《成才之路》2015-2016学年高中数学人教A版选修2-1同步练习第二章圆锥曲线与方程2.4抛物线第2课时

第二章 2.4 第2课时
一、选择题
1．(2015·河南洛阳市高二期末测试)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝10，则弦AB 的长度为( )
A ．16
B ．14
C ．12
D ．10
[答案] C
[解析] 设抛物线的焦点为F ，则|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝10＋2＝12. 2．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点P (k ，－2)与点F 的距离为4，则k 等于( )
A ．4
B ．4或－4
C ．－2
D ．－2或2 [答案] B
[解析] 由题设条件可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，又点P 在抛物线上，则k 2＝4p ， ∵|PF |＝4∴p
2
＋2＝4，即p ＝4，∴k ＝±4.
3．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，F A →
与x 轴正向的夹角为60°，则|OA |为( )
A.21
4p B.212p C.
136
p D.1336
p [答案] B
[解析] 设A (x 1，y 1)，直线F A 的方程为y ＝3(x －p
2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2px y ＝3(x －p 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝32p y 1＝3p
. ∴|OA |＝x 21＋y 21＝
94p 2＋3p 2＝21
2
p . 4．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线y 2＝43
x 的焦点重合，则该双曲线的离心率等于( )
A. 2
B. 3 C ．2 D ．2 3
[答案] B
[解析] ∵抛物线y 2＝43x 的焦点(3，0)为双曲线的右焦点，∴c ＝3， 又b
a
＝2，结合a 2＋b 2＝c 2，得e ＝3，故选B. 5．过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，若点A 、B 在抛物线准线上的射影分别为A 1，B 1，则∠A 1FB 1为( )
A ．45°
B ．60°
C ．90°
D ．120°
[答案] C
[解析] 设抛物线方为y 2＝2px (p >0)． 如图，∵|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|，
∴∠AA 1F ＝∠AF A 1，∠BFB 1＝∠FB 1B .
又AA 1∥Ox ∥B 1B ，∴∠A 1FO ＝∠F A 1A ，∠B 1FO ＝∠FB 1B ，∴∠A 1FB 1＝1
2∠AFB ＝90°.
二、填空题
6．一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2＝ax 上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为363，则a ＝__________________.
[答案] ±2 3
[解析] 设正三角形边长为x . 363＝1
2
x 2sin60°，∴x ＝12.
当a >0时，将(63，6)代入y 2＝ax 得a ＝23， 当a <0时，将(－63，6)代入y 2＝ax 得a ＝－23， 故a ＝±2 3.
7．已知点A (2,0)、B (4,0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 上运动，则AP →·BP →取得最小值时的点P 的坐标是________________．
[答案] (0,0)
[解析] 设P ⎝⎛⎭
⎫－y 24，y ，则AP →＝⎝⎛⎭⎫－y 2
4－2，y ，BP →＝⎝⎛⎭⎫－y 2
4－4，y ，AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫－y 2
4－2⎝⎛⎭⎫－y 2
4－4＋y 2＝y 4
16＋52
y 2＋8≥8，当且仅当y ＝0时取等号，此时点P 的坐标为(0,0)． 三、解答题
8．求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线准线相切．
[解析] 如图，作AA ′⊥l 于A ′，BB ′⊥l 于B ′，M 为AB 的中心，作MM ′⊥l 于M ′，
则由抛物线定义可知|AA ′|＝|AF |，|BB ′|＝|BF |，
在直角梯形BB ′A ′A 中，|MM ′|＝1
2(|AA ′|＋|BB ′|)
＝12(|AF |＋|BF |)＝1
2
|AB |， 即|MM ′|等于以|AB |为直径的圆的半径． 故以|AB |为直径的圆与抛物线的准线相切．
9．一抛物线拱桥跨度为52 m ，拱顶离水面6.5 m ，一竹排上载有一宽4 m ，高6 m 的大木箱，问竹排能否安全通过？
[解析] 如图所示建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为x 2＝－2py ，则有A (26，－6.5)， 设B (2，y )，由262＝－2p ×(－6.5)得p ＝52， ∴抛物线方程为x 2＝－104y . 当x ＝2时，4＝－104y ，y ＝－126，
∵6.5－1
26
>6，∴能安全通过．
一、选择题
1．一个动圆圆心在y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则此动圆必过定点( ) A ．(4,0) B ．(2,0) C ．(0,2) D ．(0，－2)
[答案] B
[解析] 由题意得，抛物线的焦点坐标为F (2,0)，准线方程为x ＝－2，因为动圆与x ＝－2相切，圆心在抛物线上，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离，即动圆必过抛物线的焦点F (2,0)．
2．抛物线y ＝4x 2上的某点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点的坐标是( ) A ．(0,0) B ．(1,4) C ．(1
2，1)
D ．以上都不对
[答案] C
[解析] 设直线y ＝4x ＋b 与抛物线y ＝4x 2相切，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝4x ＋b y ＝4x 2，得4x 2－4x －b ＝0， Δ＝16＋16b ＝0，∴b ＝－1.
∴方程4x 2－4x ＋1＝0的两根为x 1＝x 2＝1
2.
将x ＝1
2
代入y ＝4x 2得y ＝1，故选C.
3．抛物线y 2
＝2x 的焦点为F ，其准线经过双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左顶点，点M 为
这两条曲线的一个交点，且|MF |＝2，则双曲线的离心率为( )
A.
102
B ．2 C. 5 D.52
[答案] A
[解析] F (12，0)，l ：x ＝－1
2，
由题意知a ＝1
2
.
由抛物线的定义知，x M －(－12)＝2，∴x M ＝3
2，
∴y 2M ＝3，∵点(x M ，y M
)在双曲线上，∴9
414－3b 2＝1， ∴b 2
＝38，∴c 2＝a 2＋b 2＝58，∴e 2
＝c 2a 2＝58×4＝52
，
∴e ＝
102
. 4．已知A 、B 在抛物线y 2＝2px (p >0)上，O 为坐标原点，如果|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰好是此抛物线的焦点F ，则直线AB 的方程是( )
A ．x －p ＝0
B ．4x －3p ＝0
C ．2x －5p ＝0
D ．2x －3p ＝0
[答案] C
[解析] 如图所示：
∵F 为垂心，F 为焦点，OA ＝OB ，∴OF 垂直平分AB . ∴AB 为垂直于x 轴的直线
设A 为(2pt 2,2pt )(t >0)，B 为(2pt 2，－2pt )， ∵F 为垂心，∴OB ⊥AF ，∴k OB ·k AF ＝－1， 即－(2pt )2(2pt 2－p 2
)·2pt 2
＝－1，解得t 2＝54
∴AB 的方程为x ＝2pt 2＝5
2p ，∴选C.
二、填空题
5．(2015·黑龙江哈师大附中高二期中测试)已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是__________________．
[答案] π4或3π4
[解析] 设直线的倾斜角为θ，由题意得12＝2p sin 2θ＝6sin 2θ，∴sin 2θ＝1
2，
∴sin θ＝±2
2
，
∵θ∈[0，π)，∴θ＝π4或3π
4
.
6．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝__________________.
[答案] 8
[解析] 如图，k AF ＝－3， ∴∠AFO ＝60°，
∵|BF |＝4，∴|AB |＝43， 即P 点的纵坐标为43， ∴(43)2＝8x ，∴x ＝6， ∴|P A |＝8＝|PF |. 三、解答题
7．如图，有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD ，按如图所示的方法进行折叠，使每次折叠后点B 都落在AD 边上，此时记为B ′(注：图中EF 为折痕，点F 也可落在CD 边上)．过点B ′作B ′T ∥CD 交EF 于点T ，求点T 的轨迹方程．
[解析] 如图，以边AB 的中点O 为原点，AB 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (0，－2)．连结BT ，由折叠知|BT |＝|B ′T |.∵B ′T ∥CD ，CD ⊥AD ，
∴B ′T ⊥AD .根据抛物线的定义知，点T 的轨迹是以点B 为焦点，AD 所在直线为准线的抛物线的一部分．设T (x ，y )．∵|AB |＝4.即定点B 到定直线AD 的距离为4，∴抛物线的方程为x 2＝－8y .在折叠中，线段AB ′的长度|AB ′|在区间[0,4]内变化，而x ＝|AB ′|，∴0≤x ≤4，故点T 的轨迹方程为x 2＝－8y (0≤x ≤4)．
8．定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线y 2＝x 上移动，求AB 中点到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标．
[解析] 如图，设F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 两点到准线的垂线分别是AC 、BD ，M 点到准线的垂线为MN ，N 为垂足，则|MN |＝1
2
(|AC |＋|BD |)，
根据抛物线定义得|AC |＝|AF |，|BD |＝|BF |，∴|MN |＝12(|AF |＋|BF |)≥|AB |2＝3
2.
设M 点的横坐标为x ，则|MN |＝x ＋1
4，
∴x ＝|MN |－14≥32－14＝5
4，
等号成立的条件是弦AB 过点F ， 由于|AB |>2p ＝1，
∴AB 过焦点是可能的，此时M 点到y 轴的最短距离是54，即AB 的中点横坐标为5
4.
当F 在AB 上时，设A 、B 的纵坐标分别为y 1、 y 2，则y 1y 2＝－p 2＝－1
4，从而(y 1＋y 1)2＝
y 21＋y 2
2＋2y 1y 2＝2×54－12
＝2，∴y 1＋y 2＝±2， ∴M 点的坐标为(54，±22)时，M 到y 轴距离的最小值为5
4
.。