北师大版高中数学选择性必修第一册 第一章 2.3 直线与圆的位置关系
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10[(1 + 2 )2 -41 2 ] =
10 × (32 -4 × 2) = 10,即弦 AB 的长为 10.
(方法三)圆 C:x2+y2-2y-4=0 可化为 x2+(y-1)2=5,其圆心坐标(0,1),半径 r= 5,
10
|AB|
=
,所以半弦长为
=
2
2
32 +12
|3×0+1-6|
(
)
A.1
B.2 2
C. 7
D.3
(3)过点P(2,3)且与圆(x-1)2+(y-2)2=1相切的直线的方程
为
.
答案 (1)B (2)C
(3)x=2或y=3
解析 (1)x2+y2-2x-4y=0的圆心为C(1,2),
1
kPC= ,
2
∴切线的斜率k=-2,
∴切线方程为y-3=-2(x-3),即2x+y-9=0.
设切点为B,则△ABC为直角三角形,
|AC|= (3-4)2 + (1 + 3)2 = 17,
又|BC|=r=1,
则|AB|= ||2 -||2 =
所以切线长为4.
( 17)2 -12 =4,
反思感悟 求过某一点的圆的切线方程,首先判定点与圆的位置关系,以确
定切线的数目.
(1)求过圆上一点P(x0,y0)的圆的切线方程:如果斜率存在且不为0,先求切点
圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线l所在直线的方程.
分析l过点A,欲求其方程需求斜率k或与x轴的交点B.
-3
解 (方法 1)如图所示,设 l 和 x 轴交于 B(b,0),则 kAB=+3,根据光的反射定律,
3
反射光线的斜率 k 反=
,
+3
3
∴反射光线所在的直线方程为 y=+3(x-b),即 3x-(b+3)y-3b=0.
所以点A在圆外.
①若所求直线的斜率存在,设切线的斜率为k,
则切线方程为y+3=k(x-4),即kx-y-4k-3=0.
设圆心为C,
因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1,
|3-1-3-4|
所以
2
+1
=1,即|k+4|= 2 + 1,
15
所以 k +8k+16=k +1,解得 k=- 8 .
示.
我们已经知道,在平面直角坐标系中,直线与圆都可以用方程来表示,一个
点是否在直线上或圆上,只要看这个点的坐标是否满足它们的方程即可.那
么,能否利用直线与圆的方程来研究它们之间的位置关系呢?
知识点拨
一、直线与圆的三种位置关系
位置关系
交点个数
相交
有两个公共点
相切
只有一个公共点
相离
没有公共点
微判断
若直线与圆有公共点,则直线与圆相交.(
|6-(+3)×2-3|
∵已知圆 x +y -4x-4y+7=0 的圆心为 C(2,2),半径为 1,∴
2
2
9+(+3)
3
4
3
解得 b1=-4,b2=1.∴kAB=-3或 kAB=-4.
∴l 的方程为 4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0.
2
=1.
(方法2)已知圆C:x2+y2-4x-4y+7=0关于x轴对称的圆为C1:(x-2)2+(y+2)2=1,
∴该方程组有两组不同的实数解 ,
即直线l与圆C相交.
(方法二)(几何法)
圆心(7,1)到直线l的距离为
|1×7-2×1+5|
d=
2
1 +(-2)
2
=2 5.
∵d<r=6,∴直线l与圆C相交.
探究二
直线与圆相切
例2过点A(4,-3)作圆(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线的方程.
解 因为(4-3)2+(-3-1)2=17>1,
1
1
|AH|=2|AB|=2×4 5=2 5,
2
2
则|OH|= |OA| -|AH| = 5.
∴
|5-5k|
2
k +1
=
1
5,解得 k=2或 k=2.
∴直线 l 的方程为 x-2y+5=0 或 2x-y-5=0.
素养形成
一题多解——直线与圆相切和光的反射
典例自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与
A.相交
B.相切
C.相离
D.相切或相交
)
答案 A
解析 圆心到直线的距离为d=
5
32
+
42
=1<4,所以直线与圆相交.
微判断
(1)如果直线的方程与圆的方程组成的方程组有解 ,则直线和圆相交或相
切.(
)
(2)若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆的方程联立消元后得到的一
元二次方程无解.(
)
(3)过半径外端的直线与圆相切.( × )
10k(1-k)
解得 k>0.又 x1+x2=
2
k +1
25k(k-2)
,x1x2=
2
k +1
,
由斜率公式,得 y1-y2=k(x1-x2).
∴|AB|= (x1 -x2 )2 + (y1 -y2 )2 = (1 + k 2 )(x1 -x2 )2
2
2
100k (1-k)
25k(k-2)
2
2
2
= (1 + k )[(x1 + x2 ) -4x1 x2 ]= (1 + k )[
2
(2)代数法:如图 2 所示,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分
别是 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= (x1 -x2 )2 + (y1 -y2 )2 =
1+
k 2 |x
1-x2|=
1+
1
k
2 |y1-y2|(直线
l 的斜率 k 存在且不为 0).
变式训练3直线l经过点P(5,5)且与圆C:x2+y2=25相交截得的弦长为4 5 ,
当d=r,|b|=2,即b=2或b=-2时,直线与圆相切,直线与圆只有一个公共点.
当d>r,|b|>2,即b<-2或b>2时,直线与圆相离,直线与圆无公共点.
反思感悟 直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.
(2)代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.
(1)当-2<b<2时,Δ>0,直线与圆有两个公共点.
(2)当b=2或b=-2时,Δ=0,直线与圆只有一个公共点.
(3)当b<-2或b>2时,Δ<0,方程组没有实数解 ,直线与圆没有公共点.
||
(方法二)圆的半径 r= 2,圆心 O(0,0)到直线 y=x+b 的距离为 d= .
2
当d<r,|b|<2,即-2<b<2时,直线与圆相交,直线与圆有两个公共点.
可求得k,进而求出切线方程.但要注意,若求出的k值只有一个时,则另一条
切线的斜率一定不存在,可由数形结合求出.
变式训练2(1)过圆x2+y2-2x-4y=0上一点P(3,3)的切线方程为(
A.2x-y+9=0
)
B.2x+y-9=0
C.2x+y+9=0 D.2x-y-9=0
(2)由直线y=x+1上任一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则该切线长的最小值为
当堂检测
1.直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是(
A.过圆心
B.相切
C.相离
D.相交但不过圆心
)
答案 D
|3×1+4×(-1)+12|
解析 圆心(1,-1)到直线 3x+4y+12=0 的距离 d=
2
2
15
15
所以切线方程为- 8 x-y+ 2 -3=0,
即15x+8y-36=0.
②若所求直线的斜率不存在,
圆心C(3,1)到直线x=4的距离为1,
这时直线x=4与圆相切,所以另一条切线方程为x=4.
综上,所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4.
延伸探究若本例的条件不变,求其切线长.
解 因为圆心C的坐标为(3,1),
点(0,1)到直线 l 的距离为 d=
10 2
10
( 5) -(
) =
,所以弦长|AB|= 10.
2
2
2
r 2 -d2 =
反思感悟 直线与圆相交时弦长的两种求法
(1)几何法:如图1,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,弦长
|AB| 2 2 2
为|AB|,则有( ) +d =r ,则|AB|=2 r 2 -d2 .
故弦 AB 的长为|AB|= (2-1)2 + (0-3)2 = 10.
3 + -6 = 0,
(方法二)由 2
+ 2 -2-4 = 0,
消去y,得x2-3x+2=0.
设两交点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则由根与系数的关系,得
x1+x2=3,x1·x2=2.∴|AB|= (2 -1 )2 + (2 -1 )2 =
其圆心C1的坐标为(2,-2),半径为1,由光的反射定律知,入射光线所在直线方
程与圆C1相切.
|5+2+3|
设 l 的方程为 y-3=k(x+3),则
12 +
4
3
2
即 12k +25k+12=0.∴k1=-3,k2=-4.
2
=1,
则 l 的方程为 4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0.
(方法3)设入射光线方程为y-3=k(x+3),反射光线所在直线方程为y=-kx+b,
由于二者横截距相等,且后者与已知圆相切,
-3-3
= ,
∴ |2+2-|
1+
消去 b,得
2
= 1.
|5+5|
1+
2
=1(以下与方法 2 同).
点评本题是方程思想的典型应用,考查的重点在于设置怎样的未知数,依怎
样的性质列方程,方法1、方法2属常规方法,方法3设置两个未知数,体现了
列方程的方法在具体运用时的灵活性.
求直线l的方程.
解 由题意知直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为y-5=k(x-5),与圆C
相交于A(x1,y1),B(x2,y2).
y-5 = k(x-5),
(方法一)联立方程组 2
x + y 2 = 25,
消去y,得(k2+1)x2+10k(1-k)x+25k(k-2)=0.
由Δ=[10k(1-k)]2-4(k2+1)·25k(k-2)>0,
|-2+3-2|
∴
2
=1,∴k=0,
+1
∴切线方程为y=3,
当斜率不存在时,切线方程为x=2.
探究三
直线与圆相交
例3求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长.
3 + -6 = 0,
解 (方法一)由 2
得交点 A(1,3),B(2,0),
2
+ -2-4 = 0,
]=4 5.
2
2 -4 ×
2
(k +1)
k +1
两边平方,整理得2k2-5k+2=0,解得
k=
故直线l的方程为x-2y+5=0或2x-y-5=0.
1
或k=2符合题意.
2
(方法二)如图所示,|OH|是圆心到直线l的距离,|OA|是圆的半径,|AH|是弦长
|AB|的一半.
在Rt△AHO中,|OA|=5,
答案 ×
)
二、直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2位置关系的判断
位置关系
相交
相切
相离
公共点
两个
一个
零个
几何法:设圆心到直线的距离
d<r
d=r
d>r判 d=定 Nhomakorabea数法:由
方
法
Δ>0
Δ=0
Δ<0
消元得到一元二次方程的判别式Δ
微练习
直线3x+4y=5与圆x2+y2=16的位置关系是(
课堂篇 探究学习
探究一
判断直线与圆的位置关系
例1已知直线y=x+b与圆x2+y2=2,当b为何值时,圆与直线有两个公共点?只
有一个公共点?没有公共点?
2 + 2 = 2,①
解 (方法一)由
得 2x2+2bx+b2-2=0,③
= + ,②
方程③的根的判别式
Δ=(2b)2-4×2(b2-2)=-4(b+2)(b-2).
与圆心连线的斜率k,则由垂直关系知切线的斜率为-
1
,由点斜式方程可求
得切线方程.如果k=0或斜率不存在,则由图形可直接得切线方程为x=x0或
y=y0.
(2)求圆外一点P(x0,y0)的圆的切线时,常用几何方法求解:
设切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0,由圆心到直线的距离等于半径,
第一章
2.3 直线与圆的位置关系
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习
02
课堂篇 探究学习
核心素养
1.能根据给定直线、圆的方程,判断
直线与圆的位置关系.(逻辑推理)
2.能用直线和圆的方程解决一些简
单的数学问题与实际问题.(数学建
模)
思维脉络
课前篇 自主预习
激趣诱思
在日常生活中,可以见到很多有关直线与圆的不同位置关系的形象,如图所
|3-0+1|
(2)圆心 C(3,0)到 y=x+1 的距离 d=
=2 2.
2
所以切线的最小值为 l= (2 2)2 -12 = 7.
(3)P(2,3)在圆(x-1)2+(y-2)2=1外,
∴过点P(2,3)与圆(x-1)2+(y-2)2=1相切的直线有两条.
当斜率存在时,设切线的斜率为k,
则切线方程为y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0,
变式训练1已知直线l:x-2y+5=0与圆C:(x-7)2+(y-1)2=36,判断直线l与圆C的
位置关系.
解 (方法一)(代数法)
(-7)2 + (-1)2 = 36,
由方程组
消去 y 后整理,