学案1：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习目标
1．知识与技能
以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用．
2．过程与方法
经历二倍角公式的探究过程，培养分析问题和解决问题的能力，并体会化归与转化的思想方法．
3．情感、态度与价值观
通过对二倍角公式的探究学习，培养探索精神和应用意识，体会数学的科学价值和应用价值，不断提高自身的文化修养．
学习重点、难点
重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式．
难点：二倍角的理解及其灵活运用．
学习过程
知识点1：二倍角的正弦、余弦、正切公式
问题导思
在公式C(α＋β)，S(α＋β)，T(α＋β)中，若α＝β公式还成立吗？
总结
二倍角的正弦、余弦、正切公式
知识点2：正弦、余弦的二倍角公式的变形
1.余弦的二倍角公式的变形
2．正弦的二倍角公式的变形
(1)sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α
. (2)1±sin 2α＝(sin α±cos α)2.
例1.求下列各式的值：
(1)cos π5cos 2π5；(2)12－cos 2π8
； (3)2tan 150°1－tan 2150°
；(4)sin 10°sin 50°sin 70°.
规律方法
对于给角求值问题，一般有两类：
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角．
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
例2.已知sin(π4－x )＝513，0<x <π4，求cos 2x cos （π4
＋x ）的值．
规律方法
1．条件求值问题常有两种解题途径：(1)对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；(2)对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．
2．当遇到π4
±x 这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通． 例3.(1)化简：1＋cos 2θ－sin 2θ1－cos 2θ－sin 2θ
； (2)化简：1＋sin 10°－1－sin 10°
规律方法
1．对于三角函数式的化简有下面的要求：(1)能求出值的应求出值．(2)使三角函数种数尽量少．(3)使三角函数式中的项数尽量少．(4)尽量使分母不含有三角函数．(5)尽量使被开方数不含三角函数．
2．化简的方法：
(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角．
(2)降幂或升幂．
(3)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin2θ.
课堂小结
1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：
8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6
的二倍；α2n ＝2 ·α2
n ＋1(n ∈N *)． 2．二倍角余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角余弦公式的常用形式：
①1＋cos 2α＝2cos 2α，②cos 2α＝1＋cos 2α2，③1－cos 2α＝2sin 2α，④sin 2 α＝1－cos 2α2
. 课堂检测
1.12
sin 15°cos 15°的值等于( ) A.14 B.18
C.116
D.12
2．下列各式中，值为32
的是( ) A ．2sin 15°－cos 15°
B ．cos 215°－sin 215°
C ．2sin 215°－1
D ．cos 215°＋sin 215°
3．已知tan α＝12
，则tan 2α＝__________. 4．若tan(α＋π4)＝3＋22，求1－cos 2αsin 2α
的值．
参考答案
学习过程
知识点1：二倍角的正弦、余弦、正切公式
问题导思
成立
例1.解：(1)原式＝2sin π5cos π5cos 2π52sin π5＝sin 2π5cos 2π52sin π5＝sin 4π54sin π5＝sin π54sin π5
＝14. (2)原式＝1－2cos 2π82＝－2cos 2π8－12＝－12cos π4＝－24
. (3)原式＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3.
(4)原式＝cos 20°cos 40°cos 80°＝
2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°2sin 20°＝18·sin 160°sin 20°＝18
. 例2.解：∵0<x <π4，∴π4－x ∈(0，π4)． 又∵sin(π4－x )＝513，∴cos(π4－x )＝1213
. 又cos 2x ＝sin(π2－2x )＝2sin(π4－x )cos(π4－x )＝2×513×1213＝120169
， cos(π4＋x )＝sin[π2－(π4＋x )]＝sin(π4－x )＝513
， ∴原式＝120169513＝2413
. 例3.解：(1)1＋cos 2θ－sin 2θ1－cos 2θ－sin 2θ＝2cos 2θ－2sin θcos θ2sin 2θ－2sin θcos θ＝2cos θ（cos θ－sin θ）2sin θ（sin θ－cos θ）
＝－1tan θ， ∴原式＝－1tan θ
. (2)1＋sin 10°－1－sin 10°
＝1＋2sin 5°cos 5°－1－2sin 5°cos 5°
＝（cos 5°＋sin 5°）2－（cos 5°－sin 5°）2
＝(cos 5°＋sin 5°)－(cos 5°－sin 5°)
＝2sin 5°.
∴原式＝2sin 5°.
课堂检测
1.B
【解析】原式＝14sin 30°＝18
. 2.B
【解析】A ：2sin 15°－cos 15°≠32， B ：cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32， C ：2sin 215°－1＝－cos 30°＝－32
， D ：cos 215°＋sin 215°＝1.故选B. 3.43
【解析】tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－14＝43. 4．解:由tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝3＋22，∴tan α＝22
， ∴1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α＝tan α＝22.。