两种库存模型的经济批量公式及其应用

两种库存模型的经济批量公式及其应用
作者：汤茂林
来源：《商业时代》2009年第07期
中图分类号：F253.4 文献标识码：A
内容摘要：本文对多种商品库存经济批量公式和允许缺货时商品库存经济批量公式进行了研究，并且给出了这些公式在商品库存中的应用。

关键词：多种商品允许缺货库存模型经济批量公式
库存理论是为人们提供定量决策依据和有价值的定性指导的理论，是任何企业进行管理行之有效的方法。

库存系统一般包括三个主要内容，即存货状态、补充供给、需求，研究的基本问题是在满足需求时，如何补充供给的时间、数量、以使存货的费用达到极小。

本文主要讨论多种商品库存经济批量公式，允许缺货时商品库存经济批量公式及其应用。

多种商品库存经济批量公式
对于多种商品的库存问题，一般而言，若对订货周期，库存容量等都不受限制时，如何确定周期T，使其获得最佳经济批量Q，而库存总费用C为最低。

设有n种商品需要库存订货，di为第i种商品单位时间的需求量，T为第n种商品的订货周期，Qi为第i种商品一次订货量，且，为第i种商品单位商品单位时间的库存费用，C2为一次订货费用，yi为第i种商品单位时间库存费用，，n种商品单位时间库存费用总和为：。

若n种商品相同周期订货，故n种商品单位时间库存总费用为：（为平均单位时间订货费用）。

于是，由平均值不等式则有
当且仅当=，即时等号成立。

所以最优订货周期为（1）
最优订货批量为（2）
最低n种商品单位时间库存总费用为（3）
特别地，取n=1时，
；；例如1：某公司从一批发市场订购七种不同的商品，每次订购费用为200元，单位时间需求量分别是；160，400，225，200，600，175，240，单位商品单位时间库存费用均为30元，试求订货周期。

依题意可知，由公式（1）得
=0.082（年）
故最低费用的订货周期为0.98个月，即每月应订货一次。

允许缺货时商品库存经济批量公式
库存函数不仅仅只限于需求量是确定的，不允许缺货的情形，而有些销售部门常常允许在某种商品售完后，有一段时间缺货，因此，销售部门可以少付几次订货费用和库存费用。

但是，要支付一些因缺货带来的损失，即缺货成本。

如果少付费用大于支付成本，这时发生的缺货现象从销售部门盈利的角度看是有利的。

假设商品可以缺货（即发生缺货也不用补充），那么在一个周期内，每件商品的库存费为C1元，订货费为C2元，缺货商品的单位损失费为C3元，则商品的库存量可由图1表示；图1中M点的订货量为AE，均匀销售到B点，这时库存商品为零，从B点到N点为缺货，N点再订货，数量为 HF（即HF=AE），再继续销售，一直循环下去，试确定每批订货批量，订货周期，以及最低库存费用。

设每批订货量为Q，需求量为Q0，即AE=Q，AM=Q0缺货商品量为Q0-Q，又订货周期为T，即（其中d为单位时间的需求量），于是
，在上述假设条件下，周期T的库存费为y1，订货费为y2，缺货损失费为y3。

即（其中是△AEB的面积）
y2=C2，
（其中是△NFB的面积）
周期T的总费用为y1+y2+y3，从而单位时间的平均总费用为：
令
解方程组得
故允许缺货模型的订货周期，订货批量，库存费用分别为：
，从而（4）
（5）
（6）
（其中T*，Q*，C*分别为不允许缺货模型中的商品库存经济批量公式）。

例2 某商店出售某种品牌的电视机，产品订购单价每台1000元，单位库存成本为产品单价的20％，每次订购成本为100元，单位缺货成本为200元，预测每年销售1200台，试求不允许缺货和允许缺货时的订购批量和库存总成本。

解根据公式可得，不允许缺货时，
最优订购批量为：
=34.6≈35（台）
最低库存总成本为：
=6928.2（元）
允许缺货时，
最优订购批量为
≈25（台）
最低库存总成本为≈4899（元）
显然，允许缺货比不允许缺货时的总成本降低了。

参考文献：
1.汤茂林.经济批量公式在存贮问题中的应用.商业研究，2008.2
2.顾静相.经济应用数学.北京高等教育出版社，2004
作者简介：
汤茂林（1955-）男，湖北大冶人，武汉商业服务学院副教授，研究方向：数学教学与研究。