2019-2020学年高中三维设计一轮复习文数通用版：第十六单元 算法初步、复数、推理与证明

第十六单元 算法初步、复数、推理与证明
教材复习课“算法初步、复数、推理与证明”相关基础知识一课过
三种基本逻辑结构
1．(2018·成都质检)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是( )
A ．－3
B ．0 C. 3
D ．336 3
解析：选C 由框图知输出的结果 s ＝sin π3＋sin 2π3＋…＋sin 2 018π3，
因为函数y ＝sin π
3
x 的周期是6，
所以s ＝336⎝⎛⎭⎫sin π3＋sin 2π3＋…＋sin 6π3＋sin π3＋sin 2π3＝336×0＋32＋3
2＝ 3. 2．执行如图所示的程序框图．若输出y ＝－3，则输入的角θ＝( )
A.π
6 B ．－π6
C.π3
D ．－π3
解析：选D 由输出y ＝－3<0，排除A 、C ，又当θ＝－π
3时，输出y ＝－3，故选D.
3．执行如图所示的程序框图，已知输出的s ∈[0,4]，若输入的t ∈[m ，n ]，则实数n －m 的最大值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选D 由程序框图得s ＝⎩⎪⎨⎪⎧
3t ，t <1，
4t －t 2
，t ≥1，
作出s 的图象如图
所示．若输入的t ∈[m ，n ]，输出的s ∈[0,4]，则由图象得n －m 的最大
值为4.
4．某程序框图如图所示，若输出的p 值为31，则判断框内应填入的条件是( )
A ．n >2?
B ．n >3?
C ．n >4?
D ．n >5?
解析：选B 运行程序：p ＝1，n ＝0；n ＝1，p ＝2；n ＝2，p ＝6；n ＝3，p ＝15；n ＝4，p ＝31，根据题意，此时满足条件，输出p ＝31，即n ＝3时不满足条件，n ＝4时满足条件，故选B.
[清易错]
某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是7
4
，则a ＝________.
解析：由已知可得该程序的功能是计算并输出S ＝1＋11×2＋12×3＋…＋1a (a ＋1)
＝1＋1－12＋12－13＋…＋1a －1
a ＋1
＝2－
1a ＋1
.
若该程序运行后输出的值是7
4，
则2－
1a ＋1＝7
4
， 解得a ＝3. 答案：3
1．复数的有关概念
复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即
(1)复数z ＝a ＋b i 一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R)． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)一一对应平面向量OZ ―→
. 3．复数的运算
设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；
④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )
(c ＋d i )(c －d i )＝
ac ＋bd ＋(bc －ad )i
c 2＋
d 2(c ＋d i ≠0)．
[小题速通]
1．(2016·全国卷Ⅲ)若z ＝4＋3i ，则z |z |
＝( ) A ．1
B ．－1
C.45＋35i
D.45－35
i 解析：选D ∵z ＝4＋3i ，∴z ＝4－3i ，|z |＝42＋32＝5，
∴z
|z |＝4－3i 5＝45－35
i. 2．若复数z 满足(1＋i)z ＝|3＋i|，则在复平面内，z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选A 由题意，得z ＝
(3)2＋121＋i ＝2(1－i )
(1＋i )(1－i )
＝1－i ，所以z ＝1＋i ，其在复平
面内对应的点为(1,1)，位于第一象限．
3．复数2i
1＋i (i 为虚数单位)实部与虚部的和为( )
A ．2
B ．1
C ．0
D ．－2
解析：选A 因为2i 1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i ，所以复数2i
1＋i (i 为虚数单位)实部与虚部的和
为2.
4．已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 解析：∵z ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝10－5i
5＝2－i ，
∴z ＝2＋i. 答案：2＋i
[清易错]
1．利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件． 2．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z 1，
z 2∈C ，z 21＋z 22＝0，就不能推出z 1＝z 2＝0；z 2
<0在复数范围内有可能成立．
1．已知4＋m i
1＋2i ∈R ，且m ∈R ，则|m ＋6i|＝( )
A ．6
B ．8
C ．8 3
D ．10
解析：选D 4＋m i 1＋2i ＝(4＋m i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝4＋2m ＋(m －8)i
5，
因为复数4＋m i
1＋2i ∈R ，故m ＝8，
所以|m ＋6i|＝|8＋6i|＝10.
2．已知5i
2－i ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝______.
解析：
5i
2－i ＝5i (2＋i )
(2－i )(2＋i )＝－1＋2i ， 由
5i
2－i
＝a ＋b i ，得－1＋
2i ＝a ＋b i ，∴a ＝－1，b ＝2， ∴a ＋b ＝1. 答案：1
合情推理与演绎推理
1．合情推理
类型
定义
特点
归纳 推理
由某类事物的部分对象具有某些特征，推
出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的
推理
由部分到整体、由个别到一般 类比 推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也
具有这些特征的推理
由特殊到特殊
(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断． [小题速通]
1．已知2和3都是无理数，试证：2＋3也是无理数，某同学运用演绎推理证明如下：依题设2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2＋3必是无理数．这个同学证明是错误的，错误原因是( )
A ．大前提错误
B ．小前提错误
C ．推理形式错误
D ．以上都可能
解析：选A 大前提：无理数与无理数之和是无理数，错误； 小前提：2和3都是无理数，正确； 结论：2＋3也是无理数，正确， 故只有大前提错误．
2.我们在学习立体几何推导球的体积公式时，用到了祖暅原理：即两个等高的几何体，被等高的截面所截，若所截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．类比此方法：求双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b
＞0)与x 轴，直线y ＝h (h ＞0)及渐近线y ＝b
a x 所围成的阴影部分(如图)绕y 轴旋转一周所得的几何体的体积为________．
解析：由题意可知，该几何体的横截面是一个圆环，设圆环的外半径与内半径分别为R ，r ，
其面积S ＝π(R 2－r 2)．
∵x 2a 2－y 2b 2＝1⇒R 2＝a 2＋a 2
b
2y 2， 同理：r 2
＝a 2b
2y 2，
∴R 2－r 2＝a 2，由祖暅原理知，此旋转体的体积等价于一个半径为a ，高为h 的柱体的体积，为πa 2h .
答案：πa2h
3．有如下等式：
2＋4＝6；
8＋10＋12＝14＋16；
18＋20＋22＋24＝26＋28＋30；
……
以此类推，则2 018出现在第________个等式中．
解析：①2＋4＝6；
②8＋10＋12＝14＋16；
③18＋20＋22＋24＝26＋28＋30，
……
其规律为：各等式首项分别为2×1,2×(1＋3)，2×(1＋3＋5)，…，
所以第n个等式的首项为2[1＋3＋…＋(2n－1)]＝2×n(1＋2n－1)
2＝2n
2,
当n＝31时，等式的首项为2×312＝1 922, 当n＝32时，等式的首项为2×322＝2 048, 所以2 018在第31个等式中．
答案：31
1．直接证明
间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法． (1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．
(2)用反证法证明的一般步骤： ①反设——假设命题的结论不成立；
②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止； ③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立． [小题速通]
1．(2018·成都一模)要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只需证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2
＋b 2
－1－a 4＋b 42
≤0
C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0
D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0
解析：选D a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0.
2．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )
A ．f (x )
B ．－f (x )
C ．g (x )
D ．－g (x )
解析：选D 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．
3．下列命题适合用反证法证明的是________．(填序号) ①已知函数f (x )＝a x ＋
x －2
x ＋1
(a ＞1)，证明：方程f (x )＝0没有负实数根； ②若x ，y ∈R ，x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＞2， 求证：1＋x y 和1＋y
x 中至少有一个小于2； ③关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)的解是唯一的；
④同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交．
解析：①是“否定”型命题，②是“至少”型命题，③是“唯一”型命题，且命题中条
件较少，④中条件较少，不足以直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明．
答案：①②③④
一、选择题
1．若z ＝i(3－2i)(其中i 为复数单位)，则z ＝( ) A ．3－2i B ．3＋2i C ．2＋3i
D ．2－3i
解析：选D 由z ＝i(3－2i)＝2＋3i ，得z ＝2－3i.
2．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝a －3i
1－i 在复平面上对应的点在y 轴上，则a 为
( )
A ．－3
B ．－13
C.13
D ．3
解析：选A ∵z ＝a －3i 1－i ＝(a －3i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝a ＋3－(3－a )i
2，
又复数z ＝a －3i
1－i
在复平面上对应的点在y 轴上，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋3＝0，3－a ≠0，
解得a ＝－3. 3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ”索的因应是( )
A ．a －b >0
B ．a －c >0
C ．(a －b )(a －c )>0
D ．(a －b )(a －c )<0
解析：选C
b 2－a
c <3a ⇔b 2－ac <3a 2
⇔(a ＋c )2－ac <3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0 ⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c )(2a ＋c )>0 ⇔(a －c )(a －b )>0.
4．[n ]表示不超过 n 的最大整数． 若S 1＝[ 1 ]＋[ 2 ]＋[ 3 ]＝3，
S 2＝[ 4 ]＋[ 5 ]＋[ 6 ]＋[7 ]＋[8 ]＝10，
S 3＝[9 ]＋[10 ]＋[11 ]＋[12 ]＋[13 ]＋[14 ]＋[15 ]＝21， …… 则S n ＝( ) A ．n (n ＋2)
B ．n (n ＋3)
C ．(n ＋1)2－1
D ．n (2n ＋1)
解析：选D 观察得到：S n 是从n 2开始到(n ＋1)2(不含)之前共2n ＋1个n 的和，所
以S n 为n (2n ＋1)．
即[n 2]＋[
n 2＋1]＋[
n 2＋2]＋…＋[
(n ＋1)2－1]＝n (2n ＋1)．
5．(2017·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为(
)
A ．2 B.32 C.53
D.85
解析：选C 运行该程序，k ＝0，s ＝1，k <3； k ＝0＋1＝1，s ＝1＋1
1＝2，k <3；
k ＝1＋1＝2，s ＝2＋12＝3
2
，k <3；
k ＝1＋2＝3，s ＝32＋132＝53，此时不满足循环条件，输出s ，故输出的s 值为5
3.
6．若数列{a n }是等差数列，b n ＝
a 1＋a 2＋…＋a n
n
，则数列{b n }也为等差数列．类比这一性
质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )
A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n
n
B ．d n ＝c 1·c 2·…·c n
n
C ．d n ＝ n c n 1＋c n 2＋…＋c n
n
n
D ．d n ＝n
c 1·c 2·…·c n
解析：选D 因为数列{a n }是等差数列，所以b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝a 1
＋(n －1)·d 2(d 为等差数列{a n }的公差)，{b n }也为等差数列，因为正项数列{c n }是等比数列，设公比为q ，则d n ＝n
c 1·c 2·…·c n ＝
n
c 1·c 1q ·…·c 1q n －1＝c 1q
n －1
2
，所以{d n }也是等比数列． 7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是99
199
，则判断框内应填的内容是( )
A ．n <98?
B ．n <99?
C ．n <100?
D ．n <101?
解析：选B 由14n 2－1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝1212n －1－1
2n ＋1
，
可知程序框图的功能是计算并输出S ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫
13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝
n
2n ＋1
的值． 由题意令n 2n ＋1＝99
199
，解得n ＝99,
即当n <99时，执行循环体，若不满足此条件，则退出循环，输出S 的值．
8．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是( )
A ．(7,5)
B ．(5,7)
C ．(2,10)
D ．(10,1)
解：选B 依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有n (n ＋1)
2个“整数
对”，注意到10×(10＋1)2＜60＜11×(11＋1)
2，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整
数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)．
二、填空题 9．M ＝
1210＋1210
＋1＋1210＋2＋…＋1
211－1
与1的大小关系为__________． 解析：因为M ＝
1210＋1210
＋1＋1210＋2＋…＋1
211－1
＝
1210＋1210
＋1＋1210＋2＋…＋1210＋(210－1)
<1210＋1210＋1210＋…＋1
210＝1， 所以M <1. 答案：M <1 10．若复数z ＝
a ＋i
i
(其中i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则实数a ＝________. 解析：因为复数z ＝a ＋i i ＝a i ＋i 2
i 2＝1－a i ，
所以－a ＝1，即a ＝－1. 答案：－1
11．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的a ＝________.
解析：a ＝14，b ＝18.
第一次循环：14≠18且14<18，b＝18－14＝4；第二次循环：14≠4且14>4，a＝14－4＝10；第三次循环：10≠4且10>4，a＝10－4＝6；
第四次循环：6≠4且6>4，a＝6－4＝2；
第五次循环：2≠4且2<4，b＝4－2＝2；
第六次循环：a＝b＝2，跳出循环，输出a＝2. 答案：2
12．设n为正整数，f(n)＝1＋1
2＋
1
3＋…＋
1
n，计算得f(2)＝
3
2，f(4)＞2，f(8)＞
5
2，f(16)＞
3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．
解析：∵f(21)＝3
2，f(2
2)＞2＝4
2，
f(23)＞5
2，f(2
4)＞6
2，
∴归纳得f(2n)≥n＋2
2(n∈N
*)．
答案：f(2n)≥n＋2
2(n∈N
*)
三、解答题
13．若a＞b＞c＞d＞0且a＋d＝b＋c，
求证：d＋a＜b＋c.
证明：要证d＋a＜b＋c，
只需证(d＋a)2＜(b＋c)2，
即证a＋d＋2ad＜b＋c＋2bc，
因为a＋d＝b＋c，所以只需证ad＜bc，即证ad＜bc，
设a＋d＝b＋c＝t，
则ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c＝(c－d)(c＋d－t)＜0，
故ad＜bc成立，从而d＋a＜b＋c成立．
14．等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1＋2，S3＝9＋3 2.
(1)求数列{a n}的通项a n与前n项和S n；
(2)设b n ＝S n
n
(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
解：(1)由已知得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝1＋2，
3a 1＋3d ＝9＋32，
所以d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．
(2)证明：由(1)，得b n ＝S n
n ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，
则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2
＝(p ＋2)(r ＋2)，
所以(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.
因为p ，q ，r ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧
q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，
所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫p ＋r 22
＝pr ，(p －r )2＝0.
所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾，所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 高考研究课(一)
算法与程序框图考查2类型——推结果、填条件 [全国卷5年命题分析]
[典例] ＝－1，则输出的S ＝( )
A．2B．3
C．4 D．5
(2)(2017·山东高考)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为7，第二次输入的x的值为9，则第一次、第二次输出的a的值分别为()
A．0,0 B．1,1
C．0,1 D．1,0
[解析](1)运行程序框图，
a＝－1，S＝0，K＝1，K≤6成立；
S＝0＋(－1)×1＝－1，a＝1，K＝2，K≤6成立；
S＝－1＋1×2＝1，a＝－1，K＝3，K≤6成立；
S＝1＋(－1)×3＝－2，a＝1，K＝4，K≤6成立；
S＝－2＋1×4＝2，a＝－1，K＝5，K≤6成立；
S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1，K＝6，K≤6成立；
S＝－3＋1×6＝3，a＝－1，K＝7，K≤6不成立，输出S＝3.
(2)当输入x ＝7时，b ＝2，因为b 2>x 不成立且x 不能被b 整除，故b ＝3，这时b 2>x 成立，故a ＝1，输出a 的值为1.
当输入x ＝9时，b ＝2，因为b 2>x 不成立且x 不能被b 整除，故b ＝3，这时b 2>x 不成立且x 能被b 整除，故a ＝0，输出a 的值为0.
[答案] (1)B (2)D [方法技巧]
解决程序框图推结果问题要注意几个常用变量
(1)计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i ＝i ＋1. (2)累加变量：用来计算数据之和，如S ＝S ＋i . (3)累乘变量：用来计算数据之积，如p ＝p ×i . [即时演练]
1．(2016·全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出x ，y 的值满足( )
A ．y ＝2x
B ．y ＝3x
C ．y ＝4x
D ．y ＝5x
解析：选C 输入x ＝0，y ＝1，n ＝1， 运行第一次，x ＝0，y ＝1，不满足x 2＋y 2≥36； 运行第二次，x ＝1
2，y ＝2，不满足x 2＋y 2≥36；
运行第三次，x ＝3
2
，y ＝6，满足x 2＋y 2≥36，
输出x ＝3
2，y ＝6.由于点⎝⎛⎭⎫32，6在直线y ＝4x 上，故选C. 2．执行如图所示的程序框图，输出的s 是________．
解析：第一次循环：i＝1，s＝1；第二次循环：i＝2，s＝－1；第三次循环：i＝3，s＝2；第四次循环：i＝4，s＝－2，此时i＝5，执行s＝3×(－2)＝－6，故输出s＝－6.
答案：－6
[典例]
第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的m的值为35，则输入的a的值为()
A．4 B．5
C．7 D．11
(2)一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为36
55，则空白处应填入的条件为
()
A．i≤9? B．i≤6?
C．i≥9? D．i≤8?
[解析](1)起始阶段有m＝2a－3，i＝1,
第一次循环：m＝2×(2a－3)－3＝4a－9，i＝2,
第二次循环：m ＝2×(4a －9)－3＝8a －21，i ＝3, 第三次循环：m ＝2×(8a －21)－3＝16a －45，i ＝4, 第四次循环：m ＝2×(16a －45)－3＝32a －93, 跳出循环，输出m ＝32a －93＝35，解得a ＝4.
(2)由1
i (i ＋2)＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1i －1i ＋2及题意知，该程序框图的功能是计算S ＝121－13＋12－1
4＋…＋1i －1－1i ＋1＋1i －1i ＋2＝34－121i ＋1＋1i ＋2
的值，由S ＝3655，得i ＝9.
故空白处应填入的条件为：i ≤9. [答案] (1)A (2)A [方法技巧]
程序框图的补全及逆向求解问题
(1)先假设参数的判断条件满足或不满足；
(2)运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止； (3)根据此时各个变量的值，补全程序框图． [即时演练]
1．执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为16，则判断框内可填入的条件是( )
A ．S <15
10？
B ．S >85？
C ．S >1510
？
D ．S <85
？
解析：选D 运行程序：k ＝10，S ＝1；S ＝
1110，k ＝11；S ＝1210，k ＝12；S ＝13
10
，k ＝13；S ＝1410，k ＝14；S ＝1510，k ＝15；S ＝1610＝8
5
，k ＝16，此时不满足条件，循环结束，输出k ＝16，
所以判断框内可填入条件是S <8
5
？.
2．运行如图所示的程序框图，若输出的y 值的范围是[0,10]，则输入的x 值的范围是________．
解析：该程序的功能是计算分段函数的值， y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
3－x ，x ＜－1，x 2
，－1≤x ≤1，x ＋1，x ＞1.
当x ＜－1时，由0≤3－x ≤10，可得－7≤x ＜－1； 当－1≤x ≤1时，0≤x 2≤10成立；
当x ＞1时，由0≤x ＋1≤10，可得1＜x ≤9， 综上，输入的x 值的范围是[－7,9]． 答案：[－7,9]
1．(2017·全国卷Ⅰ)如图所示的程序框图是为了求出满足3n －2n >1 000的最小偶数n ，那么在◇和▭两个空白框中，可以分别填入(
)
A ．A >1 000和n ＝n ＋1
B．A>1 000和n＝n＋2
C．A≤1 000和n＝n＋1
D．A≤1 000和n＝n＋2
解析：选D程序框图中A＝3n－2n，且判断框内的条件不满足时输出n，所以判断框中应填入A≤1 000，由于初始值n＝0，要求满足A＝3n－2n>1 000的最小偶数，故执行框中应填入n＝n＋2.
2．(2017·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为()
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：选D执行程序框图，S＝0＋100＝100，M＝－10，t＝2；S＝100－10＝90，M ＝1，t＝3，S<91，输出S，此时，t＝3不满足t≤N，所以输入的正整数N的最小值为2.
3．(2016·全国卷Ⅱ)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝()
A．7 B．12
C．17 D．34
解析：选C第一次运算：s＝0×2＋2＝2，k＝1；
第二次运算：s＝2×2＋2＝6，k＝2；
第三次运算：s＝6×2＋5＝17，k＝3>2，
结束循环，s＝17.
4.(2016·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝()
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B程序运行如下：
开始a＝4，b＝6，n＝0，s＝0.
第1次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，
n＝1；
第2次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，
s＝10，n＝2；
第3次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，
n＝3；
第4次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，
s＝20，n＝4.
此时，满足条件s>16，
退出循环，输出n ＝4.故选B.
5.(2015·全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
解析：选C 运行第一次：S ＝1－12＝1
2＝0.5，m ＝0.25，n ＝1，S >0.01；
运行第二次：S ＝0.5－0.25＝0.25，m ＝0.125，n ＝2，S >0.01； 运行第三次：S ＝0.25－0.125＝0.125，m ＝0.062 5，n ＝3，S >0.01； 运行第四次：S ＝0.125－0.062 5＝0.062 5，m ＝0.031 25，n ＝4，S >0.01； 运行第五次：S ＝0.031 25，m ＝0.015 625，n ＝5，S >0.01； 运行第六次：S ＝0.015 625，m ＝0.007 812 5，n ＝6，S >0.01； 运行第七次：S ＝0.007 812 5，m ＝0.003 906 25，n ＝7，S <0.01. 输出n ＝7.故选C.
6．(2014·全国卷Ⅰ)执行如图所示程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1,2,3，则输出的M ＝( )
A.203
B.165
C.72
D.158
解析：选D 第一次循环：M ＝32，a ＝2，b ＝3
2，n ＝2；
第二次循环：M ＝83，a ＝32，b ＝8
3，n ＝3；
第三次循环：M ＝158，a ＝83，b ＝15
8
，n ＝4. 则输出M ＝15
8
.
7．(2014·全国卷Ⅱ)执行如图的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S ＝( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
解析：选D 执行循环体，
第一次循环，M ＝2，S ＝5，k ＝2； 第二次循环，M ＝2，S ＝7，k ＝3. 故输出的S ＝7.
一、选择题
1．(2017·山东高考)执行如图所示的程序框图，当输入的x 的值为4时，输出的y 的值为2，则空白判断框中的条件可能为( )
A ．x ＞3
B ．x ＞4
C ．x ≤4
D ．x ≤5
解析：选B 当x ＝4时，若执行“是”，则y ＝4＋2＝6，与题意矛盾；若执行“否”，则y ＝log 24＝2，满足题意，故应执行“否”．故判断框中的条件可能为x ＞4.
2．执行如图所示的程序框图，若输入的a 的值为2，则输出的b 的值为( )
A ．－2
B ．1
C ．2
D ．4
解析：选A 第一次循环，a ＝1
2，b ＝1，i ＝2；第二次循环，a ＝－1，b ＝－2，i ＝3；
第三次循环，a ＝2，b ＝4，i ＝4；第四次循环，a ＝1
2，b ＝1，i ＝5；……；由此可知b 的值
以3为周期出现，且当i ＝2 019时退出循环，此时共循环2 018次，又2 018＝3×672＋2，
所以输出的b的值为－2.
3．某班有50名学生，在一次数学考试中，a n表示学号为n的学生的成绩，则执行如图所示的程序框图，下列结论正确的是()
A．P表示成绩不高于60分的人数
B．Q表示成绩低于80分的人数
C．R表示成绩高于80分的人数
D．Q表示成绩不低于60分，且低于80分的人数
解析：选D P表示成绩低于60分的人数，Q表示成绩低于80分且不低于60分的人数，R表示成绩不低于80分的人数．
4．(2017·天津高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为()
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C 第一次循环，24能被3整除，N ＝24
3＝8>3；
第二次循环，8不能被3整除，N ＝8－1＝7>3； 第三次循环，7不能被3整除，N ＝7－1＝6>3； 第四次循环，6能被3整除，N ＝6
3＝2<3，结束循环，
故输出N 的值为2.
5．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )
A ．3
B ．－6
C ．10
D ．－15
解析：选D 第一次执行程序，得到S ＝0－12＝－1，i ＝2； 第二次执行程序，得到S ＝－1＋22＝3，i ＝3； 第三次执行程序，得到S ＝3－32＝－6，i ＝4； 第四次执行程序，得到S ＝－6＋42＝10，i ＝5； 第五次执行程序，得到S ＝10－52＝－15，i ＝6， 结束循环，输出的S ＝－15.
6．某校为了了解高三学生日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了50位学生进行调查．下表是这50位同学睡眠时间的频率分布表：
现根据如下程序框图用计算机统计平均睡眠时间，则判断框①中应填入的条件是(
)
A ．i ＞4?
B ．i ＞5?
C ．i ＞6?
D ．i ＞7?
解析：选B 根据题目中程序框图，用计算机统计平均睡眠时间，总共执行6次循环，则判断框①中应填入的条件是i >5(或i ≥6？)．
7．下图为某一函数的求值程序框图，根据框图，如果输出y 的值为3，那么应输入x ＝(
)
A ．1
B ．2
C ．3
D ．6
解析：选B
该程序的作用是计算分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x －3，x >66，2<x ≤6，
5－x ，x ≤2
的函数值，
由题意，若x ＞6，则当y ＝3时，x －3＝3，解得x ＝6，舍去； 若x ≤2，则当y ＝3时，5－x ＝3，解得x ＝2， 故输入的x 值为2.
8．给出30个数：1,2,4,7，…，其规律是：第1个数是1；第2个数比第1个数大1；第3个数比第2个数大2；第4个数比第3个数大3，…，以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入( )
A ．i ≤30？；p ＝p ＋i －1
B ．i ≤29？；p ＝p ＋i ＋1
C ．i ≤31？；p ＝p ＋i
D ．i ≤30？；p ＝p ＋i
解析：选D 由于要计算30个数的和，故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故①中应填写“i ≤30？”．又由第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，…，故②中应填p ＝p ＋i .
二、填空题
9．(2017·江苏高考)如图是一个算法流程图．若输入x 的值为1
16
，则输出y 的值是________．
解析：由流程图可知其功能是运算分段函数y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ，x ≥1，
2＋log 2x ，0<x <1，所以当输入的x
的值为116时，y ＝2＋log 21
16
＝2－4＝－2.
答案：－2
10．按下列程序框图来计算：
如果输入的x＝5，则应该运算________次才停止．
解析：由题意，该程序按如下步骤运行：
经过第一次循环得到x＝3×5－2＝13，不满足x＞200，进入下一步循环；
经过第二次循环得到x＝3×13－2＝37，不满足x＞200，进入下一步循环；
经过第三次循环得到x＝3×37－2＝109，不满足x＞200，进入下一步循环；
经过第四次循环得到x＝3×109－2＝325，因为325＞200，结束循环并输出x的值
因此，运算进行了4次后，输出x值而程序停止．故答案为4.
答案：4
11．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，该算法的程序框图如图所示. 执行该程序框图，若输入的x＝3，n＝3，输入的a依次为由小到大顺序排列的质数(从最小质数开始)，直到结束为止，则输出的s＝________.
解析：运行程序：
x＝3，n＝3，k＝0，s＝0；a＝2，s＝2，k＝1；a＝3，s＝9，k＝2；a＝5，s＝32，k＝3；a＝7，s＝103，k＝4，此时满足条件，循环结束，输出s＝103.
答案：103
12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是a＝________.
解析：运行程序，可得a＝10，i＝1，不满足i≥5，不满足a是奇数，a＝5，i＝2，不满足i≥5，满足a是奇数，a＝16，i＝3，不满足i≥5，不满足a是奇数，a＝8，i＝4，不满足i≥5，不满足a是奇数，a＝4，i＝5，满足i≥5，退出循环，输出a的值为4.
答案：4
13．已知某程序框图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为________．
解析：第一次循环结束时，n＝2，x＝3，y＝1；
第二次循环结束时，n＝4，x＝9，y＝3；
第三次循环结束时，n＝6，x＝27，y＝3.
此时满足n>4，
结束循环，输出log y x＝log327＝3.
答案：3
14．(2018·黄山调研)我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n＝________.
解析：第一次循环，得S＝2；第二次循环，得n＝2，a＝1
2，A＝2，S＝
9
2；第三次循环，
得n＝3，a＝1
4，A＝4，S＝
35
4；第四次循环，得n＝4，a＝
1
8，A＝8，S＝
135
8>10，结束循环，
输出的n＝4.
答案：4
1．图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次是A1，A2，…，A16，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是()
图1
图2
A．6B．7C．10D．16
解析：选C由程序框图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，
所以由茎叶图知，数学成绩大于等于90的人数为10，
因此输出结果为10.
2．如果执行程序框图，如果输出的S＝2 550，则判断框内应填入的条件是()
A．k≤50? B．k≥51?
C．k＜50? D．k＞51?
解析：选A根据题中的程序框图，可得
该程序经过第一次循环得到S＝2，k＝2；
经过第二次循环得到S＝2＋4，k＝3；
经过第三次循环得到S＝2＋4＋6，k＝4；
……
设经过第n次循环得到2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n＝2 550，
解得n＝50，
由此说明，当n＞50时不满足判断框中的条件，则正好输出S＝2 550，
∴判断框应填入的条件是k≤50？.
高考研究课(二)
数系的扩充与复数的引入的命题3角度——概念、运算、意义
[全国卷5年命题分析]
复数的有关概念
[典例] (1)设i 是虚数单位．若复数a －10
3－i
(a ∈R)是纯虚数，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1
D ．3
(2)已知复数z 满足z
1＋i
＝|2－i|，则z 的共轭复数对应的点位于复平面内的( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
(3)若复数 z 满足z (1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，则|z |＝( ) A ．1 B ．2
C. 2
D. 3
[解析] (1)∵复数a －10
3－i
＝a －10(3＋i )
10＝(a －3)－i 为纯虚数，∴a －3＝0，∴a ＝3.
(2)∵z
1＋i
＝|2－i|＝5，∴z ＝5＋5i ，
则z 的共轭复数5－5i 对应的点(5，－5)位于复平面内的第四象限.
(3)法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则由z (1＋i)＝2i ，得(a ＋b i)·(1＋i)＝2i ，所以(a －b )＋(a
＋b )i ＝2i ，由复数相等的条件得⎩
⎪⎨⎪⎧
a －
b ＝0，a ＋b ＝2，解得a ＝b ＝1，所以z ＝1＋i ，故|z |＝12＋12＝
2.
法二：由z (1＋i)＝2i ，得z ＝2i 1＋i ＝2i (1－i )
2＝i －i 2＝1＋i ，所以|z |＝
12＋12＝ 2.
[答案] (1)D (2)D (3)C [方法技巧]
求解与复数概念相关问题的技巧
复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a ＋b i(a ，b ∈R)的形式，再根据题意求解．
[即时演练]
1．(2017·山东高考)已知a ∈R ，i 是虚数单位．若z ＝a ＋ 3 i ，z ·z ＝4，则a ＝( )
A ．1或－1 B.7或－7 C ．－ 3 D. 3
解析：选A 法一：由题意可知z ＝a －3i ， ∴z ·z ＝(a ＋3i)(a －3i)＝a 2＋3＝4，故a ＝1或－1. 法二：z ·z ＝|z |2＝a 2＋3＝4，故a ＝1或－1.
2．若复数2＋a i
1－i (a ∈R)是纯虚数(i 是虚数单位)，则复数z ＝a ＋(a －3)i 在复平面内对应的
点位于第________象限．
解析：∵2＋a i 1－i ＝(2＋a i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2－a ＋(2＋a )i 2＝2－a 2＋2＋a
2i 是纯虚数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
2－a
2＝0，2＋a 2≠0，
解得a ＝2.
∴z ＝2－i ，在复平面内对应的点(2，－1)位于第四象限． 答案：四
3．(2017·浙江高考)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________.
解析：∵(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 2－
b 2＝3，2ab ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－2，
b ＝－1，
∴a 2＋b 2＝5，ab ＝2. 答案：5 2
[典例] (1)i 为虚数单位，则⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1－i 1＋i 2 018＝( ) A ．－i B ．－1 C ．i
D ．1
(2)(2017·全国卷Ⅱ)3＋i
1＋i ＝( )
A ．1＋2i
B ．1－2i
(3)(2017·全国卷Ⅱ)(1＋i)(2＋i)＝( ) A ．1－i B ．1＋3i C ．3＋i
D ．3＋3i
[解析] (1)∵1－i 1＋i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )
＝1－2i －12＝－i ，
∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－i 1＋i 2 018
＝(－i)2 018 ＝(－i)2 016·(－i)2＝－1.
(2)3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i.
(3)(1＋i)(2＋i)＝2＋i 2＋3i ＝1＋3i. [答案] (1)B (2)D (3)B [方法技巧]
复数代数形式运算问题的解题策略
(1)复数的乘法
复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法
除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式． [提醒] 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． (1)(1±i)2＝±2i ；
1＋i 1－i ＝i ；1－i 1＋i
＝－i ； (2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；
(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ， i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N *. [即时演练]
1．设复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2
z ＋z 2＝( ) A ．1＋i
B ．1－i
解析：选A
2z ＋z 2＝21＋i
＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i. 2．已知复数z ＝
3＋i
(1－3i )2
，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.
解析：∵z ＝3＋i
(1－3i )2＝3＋i
－2－23i
＝
3＋i
－2(1＋3i )
＝(3＋i )(1－3i )－2(1＋3i )(1－3i )
＝23－2i －8＝－34＋14i ，
故z ＝－
34－14
i ， ∴z ·z ＝⎝
⎛⎭⎫－34＋14i ⎝⎛⎭
⎫－34－14i ＝316＋116＝14. 答案：1
4
3．已知i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭
⎪⎫21－i 2 018＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6
＝________.
解析：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 009＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2－2i 1 009＋i 6＝i 1 009＋i 6＝i 4×252＋1＋i 4＋2
＝i ＋i 2＝－1＋i.
答案：－1＋i
[典例] (1)( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
(2)(2017·北京高考)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，1)
B ．(－∞，－1)
C ．(1，＋∞)
D ．(－1，＋∞)
[解析] (1)因为复数z ＝a ＋i(a ∈R)．若|z |<2，则a 2＋1<2，解得－1＜a ＜1，所以z
＋i 2＝a －1＋i 在复平面内对应的点(a －1,1)位于第二象限.
(2)复数(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ，
其在复平面内对应的点(a ＋1,1－a )在第二象限，
故⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＋1＜0，1－a ＞0，解得a ＜－1. [答案] (1)B (2)B [方法技巧]
(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ ―→相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)⇔Z (a ，b )⇔OZ ―→. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
[即时演练]
1.如图，若向量OZ ―→
对应的复数为z ，则z ＋4z
表示的复数为( )
A ．1＋3i
B ．－3－i
C ．3－i
D ．3＋i
解析：选D 由图可得Z (1，－1)，即z ＝1－i ，所以z ＋4z ＝1－i ＋4
1－i ＝1－i ＋
4(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1－i ＋4＋4i
2
＝1－i ＋2＋2i ＝3＋i.
2．若z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是________．
解析：∵z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 在复平面内对应的点在第二象限，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a －2<0，a ＋1>0，
解得－1＜a ＜2.
即实数a 的取值范围是(－1,2). 答案：(－1,2)
1．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题： p 1：若复数z 满足1
z ∈R ，则z ∈R ； p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R. 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3
D ．p 2，p 4
解析：选B 设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，对于p 1，∵1z ＝1
a ＋
b i ＝a －b i a 2＋b 2
∈R ，∴b ＝0，∴z ∈R ，
∴p 1是真命题；
对于p 2，∵z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ∈R ，∴ab ＝0，∴a ＝0或b ＝0，∴p 2不是真命题； 对于p 3，设z 1＝x ＋y i(x ，y ∈R)，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R)，则z 1z 2＝(x ＋y i)(c ＋d i)＝cx －dy ＋(dx ＋cy )i ∈R ，
∴dx ＋cy ＝0，取z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋2i ，z 1≠z 2， ∴p 3不是真命题；
对于p 4，∵z ＝a ＋b i ∈R ，∴b ＝0，∴z ＝a －b i ＝a ∈R ， ∴p 4是真命题．
2．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选C z ＝i(－2＋i)＝－2i ＋i 2＝－1－2i ，故复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于第三象限．
3．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1 B. 2
C. 3 D ．2
解析：选B ∵(1＋i)x ＝1＋y i ，∴x ＋x i ＝1＋y i. 又∵x ，y ∈R ，∴x ＝1，y ＝1. ∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝ 2.
4．(2016·全国卷Ⅱ)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－3,1)
B ．(－1,3)
C ．(1，＋∞)
D ．(－∞，－3)
解析：选A 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
m ＋3>0，m －1<0，
即－3<m <1.故实数m 的取值范围为(－3,1)．
5．(2016·全国卷Ⅲ)若z ＝1＋2i ，则4i
z z －1＝( )
A ．1
B ．－1
C ．i
D ．－i 解析：选C 因为z ＝1＋2i ，则z ＝1－2i ，所以z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则4i
z z －1＝
4i 4
＝i. 6．(2015·全国卷Ⅰ)设复数z 满足1＋z
1－z
＝i ，则|z |＝( ) A ．1 B. 2 C. 3
D ．2
解析：选A 由1＋z 1－z ＝i ，得z ＝－1＋i 1＋i ＝(－1＋i )(1－i )2＝2i
2＝i ，所以|z |＝|i|＝1.
7．(2015·全国卷Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1
D ．2
解析：选B ∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ， ∴4a ＋(a 2－4)i ＝－4i.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
4a ＝0，
a 2－4＝－4.
解得a ＝0.
一、选择题
1．(2017·山东高考)已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i ，则z 2＝( ) A ．－2i B ．2i C ．－2
D ．2
解析：选A ∵z i ＝1＋i ，∴z ＝1＋i i ＝1i ＋1＝1－i.
∴z 2＝(1－i)2＝1＋i 2－2i ＝－2i.
2．(2018·沈阳质量监测)已知i 为虚数单位，则复数2
1－i 在复平面内所对应的点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选A 因为
2
1－i
＝1＋i ，其在复平面内对应的点(1,1)在第一象限． 3．已知复数z 满足z ＝a ＋i
2－i
＋a 为纯虚数，则|z |＝( ) A.12 B ．2 C.37
D.13
解析：选C ∵z ＝(a ＋i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＋a ＝(7a －1)＋(a ＋2)i
5为纯虚数，
∴7a －15＝0，a ＋25≠0，解得a ＝1
7，
∴z ＝37i ，∴|z |＝37
.
4．设复数z 满足(1＋i)z ＝－2i ，i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋i
D ．1－i
解析：选B z ＝－2i 1＋i ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )
＝－i －1.
5．已知i 是虚数单位，复数z 满足(1－i)z ＝i ，则|z |＝( ) A.12 B.22 C ．1 D. 2
解析：选B ∵z ＝i
1－i ＝i (1＋i )
(1－i )(1＋i )＝－12＋1
2i ，
∴|z |＝
⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫122＝22
.
6．(2018·遵义模拟)复数z ＝4i 2 018－5i
1＋2i
(其中i 为虚数单位)在复平面内对应的点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选C z ＝4i
2 018
－
5i
1＋2i ＝4×i
2 016·i 2
－5i (1－2i )
(1＋2i )(1－2i )
＝－4－5(2＋i )
5＝－6－i ，故z
在复平面内对应的点在第三象限．
7．已知复数z ＝(cos θ－isin θ)(1＋i)，则“z 为纯虚数”的一个充分不必要条件是( ) A ．θ＝π
4
B ．θ＝π
2
C ．θ＝
3π4
D ．θ＝
5π4
解析：选C z ＝(cos θ－isin θ)(1＋i)＝(cos θ＋sin θ)＋(cos θ－sin θ)i.z 是纯虚数等价于
⎩
⎪⎨⎪⎧
cos θ＋sin θ＝0，cos θ－sin θ≠0，等价于θ＝3π4
＋k π，k ∈Z.故选C.
8．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于( ) A.34 B.4
3 C ．－43
D ．－34
解析：选D 因为z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ， 所以z 1·z 2＝(3t －4)＋(4t ＋3)i ，
又z 1·z 2是实数，所以4t ＋3＝0，所以t ＝－34，故选D.
二、填空题
9．(2017·天津高考)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i
2＋i 为实数，则a 的值为________．
解析：由a －i 2＋i ＝(a －i )(2－i )(2＋i )(2－i )
＝2a －15－2＋a 5i 是实数，得－2＋a
5＝0，所以a ＝－2.
答案：－2
10．定义运算⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
a
c b
d ＝ad －bc ，复数z 满足⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪z
i 1 i ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z ＝
________.
解析：∵复数z 满足⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪z i 1 i ＝z i －i ＝1＋i ，
∴z ＝1＋2i i ＝i (2－i )i ＝2－i ，∴z ＝2＋i.
答案：2＋i
11．(2017·江苏高考)已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________． 解析：法一：复数z ＝1＋2i ＋i －2＝－1＋3i ， 则|z |＝
(－1)2＋32＝10.
法二：|z |＝|1＋i|·|1＋2i|＝2×5＝10. 答案：10
12．(2018·山东实验中学诊断)在复平面内，复数21－i 对应的点到直线y ＝x ＋1的距离是
________．
解析：因为2
1－i ＝2(1＋i )
(1－i )(1＋i )＝1＋i ，所以复数2
1－i
对应的点为(1,1)，点(1,1)到直线y ＝x
＋1的距离为|1－1＋1|12＋(－1)2
＝
2
2
. 答案：
22
三、解答题
13．计算：(1)(－1＋i )(2＋i )
i 3；
(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ；
(3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2； (4)1－3i (3＋i )2
. 解：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3＝－3＋i
－i
＝－1－3i.
(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i ＝i (2－i )5＝15＋25i.
(3)1－i
(1＋i )2＋1＋i
(1－i )2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i
2＝－1.
(4)1－3i (3＋i )2＝(3＋i )(－i )
(3＋i )2 ＝－i 3＋i ＝(－i )(3－i )4
＝－14－3
4
i.
14．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)满足z ·z ＋(1－2i)·z ＋(1＋2i)·z ＝3，求复数z 在复平面内对应的点的轨迹．
解：∵z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)且z ·z ＋(1－2i)·z ＋(1＋2i)·z ＝3. ∴x 2＋y 2＋(1－2i)(x ＋y i)＋(1＋2i)(x －y i)＝3， 即x 2＋y 2＋x ＋2y ＋y i －2x i ＋x ＋2y －y i ＋2x i ＝3， ∴x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0， 即(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8.
∴复数z 在复平面内对应的点的轨迹是以(－1，－2)为圆心，以22为半径的圆．
1．已知t ∈R ，若复数z ＝1－t i
1＋i
(i 为虚数单位)为纯虚数，则|3＋t i|＝( ) A ．2 B ．4 C ．6
D ．8
解析：选A ∵z ＝1－t i 1＋i ＝(1－t i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－t 2＋－t －1
2i 为纯虚数，
∴1－t 2＝0，－t －1
2≠0， 解得t ＝1.
则|3＋t i|＝|3＋i|＝
(3)2＋12＝2.
2．甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子(它们的六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，设甲、
乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x ，y ，则满足复数x ＋y i 的实部大于虚部的概率为________．
解析：∵试验发生所包含的事件是甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子，所得点数分别为x ，y ，得到复数x ＋y i 共有36个，
满足条件的事件是复数x ＋y i 的实部大于虚部， 当实部是2时，虚部是1； 当实部是3时，虚部是1,2； 当实部是4时，虚部是1,2,3； 当实部是5时，虚部是1,2,3,4； 当实部是6时，虚部是1,2,3,4,5， 共有15个，
故实部大于虚部的概率是1536＝512.
答案：5
12
高考研究课(三)
推理3方法——类比、归纳、演绎 [全国卷5年命题分析]
[典例] (1)若{a n }则有：(m －n )a p ＋(n －p )a m
＋(p －m )a n ＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{b n }，m ，n ，p 是互不相等的正整数，有________________．
(2)若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，
则切点弦P 1P 2所在的直线方程是
x 0x a 2＋y 0y
b 2
＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P (x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦
P 1P 2所在直线的方程是________．。