人教A版高中数学必修三练习用样本的数字特征估计总体的数字特征

2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
课后篇巩固提升
基础巩固
1.已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80,其中平均数、中位数和众数的大小关系是( )
A.平均数>中位数>众数
B.平均数<中位数<众数
C.中位数<众数<平均数
D.平均数=中位数=众数
平均数为18
×(20+30+40+50+50+60+70+80)=50,中位数为12
×(50×50)=50,众数为50,∴它们的大小关系是平均数=中位数=众数.
2.某样本数据的茎叶图如图所示,若该组数据的中位数为85,平均数为85.5,则x+y=( ) A.12
B.13
C.14
D.15
85,所以4+x=2×5,解得x=6.又平均数为85.5,
所以73+79+3×84+86+87+88+93+90+y=855,所以y=7.故x+y=13.
3.已知某组数据的方差s 2=16
[(x 1-3)2+(x 2-3)2+(x 3-3)2+…+(x 6-3)2],则x 1+x 2+x 3+…+x 6=( ) A.3 B.6
C.18
D.36
,6个数据的平均数是3,∴x 1+x 2+x 3+…+x 6=6×3=18.
4.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则( )
A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
,甲的成绩为4,5,6,7,8,乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6,A 错;甲、乙的成绩的中位数分别为6,5,B 错;甲、乙的成绩的方差分别为15
×[(4-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(7-6)2+(8-6)2]=2,15
×[(5-6)2+(5-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(9-6)2]=125
,C 对;甲、乙的成绩的极差均为4,D 错.
5.一组样本数据的频率分布直方图如图所示,则依据图形中的数据,可以估计总体的平均数与中位数分别是
( )
A.12.5,12.5
B.13.5,13
C.13.5,12.5
D.13,13
0.2,第二组的频率为0.5,则第三组的频率为0.3,则平均数为7.5×0.2+12.5×0.5+17.5×0.3=13,由中位数的概念可以得到中位数在第二组区间(10,15]的
3
5
的位置,即中位数为10+(15-10)×3
5=13.故选D .
6.设样本数据x 1,x 2,…,x 10的平均数和方差分别为2和5,若y i =x i +a (a 为非零实数,i=1,2,…,10),则y 1,y 2,…,y 10的平均数和方差分别为( ) A.2,5 B.2+a ,5 C.2+a ,5+a D.2,5+a
由题意知x =
110
(x 1+x 2+…+x 10)=2,s x 2
=
1
10
[(x 1-2)2+(x 2-2)2+…+(x 10-2)2]=5,对于y i =x i +a ,则有y =
110(x 1+a+x 2+a+…+x 10+a )=110
(x 1+x 2+…+x 10+10a )=2+a ,s y 2=1
10[(y 1-2-a )2+(y 2-2-a )2+…+(y 10-2-a )2]=5.
7.某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4. 则:(1)平均命中环数为 ; (2)命中环数的标准差为 . (1)x =
7+8+7+9+5+4+9+10+7+4
10=7.
(2)∵s 2=1
10[(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+(4-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(7-7)2+(4-7)2]=4,∴s=2.
(2)2
8.甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表所示:
若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛,最佳人选是.(填
“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个)
,乙与丙的平均环数最多,又丙的方差比乙小,说明丙成绩发挥得较为稳定,所以最佳人选为丙.
9.已知样本9,10,11,x,y的平均数是10,标准差为√2,则xy=.
9+10+11+x+y=50,
所以x+y=20.
又由(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(x-10)2+(y-10)2=(√2)2×5=10,得x2+y2-20(x+y)=-192,
(x+y)2-2xy-20(x+y)=-192,所以xy=96.
10.我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x(吨),一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中a的值;
(2)设该市有30万民居,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;
(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨),估计x的值,并说明理由.
由频率分布直方图知,月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04,
同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.
由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1,解得a=0.30.
(2)由(1)可知,100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.
由以上样本的频率,可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300
000×0.12=36 000.
(3)因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85,
而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85,所以2.5≤x<3. 由0.3×(x-2.5)=0.85-0.73,解得x=2.9.
11.甲、乙两人在相同条件下各射靶10次,每次射靶的成绩情况如图所示.
请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析. (1)从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩好些); (2)从平均数和中位数相结合看(分析谁的成绩好些);
(3)从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些); (4)从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力).
.
则(1)∵平均数相同,且s 甲2<s 乙2
,∴甲稳定些.
∴甲的成绩比乙好.
(2)∵平均数相同,甲的中位数<乙的中位数,
∴乙的成绩比甲好.
(3)∵平均数相同,且乙命中9环及9环以上次数比甲多,∴乙的成绩比甲好.
(4)∵甲的成绩在平均线上下波动;而乙处于上升趋势,从第四次以后就没有比甲少的情况发生,
∴乙更有潜力.
能力提升
1.在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有引起大规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据,一定符合该标志的是 ( )
A.甲地:总体平均数为3,中位数为4
B.乙地:总体平均数为1,总体方差大于0
C.丙地:中位数为2,众数为3
D.丁地:总体平均数为2,总体方差为3
,连续10天内,每天新增的疑似病例不能超过7人,选项A 中,中位数为4,可能存在大于7的数;同理,选项C 中也有可能存在大于7的数;选项B 中的总体方差大于0,叙述不明确,如果
方差太大,也有可能存在大于7的数;选项D 中,设连续10天,每天新增疑似病例分别为x 1,x 2,x 3,…,x 10,并设有一天超过7人,如第一天为8人,则s 2=110
[(8-2)2+(x 2-2)2+…+(x 10-2)2]>3,因为总体方差为3,所以说明连续10天,每天新增疑似病例不超过7人.
2.将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊,无法辨认,在图中以x 表示,则7个剩余分数的方差为( )
A.116
9
B.36
7
C.36
D.6√7
7
,去掉的两个数是87,99,所以87+90×2+91×2+94+90+x=91×7,解得x=4.故s 2=17
×[(87-91)2+(90-91)2×2+(91-91)2×2+(94-91)2×2]=367
.
3.若a 1,a 2,…,a 20这20个数据的平均数为x ,方差为0.2,则a 1,a 2,…,a 20,x 这21个数据的方差为 .
2=1
21×[(a 1-x )2+(a 2-x )2+…+(a 20-x )2+(x −x )2]=1
21×20×0.2=4
21.
4.对一个做直线运动的质点的运动过程观测了8次,得到如下表所示的数据.
在上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的算法流程图(其中a 是这8个数据的平均数),则输出的S 的值是 .
(40+41+43+43+44+46+47+48)×18
=44,该程序框图是计算这8个数据的方差,经计算得S=7,则输出7.
5.某工厂36名工人的年龄数据如下表.
(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据; (2)计算(1)中样本的均值x 和方差s 2;
(3)36名工人中年龄在x -s 与x +s 之间的有多少人?所占的百分比是多少(精确到0.01%)?
用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,根据题意,所抽取工人编号为2,6,10,14,18,22,26,30,34,相应工人的年龄数据为44,40,36,43,36,37,44,43,37.
(2)样本均值x =1
9×(44+40+36+43+36+37+44+43+37)=40.
样本方差s 2=19
×[(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2+(44-40)2+(43-40)2+(37-40)2]=19
×[42+02+(-4)2+32+(-4)2+(-3)2+42+32+(-3)2]=
100
9
. (3)由于x =40,s=√s 2=10
3
≈3.33,36名工人中年龄在x -s ≈36.67与x +s ≈43.33之间有23人,所占比例
为23
36≈63.89%.
6.某班有四个学习小组,各小组人数分别为10,10,x ,8,已知这组数据的中位数与平均数相等,求这组数据的中位数.
该组数据的平均数为14
(10+10+x+8)=14
(28+x ),中位数是这4个数按从小到大的顺序排列后处在最中间两个数的平均数.
(1)当x ≤8时,原数据从小到大排序为x ,8,10,10,中位数是9,由1
4(28+x )=9,得x=8,符合题意,此时中位数是9;
(2)当8<x ≤10时,原数据从小到大排序为8,x ,10,10,中位数是12(x+10),由14(28+x )=12
(10+x ),得x=8,与8<x ≤10矛盾,舍去;
(3)当x>10时,原数据从小到大排序为8,10,10,x ,中位数是10,由14
(28+x )=10,得x=12,符合题意,此时中位数是10.
综上所述,这组数据的中位数是9或10.。