北京市161中高三数学上学期10月月考试卷(含解析)

北京161中2015届高三上学期10月月考数学试卷
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x+1＜0}，B={x|x﹣3＜0}，那么集合（∁U A）∩B=（）A．{x|﹣1≤x＜3} B．{x|﹣1＜x＜3} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x＞3}
2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递减的是（）
A．y=lg|x| B．y=C．y=﹣x2+1 D．y=e﹣x
3．（5分）若0＜m＜n，则下列结论正确的是（）
A．2m＞2n B．
C．log2m＞log2n D．
4．（5分）若b＜a＜0，则下列不等式中正确的是（）
A．＞B．|a|＞|b| C．+＞2 D．a+b＞ab
5．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2，则a2等于（）
A．﹣2 B．2 C．1 D．4
6．（5分）要得到函数y=sin2x的图象，只要将函数y=sin（2x﹣）的图象（）
A．向左平移单位B．向右平移单位
C．向左平移单位D．向右平移单位
7．（5分）若2a=sin2+cos2，则实数a所在区间是（）
A．（，1）B．（0，）C．（﹣，0）D．（﹣1，﹣）
8．（5分）已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“好集合”．给出下列4个集合：
①
②M={（x，y）|y=e x﹣2}
③M={（x，y）|y=cosx}
④M={（x，y）|y=lnx}
其中所有“好集合”的序号是（）
A．①②④B．②③C．③④D．①③④
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分
9．（5分）函数f（x）=+log2（5﹣x）的定义域是．
10．（5分）函数f（x）=cos+sin的图象中相邻的两个对称中心之间的距离是．11．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面面积中，最大的面积值为．
12．（5分）从4名男生和3名女生中选出3人组成一个学习小组，其中至少有1名女生的不同选法共有种（用数字作答）
13．（5分）在△ABC中，∠ABC=，AB=，BC=3，则sin∠BAC=．
14．（5分）按程序框图运算：若x=5，则运算进行次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是．
三、解答题共6小题，共80分
15．（13分）已知函数（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若，，求cos2x0的值．
16．（13分）某地区举办科技创新大赛，有50件科技作品参赛，大赛组委会对这50件作品分别从“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分均按等级采用5分制，若设“创新性”得分为x，“实用性”得分为y，统计结果如下表：
y
作品数量
x 实用性
1分2分3分 4分
5分
创
新
性1分 1 3 1 0 1
2分 1 0 7 5 1
3分 2 1 0 9 3
4分 1 b 6 0 a
5分0 0 1 1 3 （1）求“创新性为4分且实用性为3分”的概率；
（2）若“实用性”得分的数学期望为，求a、b的值．
17．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，侧面PAB为等边三角形，侧棱．
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面ABC；
（Ⅲ）求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．
18．（13分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣1与x=2处都取得极值．
（Ⅰ）求a，b的值及函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对x∈[﹣2，3]，不等式f（x）+c＜c2恒成立，求c的取值范围．
19．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，椭圆上任意一点到椭圆的两个
焦点的距离之和为4，设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，点A的坐标为（﹣a，0）．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若|AB|=，求直线l的倾斜角．
20．（13分）设集合W由满足下列两个条件的数列{a n}构成：
①；②存在实数M，使a n≤M．（ n为正整数）
（Ⅰ）在只有5项的有限数列{a n}、{b n}中，其中a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，a5=5；b1=1，b2=4，b3=5，b4=4，b5=1，试判断数列{a n}、{b n}是否为集合W中的元素；
（Ⅱ）设{c n}是等差数列，S n是其前n项和，c3=4，S3=18，证明数列{S n}∈W；并写出M的取值范围；
（Ⅲ）设数列{d n}∈W，且对满足条件的常数M，存在正整数k，使d k=M．
求证：d k+1＞d k+2＞d k+3．
北京161中2015届高三上学期10月月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x+1＜0}，B={x|x﹣3＜0}，那么集合（∁U A）∩B=（）A．{x|﹣1≤x＜3} B．{x|﹣1＜x＜3} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x＞3}
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：计算题．
分析：先对两个集合进行化简，再根据集合运算的性质求集合（C U A）∩B
解答：解：A={x|x+1＜0}=（﹣∞，﹣1），B={x|x﹣3＜0}=（﹣∞，3），
∴C U A=[﹣1，+∞）
∴（C U A）∩B=[﹣1，3）
故选A
点评：本题考点是交并补集的混合运算，根据集合去处的性质求集合，属于集合中的基本题型．
2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递减的是（）
A．y=lg|x| B．y=C．y=﹣x2+1 D．y=e﹣x
考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：逐一考查各个选项中函数的奇偶性、以及在区间（﹣∞，0）上的单调性，从而得出结论．
解答：解：由于y=lg|x|，有f（﹣x）=f（x）是偶函数，且在区间（﹣∞，0）上，f（x）=lgx是单调递减，故A正确；
由于y=是奇函数，故排除B；
由于函数f（x）=﹣x2+1是偶函数，且满足在（﹣∞，0）上是单调递增函数，故C不满足条件；
由于y=e﹣x不满足f（﹣x）=f（x），不是偶函数，故排除D．
故选：A．
点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于中档题．
3．（5分）若0＜m＜n，则下列结论正确的是（）
A．2m＞2n B．
C．log2m＞log2n D．
考点：指数函数的单调性与特殊点．
分析：根据指数函数与对数函数的底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减的性质进行做题．
解答：解：观察A，C两个选项，由于底数2＞1，故相关的函数是增函数，由0＜m＜n，
∴2m＜2n，log2m＜log2n，
所以A，C不对．
又观察B，D两个选项，两式底数满足，故相关的函数是一个减函数，由0＜m＜n，∴
＞，＞n，
所以B不对D对．
故选D．
点评：指数函数与对数函数的单调性是经常被考查的对象，要注意底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减的性质．
4．（5分）若b＜a＜0，则下列不等式中正确的是（）
A．＞B．|a|＞|b| C．+＞2 D．a+b＞ab
考点：不等关系与不等式．
专题：常规题型．
分析：利用不等式的基本性质，两个负数取倒数或去绝对值不等式方向应该改变，得到AB 不正确，在根据均值不等式得到C是正确的，对于显然知道a+b＜0而ab＞0故D也不正确．解答：解：∵b＜a＜0
∴取倒数后不等式方向应该改变
即＜，故A不正确
∵b＜a＜0
∴两边同时乘以﹣1后不等式方向应该改变
﹣b＞﹣a＞0
即|a|＜|b|，故B不正确
∵b＜a＜0
根据均值不等式知：+＞2
故C正确
∵b＜a＜0
∴a+b＜0，ab＞0
∴a+b＜ab
故D不正确
故选C
点评：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．
5．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2，则a2等于（）
A．﹣2 B．2 C．1 D．4
考点：数列递推式．
专题：点列、递归数列与数学归纳法．
分析：利用S n=2a n﹣2，n分别取1，2，则可求a2的值．
解答：解：n=1时，S1=2a1﹣2，∴a1=2，
n=2时，S2=2a2﹣2，∴a2=a1+2=4．
故选D．
点评：本题考查数列递推式，考查学生的计算能力，属于基础题．
6．（5分）要得到函数y=sin2x的图象，只要将函数y=sin（2x﹣）的图象（）
A．向左平移单位B．向右平移单位
C．向左平移单位D．向右平移单位
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
解答：解：将函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移单位，可得函数y=sin[2（x+）﹣]=sin2x的图象，
故选：A．
点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
7．（5分）若2a=sin2+cos2，则实数a所在区间是（）
A．（，1）B．（0，）C．（﹣，0）D．（﹣1，﹣）
考点：两角和与差的正弦函数；函数零点的判定定理．
专题：计算题．
分析：利用两角和的正弦函数化简等式的右侧，确定右侧的范围，然后利用指数函数的性质确定左侧的范围，得到选项即可．
解答：解：∵sin2+cos2=2sin（2+），
又π＜2+＜π，
∴1＜2sin（2+）＜，
即1＜2a＜，
∴0＜a＜．
故选：B．
点评：本题考查三角函数的化简求值，两角和的正弦函数的应用，指数函数的基本性质，考查计算能力，属于基础题．
8．（5分）已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“好集合”．给出下列4个集合：
①
②M={（x，y）|y=e x﹣2}
③M={（x，y）|y=cosx}
④M={（x，y）|y=lnx}
其中所有“好集合”的序号是（）
A．①②④B．②③C．③④D．①③④
考点：命题的真假判断与应用；元素与集合关系的判断．
专题：阅读型；新定义．
分析：对于①，利用渐近线互相垂直，判断其正误即可．
对于②，画出图象，说明满足好集合的定义，即可判断正误；
对于③，画出函数图象，说明满足好集合的定义，即可判断正误；
对于④，画出函数图象，取一个特殊点即能说明不满足好集合定义．
解答：解：对于①y=是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，
在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足好集合的定义；
对任意（x1，y1）∈M，在另一支上也不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，
所以不满足好集合的定义，不是好集合．
对于②M={（x，y）|y=e x﹣2}，如图（2）在曲线上两点构成的直角始存在，例如取M（0，﹣1），N（ln2，0），满足好集合的定义，所以正确．
对于③M={（x，y）|y=cosx}，如图（3）对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，
例如（0，1）、（，0），∠yox=90°，满足好集合的定义，旋转90°，都能在图象上找到满
足题意的点，
所以集合M是好集合；
对于④M={（x，y）|y=lnx}，如图（4）取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是好集合．
故选B．
点评：本题考查了命题真假的判断与应用，考查了元素与集合的关系，考查了数形结合的思想，解答的关键是对新定义的理解，是中档题．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分
9．（5分）函数f（x）=+log2（5﹣x）的定义域是[0，5）．
考点：函数的定义域及其求法．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：根据二次根式的性质，对数函数的性质，得到不等式组，解出即可．
解答：解：由题意得：，
解得：0≤x＜5，
则有定义域为[0，5）．
故答案为：[0，5）．
点评：本题考查了函数的定义域问题，考查了二次根式的性质，对数函数的性质，是一道基础题．
10．（5分）函数f（x）=cos+sin的图象中相邻的两个对称中心之间的距离是．
考点：两角和与差的正弦函数．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：化简可得f（x）=sin（+），可得周期T，而所求即为半周期．
解答：解：由三角函数公式化简可得f（x）=cos+sin=（cos+sin）=sin （+），
∴函数f（x）的周期为T==5π，
∴函数图象中相邻的两个对称中心之间的距离为=
故答案为：
点评：本题考查三角函数的图象和性质，涉及公式的化简和周期性，属基础题．
11．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面面积中，最大的面积值为10．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图．
解答：解：由题意，该四棱锥的四个侧面面积中，较大的两个面的面积分别为
S1=×4×=10，
S2=×3×=6，
6＜10，
故答案为：10．
点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．
12．（5分）从4名男生和3名女生中选出3人组成一个学习小组，其中至少有1名女生的不同选法共有31种（用数字作答）
考点：计数原理的应用．
专题：排列组合．
分析：由题意知这3人中至少有1名女生的对立事件是只选男生，即则这3人中至少有1名女生等于从全部方案中减去只选男生的方案数，由排列的方法计算全部方案与只选男生的方案数．
解答：解：从4名男生和3名女生中选出3人，组成一个学习小组，有C73种选法，
其中只选派男生的方案数为C43，
这3人中至少有1名女生与只选男生为对立事件，
则这3人中至少有1名女生等于从全部方案中减去只选男生的方案数，
即合理的选则方案共有C73﹣C43=31种结果，
故答案为：31
点评：本题考查排列组合的运用，本题解题的关键是看出要求的事件的对立事件，遇到求出现至多或至少这种语言时，一般要用间接法来解，正难则反
13．（5分）在△ABC中，∠ABC=，AB=，BC=3，则sin∠BAC=．
考点：正弦定理．
专题：三角函数的求值．
分析：利用余弦定理列出关系式，将各自的值代入求出b的值，再利用正弦定理即可求出sin∠BAC的值．
解答：解：∵在△ABC中，∠ABC=，AB=c=，BC=a=3，
∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accos∠ABC=9+2﹣6=5，即b=，
则由正弦定理=得：sin∠BAC==．
故答案为：
点评：此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．
14．（5分）按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是（10，28]．
考点：循环结构．
专题：图表型．
分析：本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．
解答：解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：
x x 是否继续循环
循环前5∥
第一圈 15 13 是
第二圈 39 37 是
第三圈 111 109 是
第四圈 327 325 否
故循环共进行了4次；
（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：
x 是否继续循环
循环前x0/
第一圈（x0﹣1）×3+1 是
第二圈（x0﹣1）×32+1 是
第三圈（x0﹣1）×33+1 否
则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244
解得：10＜x0≤28
故答案为：4，（10，28]
点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新2015届高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．要判断循环的次数，可以根据循环变量的初值、终值及步长代入循环次数公式解答，但公式一般只适用于累加（乘）问题，对于本题的第一步，则应采用模拟法解答．
三、解答题共6小题，共80分
15．（13分）已知函数（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若，，求cos2x0的值．
考点：正弦函数的单调性；诱导公式的作用；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．
专题：计算题．
分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简 f（x）的解析式为，由此求得周期，令（k∈Z），求出x的范围，即得函数f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）解法一：由已知得，平方可得，再根据
，利用同角三角函数的基本关系求出cos2x0的值．
解法二：由已知得，根据角的范围，利用同角三角函数的基本关系求出的值，由，再利用
二倍角公式运算求出结果．
解答：解：（Ⅰ） f（x）=2sinx•cosx﹣2sin2x+1 …（1分）
=sin2x+cos2x …（2分）
=．…（3分）
故函数f（x）的最小正周期．…（5分）
令（k∈Z），…（6分）
可得，
即，k∈z，
所以，函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．…（8分）
（Ⅱ）解法一：由已知得，…（9分）
两边平方，可得，
所以，．…（11分）
因为，所以，
所以，．…（13分）
解法二：因为，
所以．…（9分）
又因为，
解得．…（10分）
所以，．…（11分）
所以，
=．…（13分）
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，属于中档题．
16．（13分）某地区举办科技创新大赛，有50件科技作品参赛，大赛组委会对这50件作品分别从“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分均按等级采用5分制，若设“创新性”得分为x，“实用性”得分为y，统计结果如下表：
y
作品数量
x 实用性
1分2分3分 4分
5分
创
新
性1分 1 3 1 0 1
2分 1 0 7 5 1
3分 2 1 0 9 3
4分 1 b 6 0 a
5分0 0 1 1 3 （1）求“创新性为4分且实用性为3分”的概率；
（2）若“实用性”得分的数学期望为，求a、b的值．
考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．
专题：计算题．
分析：（1）由题意从表中可以看出，“创新性4分且实用性3分”的作品数量6件，利用古典概型可知创新性4分且实用性3分”的概率值；
（2）由题意及图表可知“实用性”得y1分，2分，3分，4分5分，五个等级，且每个等级分别5件，b+4件，15件，15件，a+8件，利用古典概型求出每一个值对应的事件的概率，利用分布列及期望定义即可求得．
解答：解：（1）从表中可以看出，“创新性4分且实用性3分”的作品数量6件，
∴“创新性4分且实用性3分”的概率．
（2）由表可知“实用性”得y1分，2分，3分，4分5分，五个等级，
且每个等级分别5件，b+4件，15件，15件，a+8件．
∴“实用性”得y的分布列为：
y 1 2 3 4 5
P
又∵“实用性”得分的数学期望，
∴+．
∵作品数量共50件，a+b=3
解a=1，b=2．
点评：此题考查了古典概型随机事件的概率公式，离散型随机变量的定义及其分布列，随机变量的期望，还考查了学生的理解与计算能力．
17．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，侧面PAB为等边三角形，侧棱．
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面ABC；
（Ⅲ）求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．
考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．
专题：计算题；证明题．
分析：（Ⅰ）由题意，证明PC⊥AB可通过证明AB⊥平面PCD，用线面垂直证线线垂直；（II）要证明两个平面垂直，可以证明两个平面所成的二面角是直角，根据三边长满足勾股定理得到直角，得到结论．
（III）方法一：过D作DE⊥PA于E，连接CE，则CE⊥PA．所以∠DEC是二面角B﹣AP﹣C的平面角，在三角形中求角即可；
方法二：（空间向量法）以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，给出各点的坐标，建立方程求出两个平面的法向量，用公式求出二面角的余弦值，
解答：解：（Ⅰ）设AB中点为D，连接PD，CD，（1分）
因为AP=BP，所以PD⊥AB．
又AC=BC，所以CD⊥AB．（2分）
因为PD∩CD=D，所以AB⊥平面PCD．
因为PC⊂平面PCD，所以PC⊥AB．（4分）
（Ⅱ）由已知∠ACB=90°，AC=BC=2，
所以，．
又△PAB为正三角形，且PD⊥AB，所以．（6分）
因为，所以PC2=CD2+PD2．
所以∠CDP=90°．
由（Ⅰ）知∠CDP是二面角P﹣AB﹣C的平面角．
所以平面PAB⊥平面ABC．（8分）
（Ⅲ）方法1：由（Ⅱ）知CD⊥平面PAB．
过D作DE⊥PA于E，连接CE，则CE⊥PA．
所以∠DEC是二面角B﹣AP﹣C的平面角．（10分）
在Rt△CDE中，易求得．
因为，所以．（12分）
所以．
即二面角B﹣AP﹣C的余弦值为．（13分）
方法2：由（Ⅰ）（Ⅱ）知DC，DB，DP两两垂直．（9分）
以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系．
易知D（0，0，0），，，．所以
，．（10分）
设平面PAC的法向量为n=（x，y，z），
则即
令x=1，则y=﹣1，．
所以平面PAC的一个法向量为．（11分）
易知平面PAB的一个法向量为．
所以．（12分）
由图可知，二面角B﹣AP﹣C为锐角．
所以二面角B﹣AP﹣C的余弦值为．（13分）
点评：本题考查二面角的求法，面面垂直的判定，线线垂直的判定，考查推理论证的能力及运算求解的能力，解答本题关键是掌握求二面角的方法﹣﹣几何法与向量法，掌握几何法的步骤作角、证角、求解以及向量法的求解步骤建立坐标系，求出两平面的法向量的坐标，用公式求出两平面夹角的余弦值．
18．（13分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣1与x=2处都取得极值．
（Ⅰ）求a，b的值及函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对x∈[﹣2，3]，不等式f（x）+c＜c2恒成立，求c的取值范围．
考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明．
专题：计算题．
分析：（1）求出f′（x）并令其=0得到方程，把x=﹣1和x=2代入求出a、b即可；（2）求出函数的最大值为f（﹣1），要使不等式恒成立，既要证f（﹣1）+c＜c2，即可求出
c的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x2+2ax+b，
由题意：即
解得
∴，f′（x）=3x2﹣3x﹣6
令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜2；
令f′（x）＞0，解得x＜﹣1或x＞2，
∴f（x）的减区间为（﹣1，2）；增区间为（﹣∞，﹣1），（2，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增；
在（﹣1，2）上单调递减；在（2，+∞）上单调递增．
∴x∈[﹣2，3]时，f（x）的最大值即为f（﹣1）与f（3）中的较大者.；
∴当x=﹣1时，f（x）取得最大值．
要使，只需，即：2c2＞7+5c
解得：c＜﹣1或．
∴c的取值范围为．
点评：考查学生利用导数求函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及掌握不等式的证明方法．
19．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，椭圆上任意一点到椭圆的两个
焦点的距离之和为4，设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，点A的坐标为（﹣a，0）．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若|AB|=，求直线l的倾斜角．
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）椭圆+=1（a＞b＞0）根据a2=b2+c2，=，2a=4，求解．（2）联立方程组消去y并整理，得（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0，运用韦达定理，弦长公式求解．
解答：解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，椭圆上任意一点到椭圆的两
个焦点的距离之和为4，
∴a=2，c=，b=1，
∴椭圆的标准方程：=1，
（2）∵设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，点A的坐标为（﹣a，0）．
∴点A的坐标为（﹣2，0），
∴直线l的方程为：y=k（x+2），
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）可知点A的坐标是（﹣2，0）．
设点B的坐标为（x1，y1），直线l的斜率为k．
则直线l的方程为y=k（x+2）．
于是A、B两点的坐标满足方程组
消去y并整理，得（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0．
由﹣2x1=，得x1=．从而y1=．
所以|AB|=
由|AB|=，得=
整理得32k4﹣9k2﹣23=0，即（k2﹣1）（32k2+23）=0，解得k=±1．
所以直线l的倾斜角为或．
点评：本题考查了椭圆和直线的位置关系，联立方程组结合弦长公式求解．
20．（13分）设集合W由满足下列两个条件的数列{a n}构成：
①；②存在实数M，使a n≤M．（ n为正整数）
（Ⅰ）在只有5项的有限数列{a n}、{b n}中，其中a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，a5=5；b1=1，b2=4，b3=5，b4=4，b5=1，试判断数列{a n}、{b n}是否为集合W中的元素；
（Ⅱ）设{c n}是等差数列，S n是其前n项和，c3=4，S3=18，证明数列{S n}∈W；并写出M的取值范围；
（Ⅲ）设数列{d n}∈W，且对满足条件的常数M，存在正整数k，使d k=M．
求证：d k+1＞d k+2＞d k+3．
考点：元素与集合关系的判断；等差数列的性质；不等式的证明．
专题：计算题；证明题．
分析：（Ⅰ）要判断数列不为集合中的元素，只需要在数列中找一个元素不是集合中的元素即可．要判断数列为集合中的元素，需要严格证明，对于数列{b n}，当nÎ{1，2，3，4，5}时，看数列{b n}是否满足集合W的条件①②即可．
（Ⅱ）是证明题．要证明数列{S n}∈W，首先利用题中的条件：{c n}是等差数列，S n是其前n 项和，c3=4，S3=18确定出数列{S n}，然后再证明满足①②即可．
（Ⅲ）也是证明题．要求证d k+1＞d k+2＞d k+3，数列{d n}∈W所以满足W的两个条件，得到
．整理得d k+2＜d k+1+（d k+1﹣d k）=d k+1+（d k+1﹣M），因为d k=M，得到d k+1≤M，即d k+2＜d k+1；又因为，得到d k+3＜d k+2+（d k+2﹣d k+1）＜d k+2，整理可得证．
解答：解：（Ⅰ）对于数列{a n}，当n=1时，=a2，
显然不满足集合W的条件①，故{a n}不是集合W中的元素．（2分）
对于数列{b n}，当n={1，2，3，4，5}时，
不仅有，，，
而且有b n≤5，显然满足集合W的条件①②，故{b n}是集合W中的元素．（4分）
（Ⅱ）∵{c n}是等差数列，S n是其前n项和，c3=4，S3=18，设其公差为d，
∴c3﹣2d+c3﹣d+c3=18，
∴d=﹣2
∴c n=c3+（n﹣3）d=﹣2n+10，S n=﹣n2+9n（7分）
∵，∴；
∵，∴S n的最大值是S4=S5=20，即S n≤S4=20．
∴{S n}∈W，且M的取值范围是[20，+∞）（9分）
（Ⅲ）证明：∵{d n}∈W，∴，
整理d k+2＜d k+1+（d k+1﹣d k）=d k+1+（d k+1﹣M），
∵d k=M，∴d k+1≤M，∴d k+2＜d k+1；
又∵，∴d k+3＜d k+2+（d k+2﹣d k+1）＜d k+2，
∴d k+1＞d k+2＞d k+3．（14分）
点评：此题考查运用题中定义的函数解决问题的能力，以及数列与集合关系的判断．。