北师大版高中数学必修四13 数乘向量.docx

13 数乘向量
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分) 1．已知λ∈R ，则下列命题正确的是( ) A ．|λa |＝λ|a | B ．|λa |＝|λ|a C ．|λa |＝|λ||a | D ．|λa |>0 答案：C
解析：当λ<0时，|λa |＝λ|a |不成立，A 错误；|λa |是一个非负实数，而|λ|a 是一个向量，所以B 错误；当λ＝0或a ＝0时，|λa |＝0，D 错误．故选C.
2．如图，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD →
＝( )
A ．－BC →＋12BA →
B ．－B
C →－12
BA →
C.BC →－12BA →
D.BC →＋12
BA →
答案：A
解析：CD →＝CB →＋BD →＝－BC →＋12
BA →
.
3．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长
线交DC 于点F ，若AB →＝a ，AD ＝b ，则AF →
＝( )
A.13a ＋b
B.1
2
a ＋
b C ．a ＋13b D ．a ＋1
2
b
答案：A
解析：由已知条件可知BE ＝3DE ，∴DF ＝13AB ，∴AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋13AB →＝1
3
a ＋
b .
4．如图，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于点F .设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →
＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )
A.⎝⎛⎭⎫12，12
B.⎝⎛⎭⎫23，23
C.⎝⎛⎭⎫13，13
D.⎝⎛⎭⎫23，12 答案：C
解析：∵AD ＝DB ，AE ＝EC ，∴F 是△ABC 的重心，则DF →＝13
DC →，∴AF →＝AD →＋DF →＝AD
→
＋13DC →＝AD →＋13(AC →－AD →)＝23AD →＋13AC →＝13AB ＋13AC →＝13a ＋13b ，∴x ＝13，y ＝13
. 5．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →
＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )
A ．A ，
B ，D B ．A ，B ，
C C ．B ，C ，
D D ．A ，C ，D 答案：A
解析：因为BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →，所以AB →
与BD →向量共线，又因为AB →与BD →
有共点B ，所以A 、B 、D 三点共线．
6．已知向量a 、b 是两个非零向量，在下列四个条件中，能使a ，b 共线的条件是( ) ①2a －3b ＝4e ，且a ＋2b ＝－3e ；
②存在相异实数λ，μ，使λ a ＋μb ＝0；
③x a ＋y b ＝0(其中实数x 、y 满足x ＋y ＝0)；
④已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB →＝a ，CD →
＝b . A ．①②④ B ．①③ C ．②③④ D ．③④ 答案：A
解析：关键是对共线向量的理解．
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知点A 、B 、C 三点共线，且点O 是平面ABC 内任意一点，若OA →＝λOB →＋μOC →
，则λ＋μ＝________.
答案：1
8．已知x ，y 是实数，向量a ，b 不共线，若(x ＋y －1)a ＋(x －y )b ＝0，则x ＝________，y ＝________.
答案：12 12
解析：由已知得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y －1＝0x －y ＝0，解得x ＝y ＝1
2.
9．已知点P ，Q 是△ABC 所在平面上的两个定点，且满足P A →＋PC →＝0,2QA →＋QB →＋QC →
＝BC →，若|PQ →|＝λ|BC →
|，则正实数λ＝________.
答案：12
解析：由条件P A →＋PC →＝0，知P A →＝－PC →＝CP →，所以点P 是边AC 的中点．又2QA →＋QB →
＋QC →＝BC →，所以2QA →＝BC →－QB →－QC →＝BC →＋CQ →＋BQ →＝2BQ →，从而有QA →＝BQ →
，故点Q 是
边AB 的中点，所以PQ 是△ABC 的中位线，所以|PQ →|＝12|BC →
|，故λ＝12。

三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．设两个非零向量e 1与e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →
＝3(e 1－e 2)． 求证：(1)A 、B 、D 三点共线；
(2)试确定实数k 的值，使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线．
证明：(1)∵BD →＝BC →＋CD →＝5e 1＋5e 2＝5AB →
， ∴BD →∥AB →
，又AB 、BD 有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线．
(2)∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，∴存在实数λ使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，∴⎩⎪⎨⎪
⎧
k ＝λ1＝kλ
，∴k 2＝1，
∴k ＝±1.
11．如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211
AC →
，求实数
m 的值．
解：AP →＝AN →＋NP →＝14AC →＋NP →＝mAB →＋211
AC →，
∴NP →＝mAB →－344
AC →.
又NB →＝NC →＋CB →＝34AC →＋(AB →－AC →)＝AB →－14
AC →，
设NP →＝λNB →，则λAB →－14λAC →＝mAB →－344AC →
，∴m ＝λ＝311
.
12．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13
CB →
，Q 是BC 的中点，AQ 与CP
的交点为M ，若CM →＝tCP →
，则t 等于多少？
解析：∵A ，M ，Q 三点共线，∴CM →＝αCQ →＋βCA →
(α＋β＝1)， ∴CP →＝1t CM →＝αt CQ →＋βt CA →＝α2t CB →＋βt
CA →.
又∵CP →＝23CA →＋13CB →
，∴α＝2t 3，β＝2t 3，
∴α＋β＝2t 3＋2t 3＝1，∴t ＝3
4
.。