2020届广东省广州市广东实验中学高三第三次阶段考试数学(文)试题(解析版)

2020届广东省广州市广东实验中学高三第三次阶段考试数学
（文）试题
一、单选题
1．已知集合{
}
2
{|320},21x
A x x x
B x Z =-+≤=∈>，则A B =（ ）
A ．(1,2)
B ．(1,2]
C ．[1,2]
D ．{1,2}
【答案】D
【解析】分别解出两个集合，注意集合B 中元素全为整数，然后求出交集. 【详解】
解2320x x -+≤，即(1)(2)0x x --≤，所以{12}A x x =≤≤，
解0
212,x x Z >=∈，所以{0,}B x x x Z =>∈
所以{1,2}A B =
故选：D
【点睛】
此题考查解一元二次不等式和指数不等式，易错点在于漏掉集合中的限制条件. 2．已知复数(1)3z i i +=+，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数．．．．所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A
【解析】根据复数运算法则求出z ，再求出其共轭复数即可得出对应点所在象限. 【详解】 由题：2
3(3)(14221(1(11i i i i
z i i i i i ++--=
===-++--）））， 其共轭复数2z i =+，对应点(2,1) 在第一象限. 故选：A 【点睛】
此题考查复数的基本运算，共轭复数，复数所对应的点所在象限，属于简单题目. 3．已知向量()(),,1,2a x y b ==-，且()1,3a b +=，则2a b -等于（ ） A ．1
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】D
【解析】先根据已知求出x,y 的值，再求出2a b -的坐标和2a b -的值. 【详解】
由向量()(),,1,2a x y b ==-，且()1,3a b +=，则()(1,2)1,3a b x y +=-+=，解得2,1x y ==，所以()()2,1,1,2a b ==-，所以
2(2,1)2(1,2)(4,3)a b -=--=-，所以224(5a b -=+=，故答案为：D
【点睛】
本题主要考查向量的坐标运算和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
4．若1a b >>，01c <<，则（ ） A ．c c a b < B ．c c ab ba < C ．log log b a a c b c < D ．
log log a b c c < 【答案】C
【解析】【详解】试题分析：用特殊值法，令3a =，2b =，1
2
c =
得112232>，选项A 错误，1
1
223223⨯>⨯，选项B 错误， 3211
log log 22>，选项D 错误，
因为
lg lg log log lg ()lg (),11lg lg lg lg a b
b b a
b a a b a b a
c b c c c a b b a a b a b a --=⋅-=⋅>>∴<<<lg lg 0
01lg 0log log lg lg a b
b a a b
c c a c b c b a
-∴><<∴<∴<选项C 正确，故选C ．
【考点】
指数函数与对数函数的性质 【名师点睛】
比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
5．某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（ ）
①2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同； ②支出最高值与支出最低值的比是6:1; ③第三季度平均收入为50万元； ④利润最高的月份是2月份. A ．①②③ B ．②③
C ．②③④
D ．①②④
【答案】A
【解析】根据统计折线图，逐一检验便可选出正确选项. 【详解】 由图：
2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率均为-20万元每月，所以①正确；
支出最高2月60万元，最低5月10万元，所以比值为6:1，所以②正确； 第三季度平均收入为
405060
503
++=万元，所以③正确；
2月利润20万元，而3月和10月利润都是30万元，所以④错误. 故选：A 【点睛】
此题考查图像识别能力，读取图象提取有效信息，考查综合能力.
6．2sin18m =，若24m n +=，则22cos 271
︒=-（ ） A ．1 B ．2
C ．4
D ．8
【答案】B
【解析】根据题意代换化简分子，利用半角公式化简即可求解. 【详解】 由题：
==
4sin18cos182sin 362cos542cos54cos54cos54
︒︒︒︒︒︒︒
====. 故选：B 【点睛】
此题考查三角恒等变换，对基本公式考查比较全面，涉及半角公式化简，考查综合能力. 7．某同学用“随机模拟方法”计算曲线ln y x =与直线,0x e y ==所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e ]上的均匀随机数x i 和10个在区间[0，
1]上的均匀随机数(*1i y i N ∈，
10)i ≤≤，其数据如下表的前两行．
由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为（ ） A ．3(1)5
e - B ．
4
(1)5
e - C ．
1
(1)2
e - D ．
2
(1)3
e - 【答案】A
【解析】根据“随机模拟方法”，有序数对(,)i i x y 落在曲线ln y x =与直线,0x e y ==所围成的曲边三角形的内部的个数与总个数的比值约等于曲边三角形面积与直线
,1,0,1x e x y y ====所围成的矩形的面积之比.
【详解】
用计算机分别产生在区间[1，e ]上的均匀随机数x i ，在区间[0，1]上的均匀随机数i y ，形成有序数对(,)i i x y 所在区域为直线,1,0,1x e x y y ====所围成的矩形及其内部区域，如图所示，面积1e -， 作图：
随机产生的十个点，当ln i i y x <时，该点落在曲边三角形内部，共有6个， 设曲边三角形面积为S ，则6110
S e ≈-， 所以3(1)
5
e S -≈. 故选：A 【点睛】
此题考查用“随机模拟方法”解决不规则多边形面积问题，关键在于弄清这种模拟方式，两个区域面积之比近似等于落在该区域点的个数之比.
8．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为1CC 的中点，点N 为线段1DD 上靠近1D 的三等分点，平面BMN 交1AA 于点Q ，则AQ 的长为 A ．
23 B ．12 C ．16 D ．13
【答案】D
【解析】如图，将MB 平移至',M A N 为靠近1DD 的三个等分点处， 12
3
D N ∴=
， M 为1CC 的中点， 'M ∴也为1D D 中点， 11
'1,'3
D M NM ∴=∴=
，根据四点共面， //'QN AM ， 1
'3
AQ NM ∴==
，故选D. 9．直线l 过抛物线24y x =的焦点F 且与抛物线交于A ，B 两点，若线段,AF BF 的长分别为m ，n ，则
11
m n
+等于（ ） A ．
14 B ．
12
C ．1
D ．2
【答案】C
【解析】当直线斜率不存在时，直线方程1x =，易解出,AF BF 的长度；
当直线斜率存在时，设直线方程为：(1)y k x =-，联立方程：{
2(1)
4y k x y x
=-=，整理后利
用抛物线焦半径公式表示,AF BF ，结合韦达定理可得. 【详解】
当直线斜率不存在时，直线方程1x =，代入2
4y x =，解得122,2y y ==-，
所以(1,2),(1,2)A B -，2,2AF BF ==，
所以
11
1m n
+=； 当直线斜率存在时，设直线方程为：(1),0y k x k =-≠，联立方程：
{
2(1)
4y k x y x
=-=，
整理得： 2222
(24)0k x k x k -++=，设1122(,),(,)A x y B x y ，由韦达定理：
212122
24
0,,1k x x x x k
+>+==， 2121212122
422211111411()1121
x x k m n x x x x x x k +
++++=+===++++++++
故选：C 【点睛】
此题考查直线与抛物线位置关系和焦半径公式基本运算，考查直线与圆锥曲线问题的通式通法，容易出现漏掉直线斜率不存在的情况，虽然不影响结果，但体现思维逻辑的严密性；另外若能熟记一些二级结论的话，此题结果瞬间可得，大大提升解题效率. 10．函数
图象的大致形状是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】先判断函数的奇偶性，再求，
利用排除法可得解.
【详解】 由题意得，
，所以
，所以函数
为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A ，C ；
令
，则
，。

故选B ．
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性及函数的图象，属于基础题.． 11．在△ABC 中，2,6
AB C π
==
，则AC +的最大值为（ ）
A
． B
．C
．D
．【答案】C
【解析】根据正弦定理求出三角形外接圆直径，再用正弦定理表示出AC ，结合三角函数最值求法即可解得. 【详解】
由题：在△ABC 中，设,,AB c BC a AC b ===， 三角形△ABC 外接圆半径为R ，2,,246
c C R π
==
=，
5(0,
)6
A π
∈54(sin )4(sin(
))6
AC b B A A A π
=+=+=-
14(cos sin )2cos )22
A A A A A A ϕ=+=+=+，
其中tan (0,)2
π
ϕϕ=∈， 当2
A π
ϕ=
-时，取得最大值.
故选：C 【点睛】
此题考查利用正弦定理解决三角形相关问题，转化成三角函数求最大值之后一定注意最大值是否能够取到，当然此题也可用余弦定理结合基本不等式求得最大值. 12．已知离心率为e ，焦点为12,F F 的双曲线C 上一点P 满足
1221sin sin 0PF F e PF F ∠=⋅∠=/，则双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）
A
． B
．
C ．(1,2)
D
．(1,1+
【答案】D 【解析】由题12
21
sin 1sin PF F e PF F ∠=>∠，根据正弦定理转化成边的比例关系即可求解.
【详解】
由题：因为1221sin sin 0PF F e PF F ∠=⋅∠≠，12
21
sin 1sin PF F e PF F ∠=
>∠，
考虑焦点在x 轴上，左右焦点12,F F ，则点P 一定在左支（除去实轴端点），1PF c a >-,
2111122211PF PF a a a c a
PF PF PF c a c a
++==+<+=-- 在△12PF F 中，根据正弦定理212211sin sin PF PF F a c
e PF F PF c a
∠+==<∠-，
所以2
21,1,2101
e e e e e e e e +<
-<+--<-，且1e >，
解得：11e <<+，
同理可得焦点在y 轴上离心率同解 故选：D 【点睛】
此题考查双曲线几何性质与正弦定理知识相结合，解题中可以考虑焦点在x 轴上，左右焦点12,F F ，则点P 一定在左支，体现出数形结合和转化与化归思想.
二、填空题
13．已知数列{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，*n N ∈，且1233a a a ++=，
4566a a a ++=，则12S =__________.
【答案】45
【解析】试题分析：可以将每三项看作一项，则也构成一个等比数列.
所以
,故选C.
【考点】等比数列性质.
14．己知直线l 与正方体1111ABCD A B C D -的所有面所成的角都相等，且l
平面
11BB D D H =，则l 与平面11BB D D 所成角的正切值是___________.
【解析】直线l 与正方体1111ABCD A B C D -的所有面所成的角都相等，这样的直线只需与正方体的任一条体对角线平行即可，要与平面11BB D D 相交，考虑直线1AC 即可求出. 【详解】 作图：
由题：与正方体1111ABCD A B C D -的所有面所成的角都相等且与平面11BB D D 相交的直线，可以考虑1AC 与平面11BB D D 所成角，设所成角为θ，AC ⊥平面11BB D D ，所
以1AC 与平面11BB D D 所成角与1CAC ∠
互余，
11tan tan CAC θ=
==∠
【点睛】
此题考查直线与平面所成角，求直线与平面所成角可以考虑作出线面角，也可转化成求这条直线与平面的垂线所成角的余角，或者此题几何体特殊还可以建立空间直角坐标系，用向量求解.
15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2
s i n s i n (2)A B c o s B C <-+
，
则对任意的2,,,n
n
n
n n N a b c ≥∈，都必须满足___________. 【答案】n n n a c b +<
【解析】根据三角形三内角和关系对已知不等式进行恒等变形，可得出C 为钝角，转化成222a b c +<，即2
2
()()1a
b c
c
+<，利用不等式放缩便可得出所求大小关系. 【详解】
在△ABC 中，A B C π++=，2sin sin (2)A B cos B C <-+ 即2sin sin ()A B cos B A π<-+-， 所以2sin sin cos()A B B A <-，
2sin sin cos cos sin sin A B A B A B <+ 0cos cos sin sin A B A B <-
cos()0A B +>，所以(0,)2A B π+∈，(,)2
C π
π∈，
根据余弦定理：222
cos 02a b c C ab
+-=<，222a b c +<，
即2
2
()()1a b c
c
+<，且01,01a b
c c
<
<<<， 所以当2,n n ≥∈N 时，2
1,()n a
c
-≤21,()n b
c
-≤
222()()()(),n n a a a a c c c c -=≤222()()()(),n n b b b b c c c c
-=≤ 所以22
()()()1)(n n a b a b c c c c
+≤+<，两边同时乘以n c ，
即n n n a c b +<. 故答案为：n n n a c b +< 【点睛】
此题考查依据三角形三内角关系对不等式进行三角恒等变形和余弦定理处理边角关系，考查依据指数型函数单调性对不等式进行放缩比较大小，对综合能力要求较高. 16．若定义在R 上的函数()y f x =，其图像是连续不断的，且存在常数()k k R ∈使得
()()0f x k kf x ++=对任意实数x 都成立，则称()y f x =是一个“k ～特征函数”．则
下列结论中正确命题序号为____________.
①()3x
f x =是一个“k ～特征函数”；②()3f x x =-不是“k ～特征函数”；
③()0f x =是常数函数中唯一的“k ～特征函数”；④“1
3
～特征函数”至少有一个零点； 【答案】①②④
【解析】根据题意：依次检验定义域，连续性，是否存在常数()k k R ∈使得
()()0f x k kf x ++=对任意实数x 都成立即可.
【详解】
①()3x
f x =，考虑()3x
f x =即：330x x k k ++=，3(3)0x k k +=，
考虑2
()3,(1),(0)13
k
g k k g g =+-=-
=，必存在0(1,0)k ∈-使0()0g k =， 即存在0(1,0)k ∈-，使得()()000f x k k f x ++=对任意实数x 都成立，所以①正确； ②()3f x x =-，讨论()()0f x k kf x ++=，即3(3)0x k k x +-+-= 当2x =时，关于k 的方程23(23)0k k +-+-=无解，
不存在()k k R ∈使()()0f x k kf x ++=对任意实数x 都成立， 所以()3f x x =-不是“k ～特征函数”，所以②正确；
③设常数函数()f x m =，讨论()()0f x k kf x ++=，即(1)0k m +=，
当1k =-时对任意实数x 都成立，所以任何一个常数函数都可以是“-1～特征函数”， 所以③错误； ④设()f x 是“1
3
～特征函数”， 则()f x 是定义在R 上的连续函数， 且()11
033
f x f x ⎛⎫++
= ⎪⎝⎭对任意实数x 都成立，
下面利用反证法证明()f x 必有零点：
证明：假设()f x 没有零点，因为()f x 是定义在R 上的连续函数，则()0f x >恒成立，或()0f x <恒成立；
当()0f x >恒成立，则103f x ⎛⎫+> ⎪⎝
⎭，
()11033f x f x ⎛
⎫++> ⎪⎝
⎭，与题矛盾；
当()0f x <恒成立，则103f x ⎛
⎫
+
< ⎪⎝⎭
，()11033f x f x ⎛
⎫++< ⎪⎝
⎭，与题矛盾；
所以()f x 必有零点，所以④正确. 故答案为：①②④ 【点睛】
此题作为一个新定义题型，重点考查函数的相关性质，对函数性质的综合应用能力要求极高，关键在于读懂题意，抓住细节，如定义域，连续函数，存在常数()k k R ∈对任意实数x 都成立，对转化与化归思想要求较高.
三、解答题
17．各项均不为零的数列{}n a 前n 项和为n S ，数列2
{}n na 前n 项和为n T ，且
2
12,(1,2,3,).n n a T S n ===⋅⋅⋅
(1)求2a 的值；
(2)求数列{}n a 的通项公式． 【答案】（1）24a =（2）2*n a n
n N =∈
【解析】（1）根据22
122,a T S ==即可解出2a ；
（2）根据2(1,2,3,)n n T S n ==⋅⋅⋅，必有2
11(2,3,),n n T S n --==⋅⋅⋅两式作差，注意n 的取
值范围，即可求解. 【详解】
解：（1）因为212,(1,2,3,)n n a T S n ===⋅⋅⋅，所以22
2242(2)a a +=+．
所以24a =，或20a =（舍）．
（2）因为2(1,2,3,)n n T S n ==⋅⋅⋅，所以2
11(2,3,).n n T S n --==⋅⋅⋅ 所以2
1(),(2,3,)n n n n na S S a n -=+=⋅⋅⋅
因为0n a ≠，所以11(),(2,3,)n n n n n na S S n S S n --=+=-=⋅⋅⋅① 可得：11(1)(2,3,)n n n n a S S n +++=+=⋅⋅⋅② ②一①得：1(2)1n n
a a n n n
+=≥+， 故
2
2,(2),2,(2)2
n n a a n a n n n ==≥∴=≥ 当1n =时，上式也成立，所以2*.n a n n N =∈
方法2：
因为2(1,2,3,)n n T S n ==⋅⋅⋅，所以2
11(2,3,)n n T S n --==⋅⋅⋅. 所以2
1(),(2,3,)n n n n na S S a n -=+=⋅⋅⋅
因为0n a ≠，所以11(),(2,3,)n n n n n na S S n S S n --=+=-=⋅⋅⋅
所以11
(2)1
n n n S S n n -+=
≥-. 所以11143
(1)(2)12321
n n n n S S n n n n n n +-=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+≥---， 当1n =时，上式也成立．(1)(*)n S n n n N ∴=+∈ 所以12(1)n n n a S S n n -=-=>. 当1n =时，上式也成立，所以2*n a n n N =∈.
【点睛】
此题重点考查数列前n 项之和与通项之间的关系，考查对此类问题常规解法掌握程度，注重细节，特别考虑n 的取值范围；另外也可考虑先求前n 项之和再求通项公式. 18．2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，
培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．
（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x和中位数a（a的值精确到0.01）；（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[6.5,7.5)，[7.5,8.5)的学生中抽取9名参加座谈会．
（i）你认为9个名额应该怎么分配？并说明理由；
（ii）座谈中发现9名学生中理工类专业的较多．请根据200名学生的调研数据，填写下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为学生阅读时间不足（每周阅读时间不足8.5小时）与“是否理工类专业”有关？
附：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
（n a b c d
=+++）.
临界值表：
【答案】（1）平均数9，中位数8.99；（2）（i ）按照1:2进行名额分配；理由见详解； （ii ）有.
【解析】（1）根据平均数，中位数的定义进行求解即可
（2）完成列联表，计算2K 的观测值，结合独立性检验的性质进行判断即可. 【详解】
（1）该组数据的平均数
60.0370.180.290.35100.19x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯110.09120.049+⨯+⨯=，
因为0.030.10.20.350.680.5+++=>，所以中位数[8.5,9.5)a ∈， 由0.030.10.2(8.5)0.350.5a +++-⨯=，解得0.50.33
8.58.990.35
a -=
+≈；
（2）（i ）每周阅读时间为[6.5,7.5)的学生中抽取3名，每周阅读时间为[7.5,8.5)的学生中抽取6名．
理由：每周阅读时间为[6.5,7.5)与每周阅读时间为[7.5,8.5)是差异明显的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层抽样的方法抽取样本；因为两者频率分别为0.1，0.2，所以按照1:2进行名额分配． （ii ）由频率分布直方图可知，阅读时间不足8.5小时的学生共有
200(0.030.10.2)66⨯++=人，超过8.5小时的共有20066134-=人．
于是列联表为：
2
K 的观测值2
200(40742660) 4.432 3.84166134100100
k ⨯⨯-⨯=
≈>⨯⨯⨯， 所以有95%的把握认为学生阅读时间不足与“是否理工类专业”有关． 【点睛】
本题主要考查独立性检验的应用，根据数据计算出K 2
的观测值是解决本题的关键．考查学生的计算能力．
19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,E F 分别为11,A C BC 的中点，1C F AB ⊥，
12AB BC AA ===.
（1）求证：1//C F 平面ABE ； （2）求三棱锥1E ABC -的体积. 【答案】（1）见解析；（2）
2
3
. 【解析】试题分析：（1）设D 为边AB 的中点，连接ED ，FD ，∵D ，F 分别为AB ，BC 的中点，根据三角形中位线定理以及题设条件可证明四边形1EC FD 为平行四边形，可得1C F
ED ，从而根据线面平行的判定定理可得结论；（2）先证明AB ⊥平面
11BCC B ，知AB BC ⊥，从而可得三角形ABC 的面积为2，三角形ABF 的面积为1，
利用等积变换可得11E ABC C EAB F EAB V V V ---== 12
1233
E AB
F V -==⨯⨯=. 试题解析：（1）设D 为边AB 的中点，连接ED ，FD ∵D ，F 分别为AB ，BC 的中点， ∴DF
AC ，1
2DF AC =
， 又∵1EC AC ，11
2
EC AC =，
∴1DF
EC ，1DF EC =，
∴ 四边形1EC FD 为平行四边形. ∴1C F
ED ，
又ED ⊂平面EAB ，1C F ⊄平面EAB ， ∴1C F 平面ABE ，
（2）在直三棱柱中1CC AB ⊥， 又1C F AB ⊥，
1CC ⊂平面11BCC B ，1C F ⊂平面11BCC B ，111CC C F C ⋂=，
∴AB ⊥平面11BCC B ，
知AB BC ⊥，可得三角形ABC 的面积为2，三角形ABF 的面积为1， 由（1）1C F 平面ABE 知：1C 到平面EAB 的距离等于F 到平面EAB 的距离 ∴11E ABC C EAB F EAB V V V ---==三棱锥三棱锥三棱锥 121233
E AB
F V -==
⨯⨯=三棱锥. 【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的. 20．已知函数3
1()sin .6
f x x ax x =-+
(1)求函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程；
(2)若()f x 存在极小值点1x 与极大值点2x ，求证：122 2.x a x -<+ 【答案】（1）(1)y a x =-（2）证明见解析
【解析】（1）根据函数在某点处切线方程的求法求出(0)f 和(0)f '可得；
（2）函数存在极小值点1x 与极大值点2x ，即()f x '有两个零点12,x x ，且()f x '
在零点
左右两侧异号，依据根的存在性定理，确定根所在区间即可求解. 【详解】
(1)解：21(0)0,()cos 2
f f x x a x ==-+
' (0)1f a '=-，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为(1)y a x =-；
(2)设2
1()()cos 2
g x f x x a x '==-+
，则()sin g x x x -'=，设()()h x g x '
=，则()1cos 0,h x x =-≥'
所以()h x 在(,)-∞+∞上单调递增．
又因为(0)0h =，所以在[0,)+∞上，()0h x ≥，即()0,g x '≥ 所以()g x 在(0,)+∞上单调递增．
当1a ≤时，(0)10g a =-≥，所以在[0,)+∞上，()0g x ≥，即()0,f x '≥
所以函数()f x 在[0,)+∞上是单调增函数.
又()f x 是奇函数，所以函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值点； 当1a >时，(0)10,g a =-<
2211
(1)(1)(1)(1)(1)(1)1022
g a cos a a a cos a a cos a +=+-++=+++>++≥
又因为函数()g x 在[0,)+∞上单调递增，所以函数()f x '
在[0,)+∞上有且只有一个零
点1(0,1)x a ∈+
可知1x 是()f x 的唯一极小值点，且1(0,1)x a ∈+
又()f x 是奇函数，所以函数()f x 必存在唯一极大值点，记为2x ，且21x x =-， 所以121(2)(2)22(1)0x a x x a --+=-+<，所以1222x a x -<+成立. 【点睛】
此题第一问考查函数在某点处的切线方程，属于简单题目；第二问证明不等式重点考查利用导函数处理函数单调性和极值问题，转化成函数零点问题，关键点在于如何限制其中一个根1x 所在区间，以及1x 为何要与1a +作比较，考查转化与化归思想.
21．设椭圆22
22:1(0)y x M a b a b
+=>>的离心率与双曲线221x y -=的离心率互为倒
数，且内切于圆22
24x y +=. (1)求椭圆M 的方程；
(2)已知R 00(,)x y 是椭圆M 上的一动点，从原点O 引圆R :22
00()()8x x y y -+-=的
两条切线，分别交椭圆M 于P 、Q 两点，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为12,k k ，试探究2
2
OP OQ +是否为定值并证明你所探究出的结论.
【答案】（1）2212412
x y +=（2）22
OP OQ +为定值36，证明见解析
【解析】（1）椭圆内切于圆，得出圆的长半轴长，根据离心率求出半焦距便可得解； （2）依据直线与圆相切，得出12,k k 的关系和切点坐标，22
OP OQ +可用1200,,,k k x y 的关系表示，整体代换即可求出定值. 【详解】
解：(1)∵双曲线22
1x y -=
，
∴椭圆M
的离心率为2
c e a =
=
∵椭圆M 内切于圆2224x y +=，2224x y ∴+=
的半径为r a ==
得：2
a c
b ====所求椭圆M 的方程为：22
12412
x y +=
(2)设直线OP ：1y k x =，OQ ：21122P(,)Q(,)y k x x y x y =，，，设圆R 过O 点的切线方程为：,y kx =
=，整理得：2220000(8)280x k x y k y --+-=
故20122088y k k x -=-，又22
0012412x y +=可得：1212k k =-
将1y k x =代入2212412x y +=得：222
1112
2112424,1212k x y k k ==++ 同理可得：22
2
22222
22
2424,1212k x y k k ==++ 222
2
1222
1224(1)24(1)
1212k k OP OQ k k ++∴+=+++
2222122122
1224(1)((12)24(1)((12)
(12)(12)k k k k k k +++++=++ 22122212243(1)362(1)
k k k k ⨯++==++
故22
OP OQ +为定值36 【点睛】
此题考查椭圆基本量的常规求法，过圆外一点作圆的两条切线，通过圆心到直线距离等于半径可以转化成关于切线斜率的方程，得出12,k k 的关系，联立直线和圆求出切点坐
标，容易漏掉R 00(,)x y 是椭圆M 上的一动点则 22
0012412
x y +=这一关系在化简过程中
的重要作用.
22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{
x 2tcos α
y tsin α(t =-+=为参数).以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2
2
ρ
45sin θ36+=．
()1求l 和C 的直角坐标方程；
()2设()P 2,0-，l 和C 相交于A ，B 两点，若PA PB 4⋅=，求sin α的值．
【答案】（1）l 的直角坐标方程为x 2=-，或()y x 2tan α=+；C 的直角坐标方程为
22194x y +=；
（2）. 【解析】()1代入法消去参数t 可得直线l 的直角坐标方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程；
()2将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，利用参数t 的几何意义可得．
【详解】 解：()π
1αk π,k Z ,l x 22
=
+∈=-当时： π
αk π,k Z 2
≠
+∈当时， 由 {
()x 2tcos α
y
y tsin α,tan α,l y x 2tan αx 2
得
：=-+===++ 综上，l 的直角坐标方程为x 2=-，或()y x 2tan α=+ 由C 的极坐标方程()2
2
ρ
45sin θ36+=得()
2
224x
y 5y 36++=，
22
x y C 194
∴+=的直角坐标方程为
()2将{
()x 2tcos α
y tsin α,t =-+=为参数代入22
x y 194
+=，得()
2245sin αt 16tcos α200+--=
12220
t t P(245sin α
-∴=
-+，0)在l 上， 122
20
PA PB t t 445sin α
-∴==
=+
sin α∴= 【点睛】
本题考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查了直线参数方程中t 的几何意义，属中档题．
23．设函数()2 1.f x k x x =--
(1)当1k =时，求不等式()0f x >的解集；
(2)当(0,)x ∈+∞时，()0f x b +>恒成立，求k b +的最小值．
【答案】（1）1
(,1)3
（2）最小值为3
【解析】（1）利用零点分段讨论法即可解出绝对值不等式得解集；
（2）当(0,)x ∈+∞时，()0,f x b +>恒成立，即21k x b x +>-恒成立，数形结合求解. 【详解】
解(1)当1k =时，不等式化为210,x x -->
0210x x x ≤⎧⎨
-+->⎩，或102210x x x ⎧<<⎪⎨⎪+->⎩，或12210
x x x ⎧
≥⎪
⎨⎪--+>⎩ 综上，原不等式的解集为1
{1}3
x
x << (2)(0,)x ∈+∞时，()0,21f x b k x b x +>+>- 作21y x =-与y k x b =+的图像，
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可知2,1,y k b =≥≥
3,k b k b ∴+≥+的最小值为3(这时2,1k b ==)
【点睛】
零点分段法求解绝对值不等式，注意分段求解；求解集，注意书写形式；不等式恒成立转化成两个函数比较大小，数形结合可以事半功倍.。