2021-2022学年福建省福州八中九年级(上)适应性训练数学试卷(12月份)(附详解)

2021-2022学年福建省福州八中九年级（上）适应性训练
数学试卷（12月份）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1.下列图形中，不是中心对称图形的是()
A. B. C. D.
2.下列事件中，是必然事件的是()
A. 掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上
B. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯
C. 如果a2=b2，那么a=b
D. 如果a=b，那么a2=b2
3.将点(1,2)绕原点逆时针旋转90°得到的点的坐标是()
A. (−1,−2)
B. (2,−1)
C. (1,−2)
D. (−2,1)
4.若正六边形的周长为24，则它的外接圆的半径为()
A. 4√3
B. 4
C. 2√3
D. 2
5.小明学习了物理中的杠杆平衡原理发现：阻力×阻力臂=动力×动力臂.现已知某一
杠杆的阻力和阻力臂分别为2400N和1m，则动力F(单位：N)关于动力臂l(单位：m)的函数图象大致是()
A. B.
C. D.
6.二次函数y=x2−ax+b的图象如图所示，对称轴为直线
x=1，它的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，
顶点为D.且A(−1,0)，则下列结论不正确的是()
A. a=2
B. 它的图象与y轴的交点坐标C为(0,−3)
C. 图象的顶点坐标D为(1,−4)
D. 当x>0时，y随x的增大而增大
7.若关于x的一元二次方程(k−2)x2+4x+2=0有实数根，则k的取值范围是()
A. k≤4且k≠2
B. k>4
C. k≠2
D. k≥4且k≠2
8.如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照
的光线互相垂直，则树的高度为()m．
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
9.一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第
二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若设1人每次能教会x名同学，则可列方程为()
A. x+(x+1)x=36
B. (x+1)2=36
C. 1+x+x2=36
D. x+(x+1)2=36
10.如图，已知二次函数y=−5
4
(x+1)(x−4)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的
左侧)，与y轴交于点C，P为该二次函数在第一象限内的一点，连接AP，交BC于点
K，则AP
PK
的最小值为()
A. 9
4B. 2 C. 7
4
D. 5
4
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11.若圆锥的底面半径为3，母线长为4，则这个圆锥的侧面积是______．
12.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=8，则sinB等于______．
13.已知反比例函数y=−2
，当自变量x≤−1时，函数值y的取值范围是______．
x
14.如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC.若
⊙O的半径为2cm，∠BCD=30°，则AB=______cm．
15.如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，E，F，G，H分
别是AD，AB，BC，CD的中点，若在四边形ABCD内任取
一点，则这一点落在图中阴影部分的概率为______．
16.如图，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，以AC为边作平行四边形ACDE，
(x>0)过B点且与CD交于F点，CF=3DF，E点在CB的延长线上，反比例函数y=k
x
S△ABF=6，则k的值为______．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）
17.计算：2sin30°−3tan45°⋅sin45°+4cos60°．
18.在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，求这个三角形的内切圆半径．
19.如图，三角形ABC，将三角形ABC绕点A逆时针旋转120°，得到
三角形ADE，其中点B与点D对应，点C与点E对应．
(1)画出三角形ADE；
(2)求直线BC与直线DE相交的锐角的度数．
20.成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会，
目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定，某校体育社团随机调查了部分学生在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看意愿，并根据调查结果绘制成了两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有______人；
(2)扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为______，并补全条形统计图；
(3)现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大会志愿者，请利用画树状图
或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
21.如图：一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=k
x
的图象交于A(2,m)、B(−1,−4)两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求△AOB的面积．
22.九年三班的一位男生进行投掷实心球测试，已知实心球行进高度y(单位：m)与水
(x−5)2+4．
平距离x(单位：m)之间的函数关系是y=−2
25
(1)求抛物线顶点坐标、抛物线与y轴的交点坐标，以及抛物线与x轴的交点坐标；
(x−5)2+4的大致图象；
(2)画出函数y=−2
25
(3)根据初中毕业升学体育考试评分标准：男生掷出11米可得满分，请你判断该男
生投掷实心球的成绩能否得满分，并说明理由．
23.如图，在正方形ABCD中，点G是对角线上一点，CG的延长线交AB于点E，交DA的
延长线于点F，连接AG．
(1)求证：△ADG≌△CDG；
(2)求证：△AEG∽△FAG；
(3)若GE⋅GF=9，求CG的长．
24.已知：如图，AB为半圆的直径，O为圆心，AD平分∠BAC交
弦BC于F，DE⊥AC，垂足为E．
(1)求证：DE与⊙O相切；
(2)若DF=2，AF=6，求⊙O的半径．
25.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点．
(1)若抛物线过点P(0,−1)，求a与b的关系式，并求a+b的最大值；
(2)已知点P1(−2,−1)，P2(2,1)，P3(2,−1)中恰有两点在抛物线上．
①求抛物线的解析式；
②设直线l：y=kx−1与抛物线交于M，N两点，过MN中点C做x轴垂线交直线y=1
于点Q，求证MQ⊥NQ．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.是是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】D
【解析】解：∵掷一枚质地均匀的硬币，可能正面向上，也可能反面朝上，为随机事件，∴A选项不合题意，
∵车辆随机到达一个路口，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，为随机事件，
∴B选项不合题意，
∵若a2=b2，则a=b或a=−b，为随机事件，
∴C选项不合题意，
∵两个相等的数的平方相等，
∴如果a=b，那么a2=b2为必然事件，
∴D选项符合题意，
故选：D．
根据必然事件的概念即可得出答案．
本题主要考查必然事件的概念，关键是要牢记必然事件的概念．
3.【答案】D
【解析】解：如图，由图象可知A′(−2,1)．
故选：D．
利用图象法解决问题即可．
本题考查坐标与图形变化−旋转，解题的关键是学会用图象法解决问题．
4.【答案】B
【解析】解：如图，
∵⊙O的内接正六边形ABCDEF的周长为24，
∴边长为4；
×360°=60°，且OA=OB，
∵∠AOB=1
6
∴△OAB为等边三角形，
∴OA=AB=4，
即该圆的半径为4，
故选：B．
根据正六边形的周长是24求出其边长，再根据等边三角形的性质即可得出结论．
本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的性质是解答此题的关键．
5.【答案】A
【解析】】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，已知阻力和阻力臂分别是2400N和1m，∴动力F(单位：N)关于动力臂l(单位：m)的函数解析式为：2400×1=Fl，
则F=2400
，是反比例函数，A选项符合，
l
故选：A．
直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而将已知量据代入得出函数关系式，从而确定
其图象即可．
此题主要考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵A(−1,0)，抛物线的对称轴为直线x=1，
∴点B(3,0)，
∴抛物线的表达式为：y=(x+1)(x−3)=x2−2x−3，
∴a=2，故A选项不符合题意；
令x=0，y=−3，则C的坐标为(0,−3)，故B选项不符合题意；
∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴顶点D的坐标为(1,−4)，故C选项不符合题意；
∵抛物线对称轴为直线x=1，开口向上
∴当x>1时，y随x的增大而增大，
而当x>0时，y随x的增大而先减小后增大，故D选项符合题意．
故选：D．
由抛物线过A(−1,0)，抛物线的对称轴为直线x=1，写出B的坐标，再由交点式写出解析式即可答案．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟悉二次函数的对称性以及交点式是解决此题的关键．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程根的判别式．解决本题的关键是能正确计算根的判别式．本题易忽略二次项系数不为0．
因为一元二次方程有实数根，所以Δ≥0且k−2≠0，求解即可．
【解答】
解：∵关于x的一元二次方程(k−2)x2+4x+2=0有实数根，
∴Δ≥0且k−2≠0，
即42−4(k−2)×2≥0且k−2≠0
解得k≤4且k≠2．
8.【答案】B
【解析】解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF=90°，ED=2m，FD=8m；
∵∠E+∠F=90°，∠E+∠ECD=90°，
∴∠ECD=∠F，
∴△EDC∽△FDC，
∴ED
DC =DC
FD
，即DC2=ED⋅FD=2×8=16，
解得CD=4m．故选：B．
根据题意，画出示意图，易得：△EDC∽△FDC，进而可得ED
DC =DC
FD
，即DC2=ED⋅FD，
代入数据可得答案．
本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．9.【答案】B
【解析】解：设平均每节课一人教会x人，根据题意可得：
1+x+x(1+x)=36，
即：(x+1)2=36，
故选：B．
设平均每节课一人教会x人，根据题意表示出两节课教会的人数，进而得出答案．
此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意表示出两节课教会的人数是解题关键．10.【答案】A
【解析】解：过P作PQ//AB，与BC交于点Q，如图，
∵二次函数y=−5
4
(x+1)(x−4)的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，
∴A(−1,0)，B(4,0)，C(0,5)，
设BC 的解析式为：y =mx +n(m ≠0)，
则{n =54m +n =0
， 解得：{m =−54n =5
∴BC ：y =−54x +5，
设P(t,−54(t +1)(t −4))，则Q(t 2−3t,−54(t +1)(t −4))，
∴PQ =−t 2+4t ，
∵PQ//AB ，
∴△PQK∽△ABK ，
∴PK AK =PQ AB =−t 2+4t 4−(−1)=−15t 2+45t ， ∵−15<0， ∴当t =−
452×(−15)=2时，PK AK 有最大值为−15×22+45×2=45， ∴AK PK 有最小值54
， ∴
AK+PK PK =5+44=94， ∴AP PK =94
． 故选：A ．
过P 作PQ//AB ，与BC 交于点Q ，则三角形相似得PK AK =PQ AB ，设P(t,−54(t +1)(t −4))，从而得PQ AB 关于t 的解析式，再根据二次函数的性质求得AP PK 的最大值，从而求PK AP 的最小值，从而得出结论．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定，二次函数的最值的求法，关键是构造相似三角形，把线段的比值的最大值转化为二次函数的最大值进行解答，体现了转化思想．
11.【答案】12π
【解析】解：圆锥的侧面积=2π×3×4÷2=12π．
故答案为：12π．
圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底
面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
12.【答案】3
4
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=8，
则sinB=AC
AB =6
8
=3
4
，
故答案为：3
4
．
根据余弦的定义计算即可．
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦是解题的关键．
13.【答案】0<y≤2
【解析】解：∵反比例函数的解析式为y=−2
x
，−2<0，
∴图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，
x=−1时，y=2，
∴当x≤−1时，0<y≤2．
故答案为：0<y≤2．
根据反比例函数的性质得图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，而当x=−1时，y=2，所以当x≤−1时，0<y≤2．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式．
14.【答案】2√3
【解析】解：如图，连接OB．
∵CD是直径，CD⊥AB，
∴AE=EB，
∵∠DOB=2∠DCB=60°，
∴BE=OB⋅sin60°=2×√3
2
=√3(cm)，
∴AB=2√3(cm)，
故答案为：2√3．
如图，连接OB.利用垂径定理证明AE=EB，解直角三角形求出BE，可得结论．
本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形；能根据垂径定理求出BE和解直角三角形求出OB长是解此题的关键，难度适中．
15.【答案】1
2
【解析】解：如图，∵E、F、G、H分别是线段AD，AB，BC，CD的中点，
∴EH、FG分别是△ACD、△ABC的中位线，EF、HG分别是△ABD、△BCD的中位线，
根据三角形的中位线的性质知，EF//BD，GH//BD且EF=1
2BD，GH=1
2
BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴EF⊥FG
∴四边形EFGH是矩形，
∴四边形EFGH的面积=EF⋅FG=1
4
AC⋅BD，
∵四边形ABCD=1
2
AC⋅BD，
∴这一点落在图中阴影部分的概率为四边形EFGH
四边形ABCD =1
2
．
故答案为：1
2
．
先由三角形的中位线定理推知四边形EFGH是平行四边形，然后由AC⊥BD可以证得平行四边形EFGH是矩形．
本题主要考查了几何概率，中点四边形，解题时，利用三角形中位线定理判定四边形EFGH是平行四边形是解题的关键．
16.【答案】28
【解析】解：如图，分别过点D，点F作BC的垂线，垂足分别为点N，点M，
∴DN//FM，
∴CF：CD=FM：DN，
设OA=a，OC=b，
∴A(a,0)，C(0,b)，B(a,b)，
∵点E在CB的延长线上，
∴点E的纵坐标为b，
∵反比例函数y=k
x
(x>0)过B点，
∴k=ab，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AC//DE，
∴点D的纵坐标为2b，
∴DN=b，
∵FM=3
4
b，
∴点F的纵坐标为7
4
b，
∵点F在反比例函数y=k
x
(x>0)上，
∴F(4
7a,7
4
b)，
∴BM=3
7
a，∵S△ABF=6，
∴1
2⋅3
7
a⋅b=6，
解得ab=28，即k=28．
故答案为：28．
分别过点D，点F作BC的垂线，垂足分别为点N，点M，设OA=a，OC=b，则可以表达点E，点D的纵坐标，进而可表达点F的坐标，根据S△ABF=6可求出k的值．
本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，平行四边形的性质，设出关键点的坐标，并根据几何关系消去参数的值是本题解题关键．
17.【答案】解：原式=2×1
2−3×1×√2
2
+4×1
2
=1−3√2
2
+2
=3−3√2
2
．
【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
18.【答案】解：如图，设△ABC的内切圆⊙O半径是r，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，切点是D、E、F，
∵∠ACB=90°，BC=3，AC=4，
∴BA=√BC2+AC2=√9+16=5，
则OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB，OD=OE=OF=r，
∵AC=4，BC=3，AB=5，
根据三角形的面积公式得：S△ACB=S△OAC+S△OBC+S△OAB，
∴AC×BC=AC×r+BC×r+AB×r，即：3×4=3r+4r+5r，
∴r=1，
∴内切圆半径为1．
【解析】设内切圆⊙O半径是r，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，根据三角形的面积公式得出S△ACB=S△OAC+S△OBC+S△OAB，代入求出即可解．
本题主要考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质和三角形的面积等知识点的理解和掌握，能得出S△ACB=S△OAC+S△OBC+S△OAB是解此题的关键．
19.【答案】解：(1)如图所示，△ADE即为所求；
(2)如图，延长BC，ED，交于点F，
由旋转可得，△ABC≌△ADE，
∴∠E=∠ACB，∠CAE=120°，
∵∠ACB+∠ACF=180°，
∴∠E+∠ACF=180°，
∴四边形ACFE中，∠F=360°−∠CAE−(∠ACF+∠E)=360°−120°−180°=60°，∴直线BC与直线DE相交的锐角的度数为60°．
【解析】(1)依据三角形ABC绕点A逆时针旋转120°，即可得到三角形ADE；
(2)依据旋转的性质，即可得到∠E=∠ACB，∠CAE=120°，再根据四边形内角和进行计算，即可得到直线BC与直线DE相交的锐角的度数．
本题主要考查了旋转的性质以及利用旋转变换作图，旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
20.【答案】180126°
【解析】解：(1)根据题意得：54÷30%=180(人)，
答：这次被调查的学生共有180人；
故答案为：180；
(2)根据题意得：
扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为360°×(1−20%−15%−30%)= 126°，
其对应人数为180−(36+54+27)=63(人)，
补全图形如下：
(3)列表如下：
甲乙丙丁
甲一(乙，甲)(丙，甲)(丁，甲)
乙(甲，乙)一(丙，乙)(丁，乙)
丙(甲，丙)(乙，丙)一(丁，丙)
丁(甲，丁)(乙，丁)(丙，丁)一
∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，
∴P
(选中甲、乙)=2
12
=1
6
．
(1)根据跳水的人数和跳水所占的百分比即可求出这次被调查的学生数；
(2)用360°乘以篮球的学生所占的百分比即可得出其对应圆心角度数，根据四个项目人数之和等于总人数可求出其人数，从而补全图形；
(3)首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：(1)B(−1,−4)在反比例函数y =k x 的图象上，
∴k =(−1)×(−4)=4，
∴反比例函数的表达式为y =4x ，
∵点A(2,m)也在反比例函数y =k x 的图象上，
∴m =42=2， 即A(2,2)，
把点A(2,2)，点B(−1,−4)代入一次函数y =ax +b 中，
得{2a +b =2−a +b =−4
， 解得{a =2b =−2
， ∴一次函数的表达式为y =2x −2；
故反比例函数解析式为y =4x ，一次函数得到解析式为y =2x −2；
(2)在y =2x −2中，当x =0时，得y =−2，
∴直线y =2x −2与y 轴的交点为C(0,−2)，
∴S △AOB =12×2×2+12×2×1=3．
【解析】(1)把点B 坐标代入反比例函数求出k 的值，也就求出了反比例函数解析式，再把点A 的坐标代入反比例函数解析式求出m 的值，得到点A 的坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
(2)先求出直线与y 轴的交点坐标，从而y 轴把△AOB 分成两个三角形，结合点A 、B 的横坐标分别求出两个三角形的面积，相加即可．
本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，待定系数法求函数解析式，此类题目的求解一般都是先把已知点的坐标代入反比例函数表达式求出反比例函数解析式，然后再求一次函数解析式，难度中等．
22.【答案】解：(1)∵y=−2
25
(x−5)2+4，∴抛物线的顶点B的坐标为(5,4)，
对称轴为直线x=5，
当x=0时，y=−2
25×(−5)2+4=−2
25
×25+4=2，
∴抛物线与y轴的交点坐标坐标为(0,2)，
当y=0时，−2
25
(x−5)2+4=0，
解得：x1=5−5√2，x2=5+5√2，
∴抛物线与x轴的交点为(5−5√2,0)和(5+5√2,0)；
(2)根据(1)与点(0,2)关于对称轴的对称点(10,2)也在抛物线上，
函数的大致图象如图所示：
(3)能，理由：
由(1)知y=0时，x=5+5√2或x=5−5√2，
∴该男生可掷出5+5√2米，
∵5+5√2>11，
∴铅球推出的距离能达到11m，
∴该男生投掷实心球的成绩能得满分．
【解析】(1)根据二次函数的解析式确定出顶点坐标，对称轴，与坐标轴的交点，在直角坐标系中描出这些点，
(2)由(1)可用五点作图法，画出二次函数的大致图象；
(3)令y=0，解关于x的一元二次方程，求出方程的正数解，即可判断铅球推出的最大距离．
本题考查二次函数在实际问题中的应用，关键是根据已知信息，确定二次函数图象上的关键点，画出二次函数的大致图象．
23.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠CDB=∠ADB=45°．
在△ADG和△CDG中，
{AD=CD
∠ADG=∠CDG DG=DG
，
∴△ADG≌△CDG(SAS)．(2)∵△ADG≌△CDG，
∴∠DCG=∠DAG，AG=CG．∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB=∠DAB=90°．
∴∠BCG=∠EAG．
∵BC//AF，
∴∠BCG=∠F．
∴∠EAG=∠F．
∵∠EGA=∠AGF，
∴△AEG∽△FAG．
解：(3)∵△AEG∽△FAG，
∴EG
AG =AG
GF
．
∴AG2=EG⋅GF=9，
∴AG=3．
∵CG=AG，
∴CG=3．
【解析】(1)利用正方形的性质得到AD=CD，∠CDG=∠ADG=45°，利用边角边公理即可得出结论成立；
(2)由(1)的结论可得∠DCG=∠DAG，利用等角的余角相等和平行线的性质可得∠GAE=∠F，利用两个对应相等的两个三角形相似可以判定结论成立；
(3)利用(2)的结论，根据相似三角形对应边成比例可求AG的长，利用CG=AG，结论可得．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，利用正方形的各边相等，各角为直角，对角线平分每组对角的性质解答是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠OAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD//AC，
∵AE⊥DE，
∴OD⊥DE，
∵OD为半径，
∴DE是⊙O切线；
(2)∵OD//AC，
∴△ACF∽△DHF，
∴DH
AC =DF
AF
=1
3
，
∵∠CAD=∠BAD，
∴CD⏜=BD⏜，
∴CH=BH，
∵AO=OB，
∴OH=1
2
AC，
∵CF⊥AE，DE⊥AE，∴CF//DE，
∴△ACF∽△AED，
∴CF
DE =AF
AD
=6
8
=3
4
，
设CF=3k，DE=4k，∴CH=4k，
∴BC=8k，
∴BF=5k，
∴AF⋅DF=CF⋅BF，
∴12=15k 2，
∴k =2√55
， ∴DE =CH =8√55
， ∴AE =√AD 2−D 2=
16√55， ∵DH =13AC ，
∴DH =14AE =
4√55， ∴CE =DH =
4√55， ∴AC =12√55
， ∴OH =12AC =
6√55， ∴OD =OH +DH =2√5，
∴⊙O 的半径为2√5．
【解析】(1)连接OD ，推出OD//AE ，推出OD ⊥DE ，根据切线判定推出即可；
(2)根据相似三角形的性质得到DH AC =DF AF =13，根据三角形的中位线的性质得到OH =12AC ，
根据相似三角形的性质得到CF DE =AF AD =68=34，设CF =3k ，DE =4k ，得到CH =4k ，
BC =8k ，BF =5k ，根据相交弦定理得到k =
2√55，求得DE =CH =8√55，根据勾股定理得到AE =√AD 2−D 2=16√55，即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，相交弦定理，勾股定理，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：(1)把P(0,−1)代入解析式得：c =−1，
∴y =ax 2+bx −1，
又∵抛物线与x 轴只有一个公共点，
∴△=b 2+4a =0，即a =−b 24， ∴a +b =−b 24+b =−14(b −2)2+1， ∴当b =2时，a +b 有最大值为1；
(2)①∵抛物线与x 轴只有一个公共点，
∴抛物线上的点在x 轴的同一侧或x 轴上，
∴抛物线上的点为P 1，P 3，
又∵P 1(−2,−1)，P 3(2,−1)关于y 轴对称，
∴顶点为原点(0,0)，
设解析式为y =ax 2，
把P 1(−2,−1)代入得：−1=4a ，
解得a =−14
∴抛物线的解析式为y =−14x 2；
②如图：
设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，
由{y =kx −1y =−14x
2得14x 2+kx −1=0， ∴x 1、x 2是14x 2+kx −1=0的二实数根，
∴x 1+x 2=−4k ，x 1⋅x 2=−4，
∴(x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1⋅x 2=16k 2+16，
(y 1−y 2)2=[(kx 1−1)−(kx 2−1)]2=k 2(x 1−x 2)2=16k 4+16k 2，
∴MN =√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√16k 2+16+16k 4+16k 2=4(k 2+1)， ∵MN 中点是点C ，
∴C(x 1+x 22,y 1+y 2
2)，
而x 1+x 2=−4k ，y 1+y 2=kx 1−1+kx 2−1=k(x 1+x 2)−2=−4k 2−2， ∴C(−2k,−2k 2−1)，
∵过C 做x 轴垂线交直线y =1于点Q ，
∴Q(−2k,1)，
∴QC =1−(−2k 2−1)=2(k 2+1)，
∴QC=1
MN=MC=NC，
2
∴∠CQM=∠CMQ，∠CQN=∠CNQ，
又∠CQM+∠CMQ+∠CQN+∠CNQ=180°，
∴2∠CQM+2∠CQN=180°，
∴∠CQM+∠CQN=90°，即∠MQN=90°，
∴MQ⊥NQ．
【解析】(1)将点P的坐标代入解析式中，由抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点得出a和b的关系式，即可求出a+b的最大值；
(2)①由题意得出抛物线与x轴只有一个交点，所以抛物线上的点在x轴同一侧，即两点只能为P1，P3，即可求出抛物线的解析式；
②设M(x1,y1)，N(x2,y2)，可得x1+x2=−4k，x1⋅x2=−4，MN=4(k2+1)，而MN
MN=MC=NC，中点是点C，可得C(−2k,−2k2−1)，QC=2(k2+1)，即得QC=1
2
从而∠CQM=∠CMQ，∠CQN=∠CNQ，故∠MQN=90°，MQ⊥NQ．
本题考查了抛物线与x的交点，二次函数的性质，待定系数法，一元二次方程根与系数的关系等知识，熟练掌握二次函数的性质、一元二次方程根与系数关系的应用是解题的关键．。