解三角形角度、高度问题

第 2 课时 角度、高度问题
学习目标 1.准确理解实际测量中常用的仰角、俯角、方向角等概念 .2.掌握测量高度的常见
方法 .3.能把方向角等角度条件转化为解三角形的条件，解决航海等角度问题 . 知识点一 测量仰角 （或俯角 ） 求高度问题
思考 如图， AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物， A 为建筑物的最高点，如果能测出点 C ，
D 间的距离 m 和由 C 点，D 点观察 A 的仰角， 怎样求建筑物高度 AB ？ （已知测角仪器的高是
h)
在 Rt △AEC 中，
AE ＝ ACsin α，AB ＝AE ＋h. 梳理 问题的本质如图，已知 ∠AEC 为直角，CD ＝m ，用 α，β，m 表示 AE 的长，所得结果
再加上 h.
知识点二 测量方向角求高度
答案 解题思路是：在△ 所以 msin β sin α－
β
ACD 中， AC ＝ m sin β sin α－ β
.
思考如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行
A 处时测得公路北侧远处一山顶驶，到
D 在北偏西 75 °的方向上，行驶 5 km 后到达 B 处，测得此山顶在北偏西 65°的方向上，仰角为 8°，怎样求此山的高度 CD?
5sin 15 °
BC ＝5s s i i n n 1105 ，°°再在 Rt △DBC 中求 DC ＝BCtan 8.° 梳理 问题本质如图，已知三棱锥 D －
ABC ，DC ⊥平面 ABC ，AB ＝m ，用 α，β，m ，γ表示
DC 的长 .
1.在方向角中，始边一定是南或北，旋转方向一定是顺时针 .(× )
2.在仰角或俯角中，视线与水平线的关系实质是斜线与斜线在水平面内的射影
.(√ )
类型一 测量仰角 (或俯角 )求高度问题 例 1 如图所示， D ，C ，B 在地平面同一直线上， DC ＝10 m ，从 D ，C 两地测得 A 点的仰角
分别为 30°和 45°，则 A 点离地面的高 AB 等于 ( )
解析 方法一 设 AB ＝x m ，则 BC ＝x m.
答案 先在△ ABC 中，用正弦定理求
A.10 m
C.5（ 3－1） m
考点 解三角形求高度 题点 测量俯角 (仰角 )
求高度 答案 D B.5 3 m D.5（ 3＋1） m
∴BD ＝（10＋x） m.
解得 x ＝5（ 3＋1） m.
∴A 点离地面的高 AB 等于 5( 3＋1) m.
方法二 ∵∠ACB ＝45°，∴∠ACD ＝135°， ∴∠CAD ＝ 180°－ 135°－ 30°＝ 15°.
∴AB ＝ACsin 45 ＝°5( 3＋1) m.
反思与感悟 (1)底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形 .
(2)底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的 垂足在同一条直线上，观测者一直向 “目标物 ”前进.
跟踪训练 1 某登山队在山脚 A 处测得山顶 B 的仰角为 35°，沿倾斜角为 20°的斜坡前进 1 000 m 后到达 D 处，又测得山顶的仰角为 65°，则山的高度为 m.( 精确到 1 m)
答案 811
解析 如图，过点 D 作 DE ∥AC 交 BC 于E ， 因为 ∠DAC ＝20°， 所以 ∠ADE ＝160°， 于是 ∠ADB ＝360°－160°－ 65°＝135°.
又∠BAD ＝35°－20°＝15°，所以 ∠ABD ＝30°.
在 △ABD 中，由正弦定理，得
ADsin ∠ ADB 1 000×sin 135 °
AB ＝ ＝ ＝ 1 000 2(m).
sin ∠ ABD sin 30 °
在 Rt △ABC 中，BC ＝ABsin 35 ≈°811(m).
答 山的高度约为 811 m.
类型二 测量方向角求高度问题
例 2 如图所示， A ，B 是水平面上的两个点，相距 800 m ，在 A 点测得
∴tan ∠ADB ＝ AB ＝ x ＝ 3
.
DB 10＋ x 3
由正弦定理，得 AC ＝
·sin ∠ ADC
10 ·sin 30 ＝° 20
·sin 30 ＝° sin 15 ° 6－ 2
山顶 C 的仰角为 45°，∠ BAD ＝120°，又在 B 点测得∠ ABD＝45°，其中 D 点是点 C 到水平面的垂足，求山高 CD.
考点解三角形求高度
题点测量俯角（仰角）求高度
解由于 CD⊥平面 ABD，∠CAD ＝45°，所以 CD＝AD.
因此只需在△ABD 中求出 AD 即可，在△ABD 中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，
AB AD 由＝， sin
15 °sin 45 °
2
800× 得 AD＝AB si·n s i1n545°
＝°6－22＝800( 3＋
1)(m).
4
即山的高度为 800（ 3＋1） m.
反思与感悟此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观
测点所在直线不经过“ 目标物” ，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，
从而把空间问题转化为平面内解三角形问题
跟踪训练 2 如图，为测得河对岸塔 AB 的高，先在河岸上选一点 C，使 C 在塔底 B
的正东
＝45°，则塔 AB 的高是（）
A.10 m
C.10 3 m
考点解三角形求高度题点测量方向角、仰角求高度答案 D 解析在△BCD 中， CD
＝10 m，∠BDC＝45°，∠BCD＝ 15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，
方向上，测得点A 的仰角为 60°，再由点
C 沿北偏东 15°方向走 10 m 到位置
D ，测得∠ BDC
B.10 2 m
D.10 6 m
BC CD 由正弦定理，得 sin ∠BC BDC ＝sin ∠CD
DBC ，
又∠ABC ∈（0°，60°），∴∠ ABC ＝45°， ∴ B 点在 C 点的正东方向上，
∴∠CBD ＝ 90°＋ 30°＝120°，
BD CD
在 △BCD 中，由正弦定理得 BD ＝ CD ，
sin ∠ BCD sin ∠ CBD
∴ 缉私船沿北偏东 60°的方向行驶
BC ＝ 10sin 45 °＝°10 2（m ）. 在 Rt △ABC 中， tan 60 ＝° AB ， BC
，
AB ＝ BC ×tan 60 ＝°10 6（m ）. 类型三 航海问题
例 3 如图， 在海岸 A 处发现北偏东 45°方向， 距 A 处 （ 3－
1）海里的 B 处 有一艘走私船 .在 A 处北偏西 75°方向，距 A 处
2 海里的 C 处的我方缉私 船奉命以 10 3海里/时的速度追截走私
速度，从 B 处向北偏东 30°方向逃窜 .问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求 出所需时间 .
考点 解三角形求距离
题点 测量方向角求距
解 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快截获 （在 D 点 ）走私船，则 CD ＝ 10 3t ，BD
＝10t ，
在 △ABC 中，由余弦定理，
有 ＝（ 3－ 1）2＋ 22－ 2（ 3－ 1） ·2·cos 120 ＝°6. ∴ BC ＝ 6.又 ∵ BC sin A AC
， sin ∠ABC ， sin ∠ABC ＝ AC ·si n A 2·sin 120 ° ＝ 2， 2， ∴ sin ∠ BCD ＝ BD ·sin ∠ CBD CD 10t ·si n 120 10 3t
1. 2. 又∵∠BCD ∈（0 °， 60°）， ∴∠ BCD ＝ 30°，
又在 △BCD 中， ∠ CBD ＝120°，∠BCD ＝30°，
∴∠ D ＝30°，∴BD ＝BC ，即 10t ＝ 6.
∴t ＝ 106小时 ≈15分钟 .
∴缉私船应沿北偏东 60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要 15 分钟 . 反思与感悟 解决航海问题一要搞清方位角 （方向角 ），二要弄清不动点 （三角形顶点 ），然后根 据条件，画出示意图，转化为解三角形问题 跟踪训练 3 甲船在 A 点发现乙船在北偏东 60°的 B 处，乙船以每小时 a 海里的速度向北行 驶，已知甲船的速度是每小时 3a 海里，问甲船应沿着什么方向前进， 才能最快与乙船相遇？ 考点 解三角形求距离 题点 测量方向角求距离
解 如图所示 .设经过 t 小时两船在 C 点相遇， 则在 △ABC 中，
BC ＝ at （海里 ），
AC ＝ 3at （海里 ），
B ＝90°＋ 30°＝120°，
由 BC ＝ AC ，得 sin ∠ CAB sin B
BCsin B at ×sin 120 sin ∠ CAB ＝ AC ∵0°<∠CAB<60°，∴∠ CAB ＝30°， ∴∠DAC ＝ 60°－ 30°＝30°，
∴ 甲船应沿着北偏东 30°的方向前进，才能最快与乙船相遇
1. 某公司要测量一水塔 CD 的高度，测量人员在地面选择了 A ，B 两个 观测点，且 A ，B ， C 三点在同一直线上，如图所示，在 A 处测得该水 塔顶端 D 的仰角为 α，在 B 处测得该水塔顶端 D 的仰角为 β. 若 AB ＝
3 ＝ 2 ＝ 1， ＝ 3＝ 2， 3at
a,0<β<α<2π
，则水塔 CD 的高度为
（
) A. asin α－ βsin α
A. sin βasin β sin α－β
答案
在△ ABC 中，由正弦定理得 sin A 3B 0 ＝°sin A 1C 35 ， ∴AC ＝ 100 2.
AC
＝ CD sin θ＋ 90° sin 15
3.
一架飞机在海拔 8 000 m 的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是
30°和
45°，则这个海岛的宽度为 ___ m.（精确到 0.1 m ）
考点 解三角形求宽度
题点 已知高度、俯角 （仰角 ）求宽度
答案 5 856.4 B.asin αsin β sin α－ β C. sin α D. sin α－ βsin β
考点 解三角形求高度 题点 测量俯角 （仰角 ）求高
度 答案 B
解析 根据题意知，在 △ABD 中，
∠ ADB ＝ α－ β，由正弦定理， 得 sin αs A in D β，即 AD sin β
在 Rt △ACD 中， CD ＝ADsin asin αsin β α＝ . sin α－ β 2. 如图所示，在坡度一定的山坡 A 处测得山顶上一建筑物 CD 的顶端 C
对于山坡的斜度为 15°，向山顶前进 100 m 到达 B 处，又测得 C 对于山
坡的斜度为 45°，若 CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为 θ，则 cos θ
等于（
A. 3 2
B. 22
C. 3－ 1
D. 2－ 1
考点 解三角形求角度
题点 解三角形求角度
解析
在 △ADC 中， ∴ cos θ＝sin(θ＋90°)＝ AC ·sin 15 CD asin
asin α－
4.
甲、乙两楼相距 20 米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为
60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为
30°， 则甲、乙两楼的高分别是 ___________ .
考点 解三角形求高度
题点 测量俯角 （仰角 ）求高度
答案 20 3米， 40
3 3米
3
解析 甲楼的高为 20tan 60 °＝20× 3＝20 3（米）， 乙楼的高为 20 3－20tan 30 ＝°20 3－20× 33＝40
3 3(米).
5. _____________________________________ 某船开始看见一灯塔在南偏东 30 °方向，后来船沿南偏东 60 °的方向航行 45 km 后，看见该 灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是 _________________________ km.
考点 解三角形求距离
题点 测量方向角求距离
答案 15 3
解析 设灯塔位置为 A ，船的初始位置为 O ，船的终止位置为 B ， 由题意知 ∠ AOB ＝ 30°， ∠OAB ＝ 120°，
则∠OBA ＝30°，
所以由正弦定理，得 AB ＝ 15 3，
即此时船与灯塔的距离是 15 3 km.
1.
在研究三角形时， 灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，
但有些过程较繁
琐， 如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算 方式 .
2. 测量底部不可到达的建筑物的高度问题 .由于底解析
宽＝
8 000 tan 30 8 000 tan 45 ＝5 856.4(m).
a,0<β<α<2π，则水塔 CD 的高度为
（)
部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题
、选择题 1.为了测某塔 AB 的高度，在一幢与塔 AB 相距 20 m 的楼顶处测得塔顶的仰角为 30°，塔基的 俯角为 45°，那么塔 AB 的高为 （ 3
A.20 1＋ 3 m C.20（1＋ 3） m 考点 解三角形求高度
题点 测量俯角 （仰角 ）求高度 答案 A 2.在某个位置测得某山峰仰角为 θ，对着山峰在地面上前进 600 m 后测得仰角为 2θ，继续在 地面上前进 200 3 m 以后测得山峰的仰角为 4θ，则该山峰的高度为 （ ）
A.200 m
B.300 m
C.400 m
D.100 3 m 考点 解三角形求高度
题点 测量俯角 （仰角 ）求高度 答案 B
解析 如图， △BED ，△BDC 为等腰三角形，
BD ＝ED ＝ 600 m ， BC ＝ DC ＝ 200 3 m.
在 △BCD 中，由余弦定理可得
6002＋ 200 3 2－ 200 3 2
2× 600× 200 3 ∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°， 4θ＝60°. 在 Rt △ABC 中， AB ＝ BCsin 4θ＝200 3× 23＝ 300(m) ， 故选 B. 3.
海上有 A ，B 两个小岛相距 10 n mile ，从 A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从 B 岛望 C 岛 和 A 岛成 75°的视角，则
B ，
C 间的距离是 （
）
解析 塔的高度为 cos 2θ＝
D.30
20tan 30 °＋20tan
A.10 3 n mile
B.103 6 n mile
C.5 2 n mile
D.5 6 n mile 考点 解三角形求距离 题点 测量方向角求距离 答案 D 解析 在△ ABC 中， C ＝180°－60°－75°＝45°.
BC AB BC 10 由正弦定理，得 ＝ ， ∴ ＝ ， sin A sin C sin 60 °sin 45 °
解得 BC ＝5 6 n mile. 4.
已知两座灯塔 A ，B 与海洋观察站 C 的距离相等， 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40°， 在观察站 C 的南
偏东 60°，则灯塔 A 在灯塔 B 的 ( )
A. 北偏东 10°
B. 北偏西 10°
C.南偏东 10°
D.南偏西 10°
考点 三角形中角度的求解 题点 三角形中角度的求解 答案 B
解析 如图，因为 △ ABC 为等腰三角形，
45°，
灯塔
B
解析如图所示，
BC＝ 3h， AC＝h，
∴AB＝ 3h2＋ h2＝2h（米）.
45°，此人沿南偏东 40°方向前进 10 m 到 D，6.某人在 C 点测得某塔在南偏西 80°，塔
顶仰角为
测得塔顶 A 的仰角为 30°，则塔高为
（）
A.15 m
B.5 m
C.10 m
D.12 m
考点解三角形求高度
题点测量俯角（仰角）求高度
答案 C
解析如图，设塔高为 h，在 Rt △AOC
中，∠ACO＝45°，
则 OC＝OA＝ h.
在 Rt △AOD 中，∠ADO＝30°，
则 OD ＝ 3h.
在△OCD 中，∠OCD＝120°，
CD＝10，
由余弦定理，
得 OD 2＝OC2＋CD2－ 2OC ·CD cos∠ OCD ，
即（ 3h）2＝h2＋102－2h×10×cos 120 ，°
∴h2－5h－50＝0，解得 h＝10 或 h＝－ 5（舍）.
即塔高为 10 m.
7.一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40 °的方向直线航
行， 30 分钟后到达 B处，在 C处有一座灯塔，海轮在 A处观察灯塔，其方向是
南偏东 70°，在 B处观察灯塔，其方向是北偏东 65°，那么 B，C 两点间的距离是
（）
A.10 2 海里
B.10 3 海里
C.20 3 海里
D.20 2 海里
考点解三角形求距离
题点测量俯角（仰角）求距离
答案 A
解析 如图所示，易知，
在△ABC 中， AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°， 根据正弦定理得
BC
＝ AB ， sin 30 ＝°sin 45 ， 解得 BC ＝10 2.
8.
要测量河流一侧某建筑物的高度，在河流的另一侧选择
甲、乙两个观测点，在甲、乙两点 分别测得该建筑物顶点的仰角为 45°，30°，在水平面上测得该建筑物和甲地连线与甲、乙两
解析
在△ABC 中，由余弦定理，得地连线所成的角为 120°，甲、 A.100 2 m C.200 3 m 考点 解三角形求高度 题点 测
量俯角 (仰角 )求高度 答案 D 解析 由题意画出示意图， 设高 AB ＝h ，在 Rt △ ABC 中， 在 Rt △ABD 中， 由已知得 BD ＝ 3h. 在 △BCD 中，由余弦定理 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ×CD ×cos ∠BCD ，得 乙两地相距 500 m
则该建筑物的高度是 ( )
B.400 m D.500
m 由已知得 BC ＝
h. 答
案 3π 4
考点 解三角形求距离 题点 测量俯角 （仰
角 ）求距离 答案 3 2＋ 6 20
解析 在△ ABC 中， ∠BCA ＝60°， ∠ABC ＝75°－60°＝15°，AC ＝0.1 km ，
cos ∠ ACB ＝ 32＋ 2 2 2－ 29 2 ＝ 2× 3×2 2 ＝ 2. 2 3π 因为∠ACB ∈（0，π），所以 ∠ACB
10.如图，测量河对岸的塔高 AB 时，选取与塔底 B 在同一水平面内的两个
测点 C 与 D ，测得∠ BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30米，并在点 C 测 得塔顶
A 的仰角为 60°，则塔高 A
B ＝ 米 . 考点 解三角形求高度
题点 测量俯角 （仰角 ）求高度 答案 15 6
解析 在△BCD 中，
∠CBD ＝ 180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理，得 BC
＝ CD
sin
∠ BDC ＝ sin ∠ CBD
所以 BC ＝3s 0in si n 1 3350 ＝°°15 2.
在 Rt △ABC 中，AB ＝BCtan ∠ACB ＝15 2×tan 60 ＝ 15 6（米 ）.
11.如图， A ，B ， C ，D 都在同一个与水平面垂直的平面内， B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔 顶 .测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75°，30°，于水面 C 处测得 B 点和 D 点 的仰角均为 60°，AC ＝0.1 km.若 AB ＝ BD ，则 B ，D 间的距离为 km.
由正弦定理，得 sin ∠AB BCA ＝sin ∠AC ABC ，
所以 AB ＝
0.1sin 60
sin
°3 2＋ 6 20 (km) ， 又因为 BD ＝ AB ，所以 BD ＝
3 22＋0
6
(km).
三、解答题 12. 如图所示，在地面上共线的三点 A ，B ， C 处测得一建筑物的仰
角分
别为 30°，45°，60°，且 AB ＝ BC ＝ 60 m ，求建筑物的高度 .
考点 解三角形求高度
题点 测量俯角 （仰角 ）求高度 解 设建筑物的高度为 h ，由题图知， ∴在△PBA 和 △PBC 中，分别由余弦定理，
222
60 ＋2h － 4h 得
cos ∠PBA ＝
， ①
2× 60× 2h
2 2
4
2
∵∠ PBA ＋∠PBC ＝180°， ∴cos ∠PBA ＋ cos ∠ PBC ＝0.③
由①②③ ，解得 h ＝30 6或 h ＝－ 30 6（舍去 ），即建筑物的高度为 30 6 m. 13. 甲船在 A 处，乙船在 A 的南偏东 45°方向，距 A 有 9海里的 B 处，并以 20 海里/时的速度 沿南偏西 15°方向行驶，若甲船以 28海里 /时的速度行驶，用多少小时能最快追上乙船？ 考点 解三角形求距离 题点 测量方向角求距离
解 如图所示，设用 t 小时甲船能追上乙船，且在 C 处相遇 .
在△ABC 中， AC ＝28t ，BC ＝20t ，AB ＝9，
2 2 2
由余弦定理得 AC 2＝AB 2＋BC 2
－2AB ·BCcos ∠
即(28t)2＝92＋(20t)2－2×9×20t× －
2
1，
2 3 9
128t2－60t－27＝0，∴t＝或 t＝－(舍
∴ 甲船用43小时能最快追上乙船
四、探究与拓展
14.______________________ 某人在塔的正东沿着南偏西 60°的
方向前进 40 m 后，望见塔在东北方向，最大仰角为 30°，则塔高
为__________________________ m.
考点解三角形求高度
题点测量方向角、仰角求高度
答案10 3－33
解析如图所示，
若沿途测得塔的
设 AE 为塔， B 为塔正东方向一点，沿南偏西 60 °前进 40 m 到达 C 处，
即 BC＝40，∠ CAB＝135°，∠ABC＝30°，∠ ACB
＝15°.
AC BC
在△ABC 中，＝，
sin∠ ABC sin∠CAB
即AC
＝
40
，∴AC ＝20 2.
sin 30 °sin 135 °
在△ABC 中，由面积公式知11
21×BC×AG＝1
2×BC×AC×sin∠ACB. AG＝
AC×CB×sin∠
ACB
BC
＝ AC × sin ∠ ACB＝ 20 2sin 15 ，∴ AG＝20 2sin(45 °－ 30°)
＝20 2 22× 23－22×12＝ 10（ 3－ 1）.
在 Rt △AEG 中，∵ AE＝ AG tan∠AGE ，∴AE＝ 10（ 3－ 1）× 33＝10－1033，∴ 塔高为 10－1033 m.
15.为保障高考的公平性，高
考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围 1 千米处
不
能收到手机信号，检查员抽查某市一考点，在考点正西 3千米有一条北偏东 60°方
向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时 12 千米的速度沿公路行驶，
问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？考点解三角形的实际综合应用
题点解三角形的实际综合应用
解如图所示，考点为 A，检查开始处为 B ，设检查员行驶
到公路上 C， D 两点之间时收不到信号，即公路上两点到
C，
考点的距离为 1 千米 .
在△ABC 中，AB＝ 3（千米），
AC＝ 1（千米），∠ ABC＝ 30°，由正弦定理，得 sin∠ACB＝sin A C30×°AB＝23，∴∠ ACB＝ 120°（∠ ACB ＝60°不合题意），∴∠ BAC＝ 30°，∴ BC＝AC ＝1（千米）.
在△ACD 中，AC＝AD＝1，∠ACD ＝60°，
∴△ ACD 为等边三角形，∴CD＝1（千米）. ∵B1C2×60＝5，∴在BC 上需 5分钟，CD 上需 5分钟.
∴最长需要 5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少 5 分钟才算合格
1
所以∠CBA ＝21(180 °－80°)＝50°，
60°－50°＝ 10°，故选 B.
5.从高出海平面 h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为 30 °，看正南方向有一只船
俯角为则此时两船间的距离为 ( )
A.2h 米
B. 2h 米
C. 3h米
D.2 2h 米
考点解三角形求距离
题点测量俯角 (仰角 )求距离
答案 A
2 2 2
3h2＝h2＋5002＋h×500，解得 h＝500(m)( 负值舍去 ).故选 D.
、填空题
9.如图所示为一角槽，已知 AB⊥AD ，AB⊥BE，并测量得 AC＝3 mm，BC＝2 2 mm，AB＝ 29 mm，则∠ ACB＝________ .
考点解三角形求角度题点解三角形求角度。