多面手问题(解析版)排列组合题型全归纳 专题11

专题11多面手问题
【方法技巧与总结】
解含有约束条件的排列组合问题，即多面手问题，可元素的性质进行分类，接事件发生的连续过程分步，做到标准明确．分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定，要贯穿于解题过程的始终．【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（）种不同的选法．A ．675B ．575C ．512D ．545
【答案】A
【解析】根据题意可按照只会跳舞的2人中入选的人数分类处理．
第一类2个只会跳舞的都不选，则从既能唱歌又能跳舞的5人中选择3人来跳舞，接着从剩余的5人中选择
3人唱歌，故有33
55C C 100⋅=种；
第二类2个只会跳舞的有1人入选，有12C 种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择2人来跳舞，有2
5C 种，
再从剩余的6人中选择3人唱歌，有36C 种，故有123
256C C C 400⋅=种；
第三类2个只会跳舞的全入选，有2
2C 种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择1人来跳舞，有1
5C 种，再
从剩余的7人中选择3人唱歌，有37C 种，有213
257C C C 175⋅=种，
所以共有100400175675++=种不同的选法，故选：A ．
例2．（2023·全国·高三专题练习）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（）种不
同的选法A ．225B ．185C ．145D ．110
【答案】B
【解析】根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类．①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有4454C C 种；②“2人既会英语又会法语”中有一人入选，这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，
因此有134413
2
54524C C C C C C +种；③“2人既会英语又会法语”中两个均入选，
这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，
因此有2244221313
2545242
514C C C C C C C C C C ++种．综上分析，共可开出441344132244221313
542
545242545242514185C C C C C C C C C C C C C C C C C C +++++=种．故选：B ．
例3．（2023·全国·高三专题练习）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（）
A ．26种
B ．30种
C ．37种
D ．42种
【答案】C
【解析】根据题意，设{A =只会划左桨的3人}，{B =只会划右桨的3人}，{C =既会划左桨又会划右桨的2人}，据此分3种情况讨论：
①从A 中选3人划左桨，划右桨的在（B C ⋃）中剩下的人中选取，有3
5C 10=种选法，
②从A 中选2人划左桨，C 中选1人划左桨，划右桨的在（B C ⋃）中选取，有213
324C C C 24=种选法，
③从A 中选1人划左桨，C 中2人划左桨，B 中3人划右桨，有1
3C 3=种选法，
则有1024337++=种不同的选法．故选：C ．
例4．（2023·全国·高三专题练习）某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（）
A ．56种
B ．68种
C ．74种
D ．92种
【答案】D
【解析】根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方法有3
3
36C C 种，有一个“多面手”的选派方法有1
2
3
235C C C 种，有两个“多面手”的选派方法有1
3
34C C 种，即共有
3312313362353492C C C C C C C ++=(种)不同的选派方法．
故选：D
例5．（2023春·湖北十堰·高二统考期末）某龙舟队有8名队员，其中3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨.现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（
）
A ．26种
B ．30种
C ．37种
D ．42种
【答案】C
【解析】根据题意，设{A =只会划左桨的3人}，{B =只会划右桨的3人}，{C =既会划左桨又会划右桨的2人}，
据此分3种情况讨论：
①从A 中选3人划左桨，划右桨的在()B C 中剩下的人中选取，有3510C =种选法，
②从A 中选2人划左桨，C 中选1人划左桨，划右桨的在()B C 中剩下的人中选取，有213
32
424C C C =种选法，③从A 中选1人划左桨，C 中2人划左桨，B 中3人划右桨，有1
33C =种选法，
则有1024337++=种不同的选法；
故选：C．
例6．（2023春·安徽六安·高二六安一中阶段练习）在11名工人中,有5人只当钳工,4人只当车工,另外2人既会钳工又会车工，现从11人中选出4人当钳工,4人当车工,则共有（）种不同的选法.
A．120B．125C．180D．185
【答案】D
【解析】按即会钳工又会车工的2人分类：
2人都不选的情况有4454
C C种，
只选1人且当钳工的情况有134
254
C C C种，
只选1人且当车工的情况有143
254
C C C种，
选2人其中1人钳工1人车工的情况有233
254
A C C种，
选2人都当钳工的情况有24
54
C C种，
选2人都当车工的情况有42
54
C C种，
由分类加法原理得选法有441341432332442
542542542545454
C C+C C C+C C C+A C C+C C+C C=185种.
故选：D.
例7．（2023春·宁夏·高二宁夏长庆高级中学校考期中）某公园有P，Q，R三只小船，P船最多可乘3人，Q船最多可乘2人，R船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为
A．36种B．33种C．27种D．21种
【答案】C
【解析】第一类，P船两大人一小孩，Q船一大人一小孩：有21
326
C C⋅=种方法.第二类，P船一大人两小孩，Q船两大人：有233
C=种方法.
第三类，P船一大人两小孩，Q船一大人，R船一大人：有336
A=种方法.
第四类，P船一大人一小孩，Q船一大人一小孩，R船一大人：有31
3212
A C=种方法.
根据分类加法计数原理，共有6361227
+++=种不同的方法.故选C.
考点：排列、组合、分类加法计数原理.
例8．（2023·全国·高三专题练习）有6名学生，其中有3名会唱歌，2名会跳舞，1名既会唱歌又会跳舞，现从中选出2名会唱歌的，1名会跳舞的，去参加文艺演出，求所有不同的选法种数为
A．18B．15C．16D．25
【答案】B
【解析】4名会唱歌的从中选出两个有246
C=种,3名会跳舞的选出1名有3种选法,但其中一名既会唱歌又会跳舞的有一个,两组不能同时用他,∴共有36315
⨯-=种，故选B.
例9．（2023秋·河南南阳·高二校考阶段练习）我校去年11月份，高二年级有9人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余4人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3
人跳舞，有______种不同的选法【答案】216
【解析】根据题意可按照只会跳舞的2人中入选的人数分类处理.
第一类：2个只会跳舞的都不选，有33
44C C 16⋅=种;
第二类：2个只会跳舞的有1人入选，有123
245C C C 120⋅⋅=种;
第三类：2个只会跳舞的全入选，有213
246C C C 80⋅⋅=种,
所以共有216种不同的选法,故答案为：216.
例10．（2023春·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨.现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有__________种.【答案】37
【解析】第一类：参加比赛的6人中没有会划左右桨的，共有33
33C C 1=种，
第二类：参加比赛的6人中有1人会划左右桨的，共有132
2332C C C 12=种，
第三类：参加比赛的6人中有2人会划左右桨的，
共有1322
33332C C 2C C 24+=种，
则共有1122437++=种.故答案为：37
例11．（2023秋·辽宁朝阳·高三校考期中）现有7名志愿者，其中只会俄语的有3人，既会俄语又会英语的有4人.从中选出4人担任“一带一路”峰会开幕式翻译工作，2人担任英语翻译，2人担任俄语翻译，共有_______种不同的选法．【答案】60
【解析】因为英语翻译只能从多面手中选，所以有
（1）当选出的多面手2人从事英语翻译，没人从事俄语翻译，所以有22
4318C C =种选法；
（2）当选出的多面手2人从事英语翻译，1人从事俄语翻译，所以有121
34236C C C =种选法；
（3）当选出的多面手2人从事英语翻译，2人从事俄语翻译，所以有246C =种选法；共有18+36+6=60种选法．
例12．（2023·上海·高三专题练习）6名男生4名女生共10人，要从这10个人中选出3人共同去完成某项任务，要求这3人中至少要有1个女生，则不同的选法有_________种.【答案】100
【解析】由题意，从10个人中抽取3人所包含的基本事件个数为3101098
120321
C ⨯⨯=
=⨯⨯，
从6个男生中抽取3人所包含的基本事件个数为3
6654
20321
C ⨯⨯=
=⨯⨯，
所以这3人中至少要有1个女生所包含的基本事件个数为：33
10612020100C C -=-=.
故答案为：100.
例13．（2023秋·海南·高二海南华侨中学校考期末）6名学生，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，剩下1人既会唱歌又会跳舞，选出2人唱歌2人跳舞，共有______种不同的选法.（请用数学作答）【答案】12
【解析】根据既会唱歌又会跳舞的那1个人未选中，选中唱歌，选中跳舞分类：
22211232323212C C C C C C ++=．
故答案为：12.
例14．（2023春·四川广安·高二四川省武胜烈面中学校校考期中）6名工人，其中2人只会电工，3人只会木工，还有1人既会电工又会木工，选出电工2人木工2人，共有______种不同的选法．【答案】12
【解析】由题意可对选出的电工2人木工2人分类：
①既会电工又会木工1人没入选，有22
233C C =种选法；
②既会电工又会木工1人入选充当电工，有12
236C C =种选法；
③既会电工又会木工1人入选充当木工，有21
233C C =种选法；
综上，共有36312++=种选法．故答案为：12．
例15．（2023春·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期中）在一次演唱会上共10名演员，其中8人能唱歌，5人会跳舞，现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有___________种选派方法（填数字）.
【答案】199
【解析】设既会唱歌又会跳舞的演员人数为x ，则8510x +-=，解得3x =，所以，只会唱歌的演员人数为5，只会跳舞的演员人数为2，
①若既会唱歌又会跳舞的演员一个人都没选，则不同的选派方法种数为22
52C C 10=；
②若既会唱歌又会跳舞的演员只选了1个人，则这个人要么唱歌，要么伴舞，此时，不同的选派方法种数为()1
1
2
2
1
35252C C C C C 75+=；
③若既会唱歌又会跳舞的演员选了2个人，则这2个人可以同时唱歌、同时伴舞或1人唱歌1人伴舞，此时，不同的选派方法种数为()2
2
2
1
1
35252C C C 2C C 93++=；
④若既会唱歌又会跳舞的演员全选，则这3个人有2人唱歌1人伴舞或2人伴舞1人唱歌，
此时，不同的选派方法种数为2121
3235C C C C 21+=.
综上所述，不同的选派方法种数为10759321199+++=.故答案为：199.
例16．（2023春·山西·高二临汾第一中学校校考期中）某公园现有甲、乙、丙三只小船，甲船可乘3人，乙船可乘2人，丙船可乘1人，今有三个成人和2个儿童分乘这些船只(每船必须坐人)，为安全起见，儿童必须由成人陪同方可乘船，则分乘这些船只的方法有______种（用数字作答）.
【答案】18
【解析】一个大人带两个儿童时，大人的选法有3种，故方法数有2
236A ⨯=种.两个大人各带一个儿童时，
先排好大人，再排小孩，方法数有32
3212A A ⨯=种.故总的方法数有61218+=种.
例17．（2023·高二课时练习）有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其他5人既会划左舷又会划右舷，现要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，有多少种不同的选法？
【解析】设集合A ={只会划左舷的3人}，B ={只会划右舷的4人}，C ={既会划左舷又会划右舷的5人}.先分类，以集合A 为基准，选择划左舷的3个人，有以下几类情况.
①从A 中选3人；②从A 中选2人，C 中选1人；③从A 中选1人，C 中选2人；④从C 中选3人.对于①，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在集合B ，C 中选3人，有3
3
39C C 种选法，同理可得②③④的
选法种树分别为213358C C C ，123357C C C ，033356C C C .故不同的选法种树为33213123033
393583573562174C C C C C C C C C C C +++=.
故答案为：2174
例18．（2023·二年级单元测试）某公园有P,Q,R 三只小艇,P 艇最多可乘3人,Q 艇最多可乘2人,R 艇只能乘1人,现在3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小艇,规定有小孩的艇必须有大人,共有多少种不同的乘艇方法?
【解析】乘艇方法可分为两类:①乘坐R 艇,则方法有()1
1
1
1
3212C ·C ·C C 118+=(种),②不乘坐R 艇,则方法有
11211223221322C ·C ·C C C C C 639+=+=(种),利用分类计数加法原理求解即可.
详乘艇方法可分为两类:①乘坐R 艇,则方法有1111
3212C ·C ·C (C +1)=18(种)1
3.C 为选出1个大人坐R 艇的方法
数,1121C C 为另外两个大人乘P,Q 艇,括号内1
2C +1为2个小孩乘P,Q 艇的方法数.②不乘坐R 艇,则方法有
11211223221322C ·C ·C C C C C +=6+3=9(种).其中11213221C ·C ·C C 表示从3个大人中选1人坐Q 艇,从2个小孩中选1个坐Q
艇,且另外2个大人及1个小孩乘P 艇122
322.C C C 表示从3个大人中选1个坐P 艇,2个小孩乘P 艇,另外2个大人坐Q 艇.故不同的乘艇方法有18+9=27(种).
例19．（2023春·上海闵行·高二闵行中学校考期中）在一次演唱会上共10名演员（每名演员都会唱歌或跳舞），其中7人能唱歌，6人会跳舞.（1）问既能唱歌又会跳舞的有几人？
（2）现要选出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有多少种选派方法？【解析】（1）设既能唱歌又会跳舞的有x 人，
∴(7)(6)103x x x x -++-=⇒=，∴设既能唱歌又会跳舞的有3人。

（1）由（1）得：有3人既能唱歌又会跳舞，4人只能唱歌，3人只会跳舞，
①只能唱歌选0人，22
3418=C C ，②只能唱歌选1人，112
435120C C C =，
③只能唱歌选2人，22
4690C C =，
∴有228种选派方法.
例20．（2023·全国·高三专题练习）有11名翻译人员，其中5名是英语翻译人员，4名是日语翻译人员，另2人英、日语均精通．现从中选出8人组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，则有多少种不同的选派方式？
【解析】考虑日语翻译的来源，可分为三类：
一是选全部4名只会日语翻译的人员，此时共有的选派方式有4
4
47C C 种;
二是从4名只会日语的翻译中选3名，另一名从即会英语又会日语的人员中选一名，此时共有的选派方式有3
1
4
426C C C 种，
三是从4名只会日语的翻译中选2名，另两名选即会英语又会日语的人员，此时共有的选派方式有2
2
4
425C C C 种，
因此根据分类加法原理可得，共有的选派方式有：44314224
474264253512030185C C C C C C C C ++=++=种.
例21．（2023春·山东烟台·高二烟台二中校考阶段练习）有11名外语翻译人员，其中5名英语翻译员，4名日语翻译员，另两名英，日语都精通，从中找出8人，使他们可以组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单共可开出几张？【解析】设两名英，日语都精通的人员为甲，乙，则根据题意可分为三类，
第一类：两名英，日语都精通的人员都不选，则有44
545C C =种；
第二类：两名英，日语都精通的人员只选1人，比如选甲，如果让甲去翻译英语，则有34
5410C C =种，如果让甲去翻译日语，则有4
3
54
20C C =种，所以总共有()1
2102060C +=种；
第三类：两名英，日语都精通的人员都选，如果两人都去翻译英语，则有24
5410C C =种，如果两人都去翻译
日语，则有425430C C =种，如果两人一个翻译英语，一个翻译日语，则有33
54280C C =种，所以总共有
103080120++=种，
综上，这样的8人名单共可开出560120185++=张.。