初等数学模型PPT课件
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• 参照惯例的结果要解决这个问题必须舍弃所谓惯 例，找到衡量公平分配席位的指标，并由此建立 新的分配方法。
• 另外，适当地设置状态和决策，并确定状态 转移律，是有效地解决很广泛的一类问题的 建模方法，在以后还可能要用到。
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人、狼、羊、菜渡河模型
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问题的提出
• 一摆渡人F希望用一条小船把一只狼W，一 头羊G和一篮白菜C从一条河的左岸渡到右 岸去，而船小只能容纳F、W、G、C中的 两个，决不能在无人看守的情况下，留下狼 和羊在一起，羊和白菜在一起，
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模型构成
• 记第k次渡河前此岸的商人数为xk，随从数为yk， k=l，2，…，xk,yk=0，1，2，3。
• 将二维向量sk=(xk,yk)定义为状态 • 安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，
记作S。不难写出 S=｛(x,y)|x=0, y= 0，1，2，3; x=3, y=0，1，2，3; x=第y6页=/共144，页 2｝
第23页/共44页
0，0) √
(1，0，1，0)
(0，0，
7) (1，0，1，0) 十 (1，1，0，0) → (0，1，1，0) ×
1，1) ×
(1，0，0，1)
(0，0，
1，0) √×
(1，0，0，0) (0，0，
• 第7步 已经出现(0，0，0，0)状态，说明经过7
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评注
• 用这种方法的优点易于在计算机上实现。由此可把一个数学游 戏问题转化成为一个在计算机上计算的数学问题(即建模)。
由状态(3，3)经n(奇数)步决策 转移到(0，0)的转移过程
• 具体转移步骤如下:
(0，1)
(3，2) √
(0，2)
(3，1) √
(3，3) + (-1)1 (1，1) → (2，2) √
(1，0)
(2，3) ×
(2，0)
(1，3) ×
• 再将(3，2)，(3，1)，(2，2)分别与决策 向量进行运算。如此下去，不难验证，经过
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模型求解
• 根据(1)-(3)式编一段程序，用计算机求解上述多 步决策问题是可行的。
• 对于商人和随从人数不大的简单状况，用图解法 解这个模型更为方便。
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•
y（随从数）
3
(3,3)
o
1
2
x (商人数)
3
图1-3 安全渡河问题的图解法（共四种）
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图解法决策的步骤
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可取运载与可取运算
• (2)可取运载 B 共有4个
(1，1，0，0)
(1，0，1，0)
(1，0，0，1)
(1，0，0，0)
• (3)可取运算 :规定A与B相加时对每一分量按二进 制法则进行:
0十0= 0，1十 0=1， 0十 1=1，1十 1= 0。
• 这样 ，一次渡河就是一个可取状态向量与一个 可取运载向量相加，可取状态经过加法运算后仍
• 在xoy平面坐标系上画出图1-3那样的方格，方格点表示状态 s=(x,y)。
• 允许状态集合S是圆点标出的10个格子点。 • 允许决策d是沿方格线移动1或2格，k为奇数时向左、下方移动，
k为偶数时向右、上方移动。 • 要确定一系列的d k使由s 1=(3，3)经过那些圆点最终移至原点
(0，0)。
• 将每一状态(允许出现情况)用一个点表 示，若某次船从左岸划往右岸时，使状态u 变为v,就作一条从u到v的弧(有向边)，由此 构造了一个有向图第2(6图页/共544-页12)。得到该问题
有向图的图数学模型
(FWGC|O) (FWG|C) (FWC|G) (FG|WC)
(FGC|W)
(WC|FG) (W|FGC) (G|FWC) (O|FWGC)
3.4
4
3.570 3
合 200 100.0 20.0
20
计
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21.000 21
• 因为有20个席位的代表会议在表决提案时可能出 现10:10的局面，会议决定下一届增加l席。他们 按照上述方法重新分配席位，计算结果见表6、7 列。显然这个结果对丙系太不公平了，因为总席 位增加1席，而丙系却由4席减为3席·
状态sk随决策d k变化的规律
• 记第k次渡船上商人数为u k，随从数为v k • 将二维向量dk=(uk,vk)定义为决策.允许决策
集合记作D，由小船的容量可知
D=｛(u，u)|u+v=l，2｝ (2)
• 因为k为奇数时船从此岸驶向彼岸，k为偶数 时船由彼岸驶回此岸，所以状态sk随决策d k 变化的规律是
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席位分配问题
• 某学校有3个系共200名学生，其中甲系100名，乙系60名， 丙系40名，若学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位 分配办法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三系分别应占 有10、6、4个席位。
第32页/共44页
问题提出
• 现在丙系有6名学生转人甲乙两系，各系人数如表2-1第2列所 示。仍按比例(表中第3列)分配席位时出现了小数(表中第4列)， 在将取得整数的19席分配完毕后，三系同意剩下的1席参照所 谓惯例分给比例中小数最大的丙系，于是三系仍分别占有10、 6、4席(表中第5列)。
• 由问题中的限制条件，有些状态是允许的， 有的是不允许的。
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• 凡系统可以允许存在的状态称为可取状态， 如A1(1,0,1,0)是可取状态，但A2(0,0,1,1) 是一个不可取状态，
• 此外，把每运载一次也用一个四维向量来表 示，如B1(1,1,0,0)表示人和狼在船上，而 羊和白菜不在船上，这是可取的运载，因为 船可载两物，而B2(1,0,1,1)则是不可取运 载
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(1，0，1，0) (1，1，1，0) √ 4)2 (0，1，0，0) 十 (1，1，0，0)→ (1，0，0，0) ×
(1，0，0，1) (1，1，0，1) √× (1，0，0，0) (1，1，0，0) × (1，0，1，0) (0，0，0，1) √× 5)1 (1，0，1，1) 十 (1，1，0，0)→ (0，1，1，1) × (1，0，0，1) (0，0，1，0) √ (1，0，0，0) (0，0，1，1) × (1，0，1，0) (0，1，0，0) √× 5)2 (1，1，1，0) 十 (1，1，0，0)→ (0，0，1，0) √ (1，0，0，1) (0，1，1，1) × (1，0，0，0) (0，1，1，0) × (1，0，1，0) (1，0，0，0) × 6) (0，0，1，0) 十 (1，1，0，0)→ (1，1，1，0) √× (1，0，0，1) (1，0，1，1) √× (1，0，0，0) (1，0，1，0) √
(0,0,0,0) (0,0,0,1) (0,0,1,0) (0,1,0,1)
图2 第29页/共44页
(0,1,0,0)
两种等优(最短路)方案
(1,1,1,1)
(0,0,0,1)
(1,0,1,1)
(1,0,1,0) (0,1,0,1)
(0,0,1,0) (1,1,0,1)
第30页/共44页
公平的席位分配模型
第20页/共44页
穷举法的数学模型
• 在上述规定下，问题转化为:
从初始状态 (1，1，1，1)经过多少次(奇数 次)可取运算才能转化为状态(0，0，0，0)。
• 如果一个状态是可取的就打√，否则就打×，
虽然可取但已重复就打√×，于是问题可用穷举法
解答如下：
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(1，0，1，0) (0，1，0，1) √ 1) (1，1，1，1) 十 (1，1，0，0)→ (0，0，1，1) ×
s k+1= s k +(-1)kd k
第7页/共44页
商人安全过河的数学模型
（多步决策模型）:
• 求决策d kD(k=1，2，…,n)， 使状态s k S按照转移律(3): s k+1= s k +(-1)kd k 由初始状态s 1=(3,3)经有限步n到达 状态s n+1=(0,0)。
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第12页/共44页
课堂(后)数模练习
• 试在图1-3中给出一种移动方案，即经过决策 d 1,d 2，…，d n，最终有s n+1=(0，0)。
• 将该结果翻译成渡河的方案。
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评注
• 这里介绍的模型是一种规格化的方法，使我 们可以用计算机求解，从而具有推广的意义。
• 譬如当商人和随从人数增加或小船的容量加 大时，靠逻辑思考就困难了，而用这种模型 则仍可方便地求解。
• 可以看出，当状态向量维数增加，约束条件复杂时，这种方法 更能方便求解，当所有的转移过程出现循环时，则问题无解。
第25页/共44页
图论法求解
• 在研究状态域位置发生变更的问题中，常常 构造有向图来解决。
• 首先对两岸上允许的组合加以分类，比 如用(FWG|C)表示F、W和G在左岸上，而 C在右岸上，“O"意味着在相应的岸上均 无。
• 这里用数学模型求解，
▪ 一是为了给出建模的示例， ▪ 二是因为这类模型可以解决相当广泛的一类问题，比
逻辑思索的结果容易推广。
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问题分析：
• 由于这个虚拟的问题己经理想化了，所以不必 再作假设。
• 安全渡河问题可以视为多步决策过程。每一步， 即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸，都要 对船上的人员(商人、随从各几人)作出决策
• 应怎样渡河才能将狼、羊、白菜都运过去?
• 这是一个有趣的智力游戏问题，显然可 用递推方法解决，但我们把此问题化为状态 转移问题来解决。
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状态向量的表示
• 将人、狼、羊、菜依次用一个四维向量表示， 当一物在左岸时，记相应的分量为1，否则 记为0，如A(1,0,1,0)表示人和羊在左岸， 并称为一个状态
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表2-1 按照比例并参照惯例的席位分配
系 学 学 生 人 20个席位的分配 21个席位的分配
别 生 数比例
人 数
（%）
比例分 参照惯 比例分 参照惯 配席位 例结果 配席位 例结果
甲 103 51.5
10.3
10
10.815 11
乙 63 31.5
6.3
6
6.615 7
丙 34 l7.0
• 在保证安全的前提下(两岸的商人数都不比随 从数少)，在有限步内使人员全部过河。
第4页/共44页
变量的确定
• 用状态(变量)表示某一岸的人员状况，决策(变 量)表示船上的人员状况，可以找出状态随决策 变化的规律。
• 问题转化为在状态的允许变化范围内(即安全渡 河条件)，确定每一步决策，达到渡河目标。
(C|FWG)
第27页/共44页
图1
无向图的模拟求解法
• 仍将每一允许状态用一个点表示，两种状态的两顶点有边相连 当且仅当两种状态可用载人(或加一物)的渡船互相转变，当且仅 当可取状态经过系统的运算向量而仍为可取状态。
• 由此可以得到图2
第28页/共44页
无向图的图示数学模型
(1,1,1,1) (1,1,1,0) (1,1,0,1) (1,0,1,1) (1,0,1,0）
(1，0，0，1) (0，1，1，0) × (1，0，0，0) (0，1，1，1) × (1，0，1，0) (1，1，1，1) × 2) (0，1，0，1) 十 (1，1，0，0)→ (1，0，0，1) × (1，0，0，1) (1，1，0，0) × (1，0，0，0) (1，1，0，1) √ (1，0，1，0) (0，1，1，1) × 3) (1，1，0，1) 十 (1，1，0，0)→ (0，0，0，1) √ (1，0，0，1) (0，1，0，1) √ (1，0，0，0) (0，1，0，1) √× (1，0，1，0) (1，0，1，1) √ 4)1 (0，0，0，1) 十 (1，1，0，0)→ (1，1，0，1) √× (1，0，0，1) (1，0，0，0) × (1，0，0，0) (1，0，0，1) ×
商人安全过河模型
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问题的提出
• 三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船 只能容纳两人，由他们自己划行。
• 随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人 数比商人多，就杀人越货。
• 如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中， • 商人们怎样才能安全渡河呢?
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数模求解的意义
• 对于这类智力游戏，经过一番逻辑思索是可以找 出解决办法的。
• 利用穷举法可得到第问18页题/共4的4页解
穷举法求解
• (1)可取(允许)状态A共有10个
(1，1，1，1)
(0，0，0，0)
(1，1, 1，0)
(0，0，0，1)
(1，1，0，1)
(0，0，1，0)
(1，0，1，1)
(0，1，0，0)Fra bibliotek(1，0，1，0) (0，1，0，1)
右边5个正好是左边5个的相反状态 。
• 另外，适当地设置状态和决策，并确定状态 转移律，是有效地解决很广泛的一类问题的 建模方法，在以后还可能要用到。
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人、狼、羊、菜渡河模型
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问题的提出
• 一摆渡人F希望用一条小船把一只狼W，一 头羊G和一篮白菜C从一条河的左岸渡到右 岸去，而船小只能容纳F、W、G、C中的 两个，决不能在无人看守的情况下，留下狼 和羊在一起，羊和白菜在一起，
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模型构成
• 记第k次渡河前此岸的商人数为xk，随从数为yk， k=l，2，…，xk,yk=0，1，2，3。
• 将二维向量sk=(xk,yk)定义为状态 • 安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，
记作S。不难写出 S=｛(x,y)|x=0, y= 0，1，2，3; x=3, y=0，1，2，3; x=第y6页=/共144，页 2｝
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0，0) √
(1，0，1，0)
(0，0，
7) (1，0，1，0) 十 (1，1，0，0) → (0，1，1，0) ×
1，1) ×
(1，0，0，1)
(0，0，
1，0) √×
(1，0，0，0) (0，0，
• 第7步 已经出现(0，0，0，0)状态，说明经过7
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评注
• 用这种方法的优点易于在计算机上实现。由此可把一个数学游 戏问题转化成为一个在计算机上计算的数学问题(即建模)。
由状态(3，3)经n(奇数)步决策 转移到(0，0)的转移过程
• 具体转移步骤如下:
(0，1)
(3，2) √
(0，2)
(3，1) √
(3，3) + (-1)1 (1，1) → (2，2) √
(1，0)
(2，3) ×
(2，0)
(1，3) ×
• 再将(3，2)，(3，1)，(2，2)分别与决策 向量进行运算。如此下去，不难验证，经过
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模型求解
• 根据(1)-(3)式编一段程序，用计算机求解上述多 步决策问题是可行的。
• 对于商人和随从人数不大的简单状况，用图解法 解这个模型更为方便。
第10页/共44页
•
y（随从数）
3
(3,3)
o
1
2
x (商人数)
3
图1-3 安全渡河问题的图解法（共四种）
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图解法决策的步骤
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可取运载与可取运算
• (2)可取运载 B 共有4个
(1，1，0，0)
(1，0，1，0)
(1，0，0，1)
(1，0，0，0)
• (3)可取运算 :规定A与B相加时对每一分量按二进 制法则进行:
0十0= 0，1十 0=1， 0十 1=1，1十 1= 0。
• 这样 ，一次渡河就是一个可取状态向量与一个 可取运载向量相加，可取状态经过加法运算后仍
• 在xoy平面坐标系上画出图1-3那样的方格，方格点表示状态 s=(x,y)。
• 允许状态集合S是圆点标出的10个格子点。 • 允许决策d是沿方格线移动1或2格，k为奇数时向左、下方移动，
k为偶数时向右、上方移动。 • 要确定一系列的d k使由s 1=(3，3)经过那些圆点最终移至原点
(0，0)。
• 将每一状态(允许出现情况)用一个点表 示，若某次船从左岸划往右岸时，使状态u 变为v,就作一条从u到v的弧(有向边)，由此 构造了一个有向图第2(6图页/共544-页12)。得到该问题
有向图的图数学模型
(FWGC|O) (FWG|C) (FWC|G) (FG|WC)
(FGC|W)
(WC|FG) (W|FGC) (G|FWC) (O|FWGC)
3.4
4
3.570 3
合 200 100.0 20.0
20
计
第34页/共44页
21.000 21
• 因为有20个席位的代表会议在表决提案时可能出 现10:10的局面，会议决定下一届增加l席。他们 按照上述方法重新分配席位，计算结果见表6、7 列。显然这个结果对丙系太不公平了，因为总席 位增加1席，而丙系却由4席减为3席·
状态sk随决策d k变化的规律
• 记第k次渡船上商人数为u k，随从数为v k • 将二维向量dk=(uk,vk)定义为决策.允许决策
集合记作D，由小船的容量可知
D=｛(u，u)|u+v=l，2｝ (2)
• 因为k为奇数时船从此岸驶向彼岸，k为偶数 时船由彼岸驶回此岸，所以状态sk随决策d k 变化的规律是
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席位分配问题
• 某学校有3个系共200名学生，其中甲系100名，乙系60名， 丙系40名，若学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位 分配办法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三系分别应占 有10、6、4个席位。
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问题提出
• 现在丙系有6名学生转人甲乙两系，各系人数如表2-1第2列所 示。仍按比例(表中第3列)分配席位时出现了小数(表中第4列)， 在将取得整数的19席分配完毕后，三系同意剩下的1席参照所 谓惯例分给比例中小数最大的丙系，于是三系仍分别占有10、 6、4席(表中第5列)。
• 由问题中的限制条件，有些状态是允许的， 有的是不允许的。
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• 凡系统可以允许存在的状态称为可取状态， 如A1(1,0,1,0)是可取状态，但A2(0,0,1,1) 是一个不可取状态，
• 此外，把每运载一次也用一个四维向量来表 示，如B1(1,1,0,0)表示人和狼在船上，而 羊和白菜不在船上，这是可取的运载，因为 船可载两物，而B2(1,0,1,1)则是不可取运 载
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(1，0，1，0) (1，1，1，0) √ 4)2 (0，1，0，0) 十 (1，1，0，0)→ (1，0，0，0) ×
(1，0，0，1) (1，1，0，1) √× (1，0，0，0) (1，1，0，0) × (1，0，1，0) (0，0，0，1) √× 5)1 (1，0，1，1) 十 (1，1，0，0)→ (0，1，1，1) × (1，0，0，1) (0，0，1，0) √ (1，0，0，0) (0，0，1，1) × (1，0，1，0) (0，1，0，0) √× 5)2 (1，1，1，0) 十 (1，1，0，0)→ (0，0，1，0) √ (1，0，0，1) (0，1，1，1) × (1，0，0，0) (0，1，1，0) × (1，0，1，0) (1，0，0，0) × 6) (0，0，1，0) 十 (1，1，0，0)→ (1，1，1，0) √× (1，0，0，1) (1，0，1，1) √× (1，0，0，0) (1，0，1，0) √
(0,0,0,0) (0,0,0,1) (0,0,1,0) (0,1,0,1)
图2 第29页/共44页
(0,1,0,0)
两种等优(最短路)方案
(1,1,1,1)
(0,0,0,1)
(1,0,1,1)
(1,0,1,0) (0,1,0,1)
(0,0,1,0) (1,1,0,1)
第30页/共44页
公平的席位分配模型
第20页/共44页
穷举法的数学模型
• 在上述规定下，问题转化为:
从初始状态 (1，1，1，1)经过多少次(奇数 次)可取运算才能转化为状态(0，0，0，0)。
• 如果一个状态是可取的就打√，否则就打×，
虽然可取但已重复就打√×，于是问题可用穷举法
解答如下：
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(1，0，1，0) (0，1，0，1) √ 1) (1，1，1，1) 十 (1，1，0，0)→ (0，0，1，1) ×
s k+1= s k +(-1)kd k
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商人安全过河的数学模型
（多步决策模型）:
• 求决策d kD(k=1，2，…,n)， 使状态s k S按照转移律(3): s k+1= s k +(-1)kd k 由初始状态s 1=(3,3)经有限步n到达 状态s n+1=(0,0)。
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第12页/共44页
课堂(后)数模练习
• 试在图1-3中给出一种移动方案，即经过决策 d 1,d 2，…，d n，最终有s n+1=(0，0)。
• 将该结果翻译成渡河的方案。
第13页/共44页
评注
• 这里介绍的模型是一种规格化的方法，使我 们可以用计算机求解，从而具有推广的意义。
• 譬如当商人和随从人数增加或小船的容量加 大时，靠逻辑思考就困难了，而用这种模型 则仍可方便地求解。
• 可以看出，当状态向量维数增加，约束条件复杂时，这种方法 更能方便求解，当所有的转移过程出现循环时，则问题无解。
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图论法求解
• 在研究状态域位置发生变更的问题中，常常 构造有向图来解决。
• 首先对两岸上允许的组合加以分类，比 如用(FWG|C)表示F、W和G在左岸上，而 C在右岸上，“O"意味着在相应的岸上均 无。
• 这里用数学模型求解，
▪ 一是为了给出建模的示例， ▪ 二是因为这类模型可以解决相当广泛的一类问题，比
逻辑思索的结果容易推广。
第3页/共44页
问题分析：
• 由于这个虚拟的问题己经理想化了，所以不必 再作假设。
• 安全渡河问题可以视为多步决策过程。每一步， 即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸，都要 对船上的人员(商人、随从各几人)作出决策
• 应怎样渡河才能将狼、羊、白菜都运过去?
• 这是一个有趣的智力游戏问题，显然可 用递推方法解决，但我们把此问题化为状态 转移问题来解决。
第16页/共44页
状态向量的表示
• 将人、狼、羊、菜依次用一个四维向量表示， 当一物在左岸时，记相应的分量为1，否则 记为0，如A(1,0,1,0)表示人和羊在左岸， 并称为一个状态
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表2-1 按照比例并参照惯例的席位分配
系 学 学 生 人 20个席位的分配 21个席位的分配
别 生 数比例
人 数
（%）
比例分 参照惯 比例分 参照惯 配席位 例结果 配席位 例结果
甲 103 51.5
10.3
10
10.815 11
乙 63 31.5
6.3
6
6.615 7
丙 34 l7.0
• 在保证安全的前提下(两岸的商人数都不比随 从数少)，在有限步内使人员全部过河。
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变量的确定
• 用状态(变量)表示某一岸的人员状况，决策(变 量)表示船上的人员状况，可以找出状态随决策 变化的规律。
• 问题转化为在状态的允许变化范围内(即安全渡 河条件)，确定每一步决策，达到渡河目标。
(C|FWG)
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图1
无向图的模拟求解法
• 仍将每一允许状态用一个点表示，两种状态的两顶点有边相连 当且仅当两种状态可用载人(或加一物)的渡船互相转变，当且仅 当可取状态经过系统的运算向量而仍为可取状态。
• 由此可以得到图2
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无向图的图示数学模型
(1,1,1,1) (1,1,1,0) (1,1,0,1) (1,0,1,1) (1,0,1,0）
(1，0，0，1) (0，1，1，0) × (1，0，0，0) (0，1，1，1) × (1，0，1，0) (1，1，1，1) × 2) (0，1，0，1) 十 (1，1，0，0)→ (1，0，0，1) × (1，0，0，1) (1，1，0，0) × (1，0，0，0) (1，1，0，1) √ (1，0，1，0) (0，1，1，1) × 3) (1，1，0，1) 十 (1，1，0，0)→ (0，0，0，1) √ (1，0，0，1) (0，1，0，1) √ (1，0，0，0) (0，1，0，1) √× (1，0，1，0) (1，0，1，1) √ 4)1 (0，0，0，1) 十 (1，1，0，0)→ (1，1，0，1) √× (1，0，0，1) (1，0，0，0) × (1，0，0，0) (1，0，0，1) ×
商人安全过河模型
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问题的提出
• 三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船 只能容纳两人，由他们自己划行。
• 随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人 数比商人多，就杀人越货。
• 如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中， • 商人们怎样才能安全渡河呢?
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数模求解的意义
• 对于这类智力游戏，经过一番逻辑思索是可以找 出解决办法的。
• 利用穷举法可得到第问18页题/共4的4页解
穷举法求解
• (1)可取(允许)状态A共有10个
(1，1，1，1)
(0，0，0，0)
(1，1, 1，0)
(0，0，0，1)
(1，1，0，1)
(0，0，1，0)
(1，0，1，1)
(0，1，0，0)Fra bibliotek(1，0，1，0) (0，1，0，1)
右边5个正好是左边5个的相反状态 。