【推荐ppt】2019版高考数学一轮复习第六章数列第一节数列的概念及简单表示法课件文

A.不是数列{an}中的项 B.只是数列{an}中的第2项 C.只是数列{an}中的第6项 D.是数列{an}中的第2项或第6项
答案 D 令an=3,即n2-8n+15=3,解得n=2或6,故3是数列{an}中的第2项 或第6项.
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3.(2016北京东城一模)已知数列{an}的前n项和Sn=1-5+9-13+17-21+…+
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考点突破
2-1 (2016北京海淀期中)数列{an}的前n项和为Sn,若Sn-Sn-1=2n-1(n≥2),
且S2=3,则a1的值为 ( A )
A.0 B.1 C.3 D.5
答案 A ∵Sn-Sn-1=2n-1(n≥2), ∴S2-S1=2×2-1=3. ∴S1=S2-3. 又∵S2=3, ∴S1=3-3=0.
9
9
9
一
8 9
1
1 10n

个通项公式为an= .
(3)各项的分母分别为21,222,23,324,…,易看出第2,3,42,…1 项3 的22分 3子分23 别 3比分
2
21
22
23
母24 少 33,因此把第1项变为- ,则原数列可化为- 2,n 3,- ,
24,……,∴原数3列5 的7一9个通项公式为an=(-1)n· . 2n
5.(2015北京东城模拟)已知函数f(x)的对应关系如下表所示,数列{an}满
足a1=3,an+1=f(an),则a4=
,a2 = 015
.
x
1
2
3
f(x)
3
2
1
答案 1;3
解析 ∵a1=3,∴a2=f(a1)=f(3)=1,a3=f(a2)=f(1)=3, a4=f(a3)=f(3)=1,……,可知数列{an}是以2为周期的数列,∴a2 015=a1=3.
考点突破
方法指导 (1)根据所给数列的前几项求其一个通项公式时,需仔细观察分析,抓住 以下几方面的特征: ①分式中分子、分母的特征; ②相邻项的变化特征; ③拆项后的特征; ④各项符号特征. (2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法, 它蕴含着“从特殊到一般”的思想,由不完全归纳得出的结果是不可靠 的,要注意代值检验,对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.
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3.数列的表示法
数列有三种表示法,它们分别是⑦ 列表法 、⑧ 图象法 和 ⑨ 通项公式法 .
4.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与⑩ 序号n 之间的关系可以用一个式子来表 示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
5.已知数列{an}的前n项和Sn,
则an=
⑪ S1 (n 1), ⑫ Sn Sn1 (n
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2-2 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则an=
答案
1, n 1


1 2

3 2
n

2
,
n

2
考点突破
.
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解析 ∵Sn=2an+1,
Байду номын сангаас
∴当n≥2时,Sn-1=2an,
∴an=Sn-Sn-1=2an+1-2an(n≥2),
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2.数列的分类
分类原则
类型
按项数分类 有穷数列
无穷数列
按项与项间的大 递增数列 小关系分类
递减数列
常数列
按其他 标准分类
有界数列 摆动数列
满足条件 项数③ 有限 项数④ 无限 an+1⑤ > an
其中n∈N*
an+1⑥ < an an+1=an
存在正数M,使对于任意的n∈N*,都有|an|≤M 从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项
即 1 - 1 = 1 .
an1 an 2
又a1=1,则 a11 =1,所以
1 an
是以1为首项,

1 为公差的等差数列.
2
所以 1 = 1 +(n-1)×1 n =1 + .
an a1
222
所以an= 2 (n∈N*).
n 1
考点突破
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考点突破
3-2 若数列{an}满足:a1=1,an+1=2an+2n,求数列{an}的通项公式.
3 2
n2
,
n

2.
考点突破
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考点三 由递推关系求数列的通项公式
典例3 根据下列条件,确定数列{an}的通项公式: (1)a1=2,an+1=an+n+1;
(2)a1=1,an= n n1 an-1(n≥2);
(3)a1=1,an+1=3an+2.
考点突破
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考点突破
解析 (1)由题意得,当n≥2时,
以上(n-n1)个1 式子相乘得2
an=a1×1 2× ×n …1×a 1 =1 = .
23
n nn
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当n=1时,a1=1,上式也成立.
∴an= 1n .
(3)∵an+1=3an+2,
∴an+1+1=3(an+1),∴
an1 1 an 1
=3,
∴数列{an+1}为等比数列,公比q=3,
个
2n
(2n 1)(2n 1)
通项公式为an= .
(4)该数列可1 变(形1)n为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,……,则原数列的一个通项公
式为an=n+ .2
(5)奇数项 n为 1
式为an=

2
(,2n为,3,奇4,5数,…), ,偶数项为2,4,8,16,…,从而原数列的一个通项公
(-1)n-1(4n-3),则S11 = ( D )
A.-21 B.-19 C.19 D.21
答案 D S11=(-4)×5+(-1)11-1(4×11-3)=-20+41=21.
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4.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2-2n+2,则数列{an}的通项公式为( C )
A.an=2n-3
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考点突破
1-1 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式: (1)1,3,5,7,…; (2)2,5,10,17,…;
(3) 2 , 4 , 6 , 8 , 10 ,…;
3 15 35 63 99
(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…; (5)1,2,2,4,3,8,4,16,5,….
2 10 17
解析 (1)符号问题可通过(-1)n或(-1)n+1来调整,原数列各项的绝对值的 排列规律为:后面的数的绝对值总比前面一个数的绝对值大6,故原数列 的一个通项公式为an=(-1)n·(6n-5).
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考点突破
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(2)将数列变形为 8 ×(1-0.18), ×(1-0.801), ×(1-0.001),……,故原数列的
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考点突破
解析 (1)数列的前4项1,3,5,7都是项数的2倍减1,所以原数列的一个通
项公式为an=2n-1. (2)如果数列的前4项分别减去1,则变为1,4,9,16,所以原数列的一个通项
公式为an=n2+1. (3)分子为1×2,2×2,3×2,……,分母为1×3,3×5,5×7,……,故原数列的一
等比数列;当出现an=an-1+f(n)(n≥2)时,用累加法求解;当出现 an=f(n)(n
an1
≥2)时,用累乘法求解.
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3-1
已知数列{an}中,a1=1,an+1=
2an an
2
,求数列{an}的通项公式.
解析 因为an+1= a2n a,na21=1,
所以an≠0,所以 1 = 1 + 1 , an1 an 2
若a1=0,则Sn=0,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=0-0=0,
2
n 2
(n为偶数).
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考点突破
考点二 由an与Sn的关系求通项公式an
典例2 (2018北京朝阳高三期中)已知数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*), 满足Sn=2an-1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{an}的前n项积为Tn,求Tn.
解析 (1)由Sn=2an-1可得,当n=1时,a1=1. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1,an=2an-2an-1,即an=2an-1. 则数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列, 则an=2n-1,n∈N*.
又a1+1=2,∴an+1=2·3n-1,
∴an=2·3n-1-1.
考点突破
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考点突破
方法指导 由数列的递推关系求通项公式的常用方法 已知数列的递推关系,求数列的通项公式时,通常用累加、累乘、构造 法求解. 当出现an=an-1+m(n≥2)时,构造等差数列;当出现an=xan-1+y(n≥2)时,构造
(4)将数列变为 2 5, 10, 17, ,…,对于分子3,5,7,9,…,是相应项数的2倍加1,
可得分子的一个通项公式为bn=2n+1,对于分母2,5,10,17,…,联想到数列
1,4,9,16,…,即数列{n22}n,可1 得分母的一个通项公式为cn=n2+1,∴原数列的
一个通项公式为an= n2 . 1
22
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考点突破
考点四 数列的性质
典例4 已知数列{an}的前n项和为Sn,常数λ>0,且λa1an=S1+Sn对一切正整 数n都成立.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设a1>0,λ=100.当n为何值时,数列
lg
的a1n 前 n项和最大?
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解析 (1)当n=1时,λ a12=2S1=2a1,a1(λa1-2)=0.
∴3an=2an+1(n≥2),又易知a2= 1 ,
2
∴an≠0(n≥2),∴ an1= 3 (n≥2). an 2
∴an= 12 × 32
n2

(n≥2).

当n=1时,a1=1≠ 12 × 32
1
=1 ,
3
1,n 1,
∴an=

1 2


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第一节 数列的概念及简单表示法
教材研读
总纲目录
1.数列的定义 2.数列的分类 3.数列的表示法 4.数列的通项公式
考点突破
考点一 由数列的前几项归纳数列的通项公式
考点二 由an与Sn的关系求通项公式an
考点三 由递推关系求数列的通项公式 考点四 数列的性质
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教材研读
1.数列的定义
按照① 一定顺序 排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做这 个数列的② 项 .
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考点突破
考点突破
考点一 由数列的前几项归纳数列的通项公式
典例1 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式: (1)-1,7,-13,19,…; (2)0.8,0.88,0.888,…;
(3) 1 , 1 ,- 5 , 13 ,- 29 , 61,…;
2 4 8 16 32 64
(4) 3 ,1, 7 , 9 ,….
B.an=2n+3
C.an=
1, n 1 2n 3,
n

2
D.an=
1, n 1 2n 3, n

2
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答案 C 当n=1时,a1=S1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-3,由于n=1时,a1=1不
适合上式,故an= 12,nn选31C,,n. 2.
解析 由an+1=2an+2n,
得 an1= an+ 1 ,
2n1 2n 2
即 2ann11- 2ann= 12 ,又a1=1,
故 a1 =1 ,
21 2
∴ 2ann是 以 12为首项, 12 为公差的等差数列.
∴ an = 1 +(n-1)×1 n = ,
2n 2
∴an=n·2n-1.
an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=2+(2+3+…+n)=2+ (n =1 )(2+ n) n(n 1)
2
2
1.
又a1=2= 1 (+11,1符) 合上式,
2
因此an= n(n+11.)
2
(2)∵an= n a1n-1(n≥2),
n
∴an-1= n a2n-2,……,a2= 1a1.
n ( n 1)
(2)Tn=a1·a2·a3……an=20+1+2+3+…+(n-1)=2 2 .
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考点突破
方法指导 已知Sn求an的三个步骤 (1)先利用a1=S1求出a1; (2)用n-1替换Sn中的n得出Sn-1,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的 表达式; (3)看a1是否符合n≥2时an的表达式,若符合,则可以把数列的通项公式合 写;若不符合,则应该分n=1与n≥2两段来写.
2).
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1.(2016北京海淀二模)数列{an}的首项a1=2,且(n+1)an=nan+1,则a3的值为
( B )
A.5 B.6 C.7 D.8
答案 B 由题知an+1= n n1an,又a1=2,故a2=2a1=4,a3= 32 a2=6.
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2.已知数列{an}的通项公式为an=n2-8n+15,则3 ( D )