ax e ) 4a x xe 6axe dx
2
2 2 2 2 2 2
2
故本征函数
Байду номын сангаас
xe
6
2. 光电效应
光照射到金属表面，能激发出电子, 称光电子， 这种现象称为光电效应； 经典物理学认为电子能量由光的强度决定。 实验发现： 产生光电流时存在 一个截止频率； 光电子的动能与入 射光强度无关，与频率 呈线性增长关系。
动 能
ν
0
{ν } 入射光频率
7
爱因斯坦光子学说
1905年，爱因斯坦(Einstein A)提出光子说，成功地 解释了光电效应，获1921年的诺贝尔物理学奖 光辐射能量是不连续的、量子化的，光子具有的能 量 = h ； m 2 光电效应方程: h W0 Ek h 0 2
参考书：曹天元 《上帝掷骰子吗?-量子力学史话 》
O413.1 K67
喀兴林 著《量子力学与原子世界》
2
量子力学及其建立过程
量子力学是研究微观粒子（如原子、分子 和电子等）运动规律的学科。
量子力学的建立： 经典物理学(1900年以前的物理学) 旧量子论 量子力学
开尔文 3
量子力学诞生的实验基础
12
物质波的证明
衍射实验。1925年，美国Davisson和Germer用镍单 晶进行电子衍射实验，证实了物质波的假设。后来 英国的Thomson也得到了同样的结果。
电子束
Davisson和Thomson分享1937年的诺贝尔物理学奖。 此前，Thomson的父亲老Thomson因发现电子 (1897 年)并证明电子是粒子而获得1906年的诺贝尔物理学 奖。 波粒二象性成为微观世界的第二个基本特征；
18
薛定谔的猫
薛定谔不认同波粒二象性以及波的统计解释，试图 建立一个只用波来解释的理论。他设想了一个理想 实验来检验量子理论隐含的不确之处。 设想一个箱子里面有一只活猫、一个装有镭的容器 及一个装有氰化物的小瓶。镭原子会发生衰变，衰 变会破坏瓶子，使氰化物从小瓶中释放出来，从而 杀死猫；如果镭不发生衰变，小瓶也不会破碎，猫 会活下去。按照哥本哈根解释，在打开箱子看猫的 死活之前，猫既是死的，也是活的，因为两种可能 性都存在。而且，箱子中的猫会保持这种既死又活 的状态，直到有人打开箱子，发现猫要么是死的， 要么是活的为止。
ˆ 的本征方程，称常数 F 是 则称该方程为算符 F 算符的本征值，函数 f 为算符的本征函数。
例题1：
d ˆ 算符 F ，函数 dx
f e
2x
求
ˆ F
的本征值。
24
例题2：算符
d 2 2 ( 2 4a x ) dx
ax 2
2
的本征函数为 xe
2
，求该本征函数的本征值。
解：将算符作用在本征函数上，即：
2 2 2
ˆ x, y ˆ y, z ˆz x ˆ i(ex x ey y ez z ) p ˆ x i x , p ˆy p
ˆ p ˆ i( y L x ˆ i( z L y ˆ i( x L z 2 ˆ L ( y
ax 2
的本征值为-6a。
25
§8.1 量子力学的基本假设
假设1（波函数与概率密度）：
由N个粒子组成的微观系统，其状态可由这N 个粒子的坐标（或动量）的函数Ψ ( t , q1 , q 2 , …) 来描述，Ψ 称为波函数。
波函数与其共轭复数Ψ *的乘积 Ψ Ψ*= |Ψ |2 ，|Ψ |2 dτ ( x , y , z ) 表示在空间某点附近体积元dτ内找到 粒子的概率。
全空间找到粒子的概率总和为1有单值性在空间每点找到粒子的几率是确定的连续性波函数是连续的其一阶微商也是连续函数上述条件称为波函数的标准化条件满足上述条件的波函数才是有明确物理意义的合格波函数或称品优函数
第八章 量子力学基础
1
概 述
什么是量子力学？ 量子力学是如何建立的？ 量子力学可以解决什么问题？
19
波尔：
谁如果在量子面前不感到震惊，他就 不懂得现代物理学；同样，如果谁不 为量子理论感到困惑，他也不是一个 好的物理学家。
20
量子力学使用的算符知识
算符：作用在一个函数上得到另一个函数的运 算符号，用“∧”表示，它是数学运算的指令 而不是一个普通的函数。
ˆ 与物理量F 相对应。 量子力学中，算符 F
26
波函数的性质
平方可积性——波函数是平方可积的，且为归一化的。
全空间找到粒子的概率总和为1，有
d
2
d 1
单值性——在空间每点，找到粒子的几率是确定的 连续性——波函数是连续的，其一阶微商也是连续函数 上述条件称为波函数的标准化条件，满足上述条 件的波函数才是有明确物理意义的合格波函数， 或称品优函数。
2 2 2 2 2 2 2 x y z
Laplace算符
2
2 ˆ 能量算符： H V ( x, y , z ) 2m
称哈密顿算符(Hamilton)。
23
本征方程、本征函数和本征值
若某算符作用于一个函数 f 等于一个常数F 乘以f， 即
ˆf Ff F
2 1 p 1 2 2 2 T m ( px py pz2 ) 2 2m 2m 1 2 2 2 ˆ T [(i ) ( i ) ( i ) ] 2m x y x 2 2 2 2 2 2 ( 2 2 2) 2m x y z 2m
波尔理论将电子轨道、能级和光谱线联系起来，成功 地解释了原子的稳定性和光谱产生的原因，并预见紫 外区有一新谱系，1915年这一谱系果然被拉曼找到， 称拉曼系；
促进了量子论的发展，开创了原子结构和光谱学的新 纪元。波尔获得1922年诺贝尔物理学奖。
10
旧量子论贡献
从1900年普朗克的量子假设到1924年间发展 起来的量子论称为旧量子论，是从经典物理 学过渡到量子力学的桥梁。 量子论认为, 微观世界中物理量有最小单位， 即量子。物理量的变化是分立的，不连续的， 即量子化的。 量子和量子化的性质是微观世界的基本特征 之一。
构造算符: 求某经典物理学量O 的算符，先写 出该量以坐标、时间和动量为变量的经典力学 形式，然后将O及其变量写成相应的算符（时 间t、坐标q1，q2等看作数乘算符，即不变，动 量做相应的变化）。
21
名称
坐标 动量 动量分量 动量分量平方 角动量
F
x, y, z p px, py, pz p x, p y, p z
11
4. 实物粒子的波粒二象性
波粒二象性（wave-particle duality）是指一切物质粒子 同时具备波的特质及粒子的特质； 1887年Thomson发现电子是有一定质量、带一定负电荷 的粒子； 20世纪初，光的波粒二象性，爱因斯坦的光量子方程： 0 = h， p=h/，m=h/c 1924年，法国青年物理学家德布罗意(de Brö glie L.)提出 假设，实物粒子也有波性： = h， p=h/=m，=h/m 实物粒子波动性称为德布罗意波或物质波； 物质波的概念开辟了通往量子力学之路，德布罗意获得 1929年诺贝尔物理学奖。
这一解释表明，自然法则中存在着一种根本的 随机性。
16
1922年11月，丹麦首都哥本哈根格外喧闹。原 来，从斯德哥尔摩传来特大新闻：哥本哈根大学教 授尼尔斯· 波尔荣获该年度诺贝尔物理学奖。他是 丹麦第一个诺贝尔奖获得者。 20世纪20年代，波尔的学识、造诣和人格魅力， 成了年轻一代物理学家心仪的导师；哥本哈根成为 欧洲青年物理学家向往的圣地。 玻恩、海森堡、约尔丹、泡利、罗森菲耳德以 及前苏联的福克和朗道等诺贝尔奖获得者都出自波 尔的门下。还有一大批物理学家也是在哥本哈根学 派的影响下成长起来的，如狄拉克、德拜、考斯特 等人。
17
爱因斯坦和EPR悖论 (EPR Paradox)
爱因斯坦对“几率波”的解释很不满，说了一句著名的 话：“我不相信上帝会掷骰子。” 他还提出一个“EPR 悖论”来反驳哥本哈根派的解释。 EPR悖论是爱因斯坦、 波多尔斯基和罗森三位物理学家为论证量子力学的不完 备性而提出的，又称EPR论证或EPR佯谬，涉及到如何 理解微观物理实在的问题。 爱因斯坦等认为，如果一个物理理论对物理实在的描述 是完备的，那么物理实在的每个要素都必须在其中有它 的对应量，即完备性判据。当我们不对体系进行任何干 扰，却能确定地预言某个物理量的值时，必定存在着一 个物理实在的要素对应于这个物理量。他们认为，量子 力学不满足这些判据，所以是不完备的，蕴涵着EPR悖 论，所以不能认为它提供了对物理实在的完备描述。
8
3.氢原子光谱
1911年，英国物理学家卢瑟福提出 了原子“行星”模型，认为原子是 由电子绕核运动构成的； 1913年，波尔根据Planck的量子论、 Einstein的光子学说和上面的原子 模型，建立了玻尔原子理论——原 子的能量也是量子化的。
9
波尔理论及结果
定态假设：原子中的电子只能在某些特定的轨道上运 动，有确定的能量，不辐射电磁波，处于稳定状态； 频率假设：原子由一个定态(E1)跃迁到另一定态(E2), 发射或吸收电磁波, 其频率满足: h =| E2 -E1 |； 算出氢原子各定态的半径和能量分别为: r=n2a0, E=R/n2。 数值取决于n2 ，且都是量子化的；
14
矩阵力学与不确定度原理
海森堡于1925年建立矩阵量子力学，获 得1932年的诺贝尔物理学奖。 1927年，海森堡提出不确定度原理： 微观粒子的坐标和动量不能同时准确测 定，其不确定量的乘积不小于h/4。
h x p x 4 h 2
不同于经典粒子，微观粒子有波动性，没 有固定的轨迹；不确定性成为微观世界
13
量子力学的诞生
诞生于1925年末和1926年初；
德国海森堡(W.Heisenberg) 放弃波尔的原子模 型假设，直接对可以测量的量如光的频率和振 幅等所构成的数组进行研究。 ——建立了矩阵力学
奥地利人薛定谔(E. Schrö dinger)等人根据电子 的波性，寻找和建立波动方程来描述电子运动 的规律。 ——建立了波动力学 计算氢原子的能级，得到完全一致、符合实验 的结果。 ——第一个关于微观世界的规律。
2 x 2 2 x 2 z x y 2 z
F
ˆ2 ,p y
Lx= ypz-zpy Ly= zpx-xpz
Lz= xpy-ypx
角动量平方
L2x, L2y,L2z
x
z y ) x z ) y x ) 2 z y )
22
例子：动能算符
的第三个特征；
15
对量子理论的认知
量子理论是20世纪科学的重大进展之一，但由 于量子力学对传统观念所带来的巨大冲击，连 “量子”的提出者都想尽各种办法拒绝它，或 做出各种调和性的解释。
为了正确认识光的波粒二象性，哥本哈根学派 的物理学家提出了 “几率波”的解释，光是一 种 “几率波”，衍射图像是光子（或者电子、 原子等等）出现的几率，衍射明条纹上发现粒 子的几率大，暗条纹上发现粒子的几率小。
5
普朗克假定
1900年，普朗克(Planck M)认为：黑体中原子和 分子辐射能量时做简谐振动, 谐振子能量是不连 续的, 只能取某一最小能量单位的整数倍的数 值——普朗克假定
=n0，0= h（n＝0,1,2,…)
由Planck假定推导出单位时间，单位表面积上 辐射的能量为: 8π h 3 h kT E d (e -1) d 3 c 这与黑体辐射实验结果完全相符。 Planck假定是历史性的突破，从此建立起能量 量子化的概念；荣获1918年诺贝尔物理学奖。
1. 黑体辐射
黑体：
能够吸收各种波长电磁 辐射的物体。加热时能 够最大程度地辐射各种 波长的电磁波。 例如：绝热、开有一个 小孔的金属空腔。
4
经典物理学研究:
瑞利（Lord Rayleigh, J W）和金斯(Jeans J H) 经典物理学结论，
8 E d 3 kT 2 d c
Rayleigh- Jeans公式 —— “紫外灾难”
d d 2 2 ax ax 2 2 ax ( 2 4a x ) xe 2 xe 4a x xe dx dx d ax 2 ax 2 2 ax ax (e 2ax e ) 4a x xe 6axe dx
2
2 2 2 2 2 2
2
故本征函数
Байду номын сангаас
xe
6
2. 光电效应
光照射到金属表面，能激发出电子, 称光电子， 这种现象称为光电效应； 经典物理学认为电子能量由光的强度决定。 实验发现： 产生光电流时存在 一个截止频率； 光电子的动能与入 射光强度无关，与频率 呈线性增长关系。
动 能
ν
0
{ν } 入射光频率
7
爱因斯坦光子学说
1905年，爱因斯坦(Einstein A)提出光子说，成功地 解释了光电效应，获1921年的诺贝尔物理学奖 光辐射能量是不连续的、量子化的，光子具有的能 量 = h ； m 2 光电效应方程: h W0 Ek h 0 2
参考书：曹天元 《上帝掷骰子吗?-量子力学史话 》
O413.1 K67
喀兴林 著《量子力学与原子世界》
2
量子力学及其建立过程
量子力学是研究微观粒子（如原子、分子 和电子等）运动规律的学科。
量子力学的建立： 经典物理学(1900年以前的物理学) 旧量子论 量子力学
开尔文 3
量子力学诞生的实验基础
12
物质波的证明
衍射实验。1925年，美国Davisson和Germer用镍单 晶进行电子衍射实验，证实了物质波的假设。后来 英国的Thomson也得到了同样的结果。
电子束
Davisson和Thomson分享1937年的诺贝尔物理学奖。 此前，Thomson的父亲老Thomson因发现电子 (1897 年)并证明电子是粒子而获得1906年的诺贝尔物理学 奖。 波粒二象性成为微观世界的第二个基本特征；
18
薛定谔的猫
薛定谔不认同波粒二象性以及波的统计解释，试图 建立一个只用波来解释的理论。他设想了一个理想 实验来检验量子理论隐含的不确之处。 设想一个箱子里面有一只活猫、一个装有镭的容器 及一个装有氰化物的小瓶。镭原子会发生衰变，衰 变会破坏瓶子，使氰化物从小瓶中释放出来，从而 杀死猫；如果镭不发生衰变，小瓶也不会破碎，猫 会活下去。按照哥本哈根解释，在打开箱子看猫的 死活之前，猫既是死的，也是活的，因为两种可能 性都存在。而且，箱子中的猫会保持这种既死又活 的状态，直到有人打开箱子，发现猫要么是死的， 要么是活的为止。
ˆ 的本征方程，称常数 F 是 则称该方程为算符 F 算符的本征值，函数 f 为算符的本征函数。
例题1：
d ˆ 算符 F ，函数 dx
f e
2x
求
ˆ F
的本征值。
24
例题2：算符
d 2 2 ( 2 4a x ) dx
ax 2
2
的本征函数为 xe
2
，求该本征函数的本征值。
解：将算符作用在本征函数上，即：
2 2 2
ˆ x, y ˆ y, z ˆz x ˆ i(ex x ey y ez z ) p ˆ x i x , p ˆy p
ˆ p ˆ i( y L x ˆ i( z L y ˆ i( x L z 2 ˆ L ( y
ax 2
的本征值为-6a。
25
§8.1 量子力学的基本假设
假设1（波函数与概率密度）：
由N个粒子组成的微观系统，其状态可由这N 个粒子的坐标（或动量）的函数Ψ ( t , q1 , q 2 , …) 来描述，Ψ 称为波函数。
波函数与其共轭复数Ψ *的乘积 Ψ Ψ*= |Ψ |2 ，|Ψ |2 dτ ( x , y , z ) 表示在空间某点附近体积元dτ内找到 粒子的概率。
全空间找到粒子的概率总和为1有单值性在空间每点找到粒子的几率是确定的连续性波函数是连续的其一阶微商也是连续函数上述条件称为波函数的标准化条件满足上述条件的波函数才是有明确物理意义的合格波函数或称品优函数
第八章 量子力学基础
1
概 述
什么是量子力学？ 量子力学是如何建立的？ 量子力学可以解决什么问题？
19
波尔：
谁如果在量子面前不感到震惊，他就 不懂得现代物理学；同样，如果谁不 为量子理论感到困惑，他也不是一个 好的物理学家。
20
量子力学使用的算符知识
算符：作用在一个函数上得到另一个函数的运 算符号，用“∧”表示，它是数学运算的指令 而不是一个普通的函数。
ˆ 与物理量F 相对应。 量子力学中，算符 F