高中数学圆锥曲线系统讲解第9讲《两套抛物线的焦半径与焦点弦公式》练习及答案

第9讲 两套抛物线的焦半径与焦点弦公式
知识与方法
1.设点()00,P x y 在抛物线上，()11,A x y 、()22,B x y ，AB 是抛物线的焦点弦，则抛物线
p p
p p
2．如图，设抛物线22y px =()0p >的焦点为F ，AB 为抛物线的一条焦点弦，AFO α∠=．则抛物线的“角版”焦半径、焦点弦、面积公式如下： ①1cos p AF α=+；②2
2sin p
AB α
=；③2
2sin AOB
p S α
=
.
典型例题
【例1】抛物线22y px =()0p >的焦点为F ，点()1,P m 在抛物线上，且3PF =，则p =______. 【解析】由焦半径公式，1342
p
PF p =+=⇒= 【答案】4
变式1 抛物线24x y =−的焦点为F ，点A 在抛物线上，且4AF =，则点A 的坐标为______.
【解析】设()00,A x y ，则()
20000143123AF y y x x P =−=⇒=−⇒=⇒=±±−.
【答案】()
3±−
变式2 抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过F 且倾斜角为60°的直线l 被抛物线C 截得的弦长为______.
【解析】解法1：由题意，1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设1:2l y x ⎫=−⎪⎭，代入22y x =整理得：233504x x −+=， 设两根为1x 和2x ，则1253x x +=，故直线l 被抛物线C 截得的弦长128
13
L x x =++=.
解法2：直线l 被抛物线C 截得的弦长22
228
sin sin 603
p L α=
==︒.
【答案】8
3
变式3 抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为2的直线被抛物线C 截得的弦长为______.
【解析】设直线的倾斜角为α
，tan 2sin αα=⇒=
⇒
弦长22
225sin 2p L α===⎝⎭
. 【答案】
5
2
【例2】过抛物线2:4C y x =焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若3AF =，则
BF =_____.
【解析】设AFO α∠=，则2
31cos AF α
=
=+，
所以1cos 3α=−，故()23
1cos 2
BF πα=
=+−.
【答案】
32
变式1 过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若8AB =，且
AF BF >，则
AF BF
=______.
【解析】不妨设直线l 的倾斜角为锐角，如图，设AFO α∠=，
则2
2418sin sin sin 2AB ααα==⇒=⇒=
， 所以135α=︒，45BFO ∠=︒，
从而)
2
11cos135AF =
=++︒
，)
2
11cos 45BF =
=+︒
故
3AF BF
=+
【答案】3+变式2 过抛物线2:4C y x =焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若2AF BF =，则AB =______.
【解析】不妨设直线l 为如图所示的情形，设AFO α∠=，则2
1cos AF α
=+，
()
22
1cos 1cos BF παα
=
=
+−−，
22
221449
22cos 1cos 1cos 3sin 1cos 2
AF BF AB ααααα=⇒
=⋅⇒=−⇒===+−−.
【答案】
92
变式3 已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，准线为l ，过点F 作倾斜角为120°的直线与准线l 相交于点A ，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，且4
3
AB =，则抛物线C 的方程为______.
【解析】如图，作BD l ⊥于D ，
直线AF 的倾斜角为120°2601cos603
p p
BFO BF ⇒∠=︒⇒==+︒，
由抛物线定义，BD BF =，所以23
p BD =
， 易得60ABD ∠=︒，所以21
3cos 423
p BD ABD AB ∠===，
解得：1p =，故抛物线C 的方程为22y x =.
【答案】22y x =
变式4 设F 为抛物线2:2C y px =()0p >的焦点，经过点F 且倾斜角为02παα⎛
⎫<< ⎪⎝
⎭的直
线l 与抛物线相交于A 、B 两点，O 为原点且OAB 的面积为32sin α，若线段AB 的中垂线与x 轴相交于点M ，则FM =______.
【解析】解法1：如图，,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，设直线():02p l x my m =+>，()11,A x y ，()22,B x y ，其
中cos sin m αα=，联立222p x my y px
⎧
=+⎪⎨⎪=⎩
消去x 整理得：2220y pmy p −−=，
故122y y pm +=，()212122x x m y y p pm p +=++=+，
所以AB 中点为2,2p G pm pm ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，AB 中垂线的方程为22p y pm m x pm ⎛
⎫−=−−− ⎪⎝
⎭，
令0y =得：232x p pm =+，所以23,02M p pm ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，故22322p FM p pm p pm =+−=+，
又21222AB x x p pm p =++=+，原点O 到直线l
的距离d =
所以(
)2
1122222OAB
p S
AB d pm p =⋅=⋅+=
由题意，3
2sin OAB
S
α=，
32sin α=，
将cos sin m αα=代入整理得：22sin p α=，
所以()22
2
22
cos 112sin sin p
FM p pm p m p ααα⎛⎫=+=+=+== ⎪⎝⎭
. 解法2：如图，22sin p
AB α
=，则2
2sin AOB
p S
α
=
， 2
3
322sin 2sin 2sin 2sin OAB p S p αααα
=⇒=⇒=①，设AB 中点为G ，
则()22112cos 21cos 2sin sin p p p FG AF AG AF AB α
πααα
=−=−=−⋅=
+−， 所以2
cos sin FG p
FM α
α
=
=
，由①知22sin p α=，故2FM =.
【答案】2
变式5 过抛物线2:4C y x =焦点F 作两条互相垂直的直线分别与抛物线C 交于A 、B 和D 、E 四点，则四边形ADBE 面积的最小值为______.
【解析】解法1：由题意，()1,0F ，设直线AB 的方程为1x my =+()0m ≠，()11,A x y ，()22,B x y ， 联立21
4x my y x =+⎧⎨=⎩
消去
x
整理得：2440y my −−=，所以124y y m +=，
()21212242x x m y y m +=++=+，故212244AB x x m =++=+，
用1m
−
替换m 可得：24
4DE m =+，
从而四边形ADBE 的面积
()2222114144482823222S AB DE m m m m ⎛⎛⎫⎛⎫=
⋅=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝
当且仅当1m =±时等号成立，即四边形ADBE 面积的最小值为32.
解法2：不妨设直线AB 为02παα⎛
⎫<< ⎪⎝
⎭，
则直线DE 的倾斜角为2
π
α+，
由焦点弦公式，2
4
sin AB α
=
，2
24
4
cos sin 2DE πα
α==
⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭， 四边形ADBE 的面积2222211448323222sin cos sin cos sin 2S AB CD ααααα
=⋅=⋅⋅==≥， 当且仅当4
π
α=时取等号，所以四边形ADBE 面积的最小值为32.
【答案】32
强化训练
1.（★★）抛物线22y px =()0p >的焦点为F ，点()2,P m 在抛物线上，且4PF =，则p =______.
【解析】由焦半径公式，2442
p
PF p =+=⇒=. 【答案】4
2.（★★）抛物线22x y =的焦点为F ，点A 在抛物线上，且3AF =，则点A 的坐标为______. 【解析】设()00,A x y ，
则2
0000015532522
2AF y y x y x A ⎛
⎫=+=⇒=⇒==⇒=⇒ ⎪⎝
⎭.
【答案】52⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
3.（★★）抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 斜率为3的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，则AB =______.
【解析】设直线l 的倾斜角为α
，2440
tan 3sin sin 9
AB ααα=⇒=⇒==
. 【答案】
409
4.（★★★）抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若
4AB =，则AOB 的面积为______. 【解析】设AOF α∠=，则22
4sin AB α
==，
所以sin 2
α=
，故12sin 2
AOB
S α=
=
.
5.（★★★）过抛物线2:2C y x =焦点F 的直线l 与C 交于A 、B 两点，若4AF =，则BF =______.
【解析】如图，设AFO α∠=，
则()13114
4cos 1cos 41cos 1cos 7AF BF ααπαα==⇒=−⇒===++−−.
【答案】
47
6.（★★★）过抛物线2:2C y x =的焦点F 的直线1与C 交于A 、B 两点，若8AB =，则
AF BF ⋅=______
【解析】设直线l 的倾斜角为α， 则22
221111
8sin 4sin 41cos 1cos sin AB AF BF ααααα
=
=⇒=⇒⋅=⋅==−+. 【答案】4
7.（★★★）过抛物线2:3C y x =的焦点F 的直线与C 交于A 、B 两点，若2AF BF =，则
AB =______.
【解析】设AFO α∠=，则1cos p AF α=+，()1cos 1cos p p
BF παα
==+−−，
2
2212232722cos 1cos 1cos 3sin 1cos 8
113p p p p
AF BF AB ααααα
=⇒
=⋅⇒=−⇒===
=
+−−⎛⎫
−− ⎪⎝⎭
【答案】
278
8.（2012·重庆·★★★）过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，若2512
AB =
，AF BF <，则AF =______.
【解析】不妨设直线AB 的倾斜角为锐角，如图，设BFO α∠=， 则2225sin 12AB α=
=
，所以sin α=，
从而1cos 5α=−，故()115
1cos 1cos 6
AF παα===+−−.
【答案】
56
9.（★★★）如下图所示，经过抛物线2:2C y px =()0p >的焦点F 的直线l 与抛物线C 及其准线相交于A 、B 、C 三点，若4BC BF =，且4AF =，则p =______.
【解析】设AFO α∠=，则BFO πα∠=−， 过B 作BD ⊥准线于D ，则BD BF =，
144cos 4
BD BC BF BC BD CBD BC
=⇒=⇒∠==
()11cos cos cos cos 44
BFO πααα⇒∠=−=−=
⇒=−， 所以4
431cos 3
p AF p p α=
==⇒=+.
【答案】3
10.（★★★★）过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线l 交抛物线C 于P 、Q 两点，交圆
()
2
211x y −+=于M 、N 两点，其中P 、M 位于第一象限，则
11
PM QN
+
的最小值为______. 【解析】如图，设()0PFO ααπ∠=<<，由题意，1FM FN ==， 21cos 111cos 1cos PM PF FM PF α
αα
−=−=−=
−=++，
()21cos 111cos 1cos QN QF FN QF α
παα+=−=−=−=
+−−， 所以()()()()
()22
2221cos 1cos 1cos 111cos 1cos 1cos 1cos 1cos 1cos sin PM QN αααααααααα+++−+−+=+==
−++− ()
22222
2sin 2cos 2cos 212sin sin αααα
α+⎛⎫
=
=+≥ ⎪⎝⎭
， 当且仅当2
π
α=
时取等号，故
11
PM QN
+
的最小值为2.
【答案】2
11.（★★★）已知F 为抛物线()220y px p =>的焦点，经过F 且倾斜角为45°的直线与抛物线交于A 、B 两点，线段AB 的中垂线与x 轴相交于点M ，则
4p
FM
=______. 【解析】解法1：由题意，,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，直线AB 的方程为2p x y =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，
联立222p x y y px ⎧
=+⎪⎨⎪=⎩消去x 整理得：
2220y py p −−=，所以122y y p +=，12123x x y y p p +=++=， 从而AB 中点G 为3,2p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故AB 中垂线的方程为32y p x p ⎛
⎫−=−−
⎪⎝
⎭
令0y =得：52x p =
，所以5,02p M ⎛⎫
⎪⎝⎭
，故5222p FM p p =−=，所以42p FM =.
解法2：如图，G 为AB 中点，
由题意，MFG 是等腰直角三角形，1
2
FG AF AG AF AB =−=−
2121cos1352sin 45p p =
−⋅=+︒︒，所以422p
FM p FM
=⇒=.
【答案】2
12.（★★★★）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，若位于x 轴上方的动点A 在准线l 上，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，且1AF AF BF
−=，则抛物线C 的方程
为______.
【解析】解法1（特值法）：取,2p A p ⎛⎫− ⎪⎝⎭
，则1AF k =−，直线AF 的方程为2p x y =−+，
由222p x y y px ⎧
=−+⎪⎨⎪=⎩
得：2220y py p +−=
，解得：()
1y p =−， 显然点B 在x
轴上方，所以)
1B y p =
，故(2322
B B p y x p −==， 从而点B
的坐标为(
)
3,12p
p ⎛⎫
−
⎪− ⎪⎝
⎭
因为
1AF AF BF
−=
，而AF =
，(
(322
2
p p BF p −=
+=，
1−=，
解得：1p =，故抛物线C 的方程为22y x =. 解法2（特值法）：取直线AB 的倾斜角为120°， 如图，则60AFK ABD ∠=∠=︒，此时22AF FK p ==，
而
11213AF AB BF AB AB BF
BF
BF
BD
+=
=
+=
+=+=，所以23
3
AF p
BF
=
=
，
将2AF p =、23p
BF =
代入1AF AF BF
−=可得1p =， 故抛物线C 的方程为22y x =.
解法3（极限位置分析法）：让点A 无限接近点,02p ⎛⎫
− ⎪⎝⎭
，则点B 无限接近原点，
此时
1AF AF BF
−=即为21p −=，解得：1p =，所以抛物线C 的方程为22y x =
解法4：设()00,B x y ，则02p BF x =+
，由~FBT FAK 可得AF KF BF TF =
，即02
AF p
p BF x =− 所以00
22p p AF x p x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭−，代入1AF AF BF −=知0001222p p p x p p x x ⎛
⎫−+⋅= ⎪⎝⎭−−，解得1p =， 故抛物线C 的方程为22y x =.
解法5：过B 作BD l ⊥于D ，因为
1AF AF BF
−=，所以AF AF BF BF −⋅=，
故AF BF AF BF −=⋅，由图可知AF BF AB −=，所以AB AF BF =⋅，又BF BD =，
所以AB AF BD =⋅，故
1
BD AB
AF =
，从图上来看，cos BD ABD AB
=∠，而ABD AFK ∠=∠，所以1
cos KF AFK AF
AF
∠=
=
，故1KF =，即1p =，所以抛物线C 的方程为22y x =. 解法6（用焦半径公式）：设BFO α∠=，则1cos p
BF α
=
+，
cos cos p
AF KF p AF αα==⇒=，代入1AF AF BF
−=得：cos 1cos 1cos p
p p ααα
−
=+， 解得：1p =，所以抛物线C 的方程为22y x = 【答案】22y x =。