上海教科院附属中学2020年高二数学理联考试题含解析

上海教科院附属中学2020年高二数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若命题“p或q”为真，“非p”为真，则（）
A．p真q真 B．p假q真 C．p真q假 D．p假q假参考答案：
B
2. 已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率为（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
D
3. 已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得=4a1，则的最小值为（）
A．B．C．D．不存在
参考答案：
A
【考点】等比数列的通项公式；基本不等式．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】把所给的数列的三项之间的关系，写出用第五项和公比来表示的形式，求出公比的值，整理所给的条件，写出m，n之间的关系，用基本不等式得到最小值．
【解答】解：∵a7=a6+2a5，
∴a5q2=a5q+2a5，
∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2，
∵存在两项a m，a n使得=4a1，
∴a m a n=16a12，
∴q m+n﹣2=16，
∴m+n=6
∴=（m+n）（）=
故选A
【点评】本题考查等比数列的通项和基本不等式，实际上应用基本不等式是本题的重点和难点，注意当两个数字的和是定值，要求两个变量的倒数之和的最小值时，要乘以两个数字之和．
4. 在复平面内,点(1,2)对应的复数为 ( )
A. B. C. D.
参考答案：
A
5. 已知点A（0，1），曲线C：y=alnx恒过定点B，P为曲线C上的动点且?的最小值为2，则a=（）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1
参考答案：
D
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】运用对数函数的图象特点可得B（1，0），设P（x，alnx），运用向量的数量积的坐标表示，可得f（x）=?=x﹣alnx+1，x∈（0，+∞）再由导数，求得极值点即为最值点，对a讨论通过单调性即可判断．
【解答】解：曲线C：y=alnx恒过点B，则令x=1，可得y=0，
即B（1，0），又点A（0，1），设P（x，alnx），
则?=f（x）=x﹣alnx+1，
由于f（x）=x﹣alnx+1在（0，+∞）上有最小值2，
且f（1）=2，故x=1是f（x）的极值点，即最小值点．
f′（x）=1﹣=，
a＜0，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上是增函数，所以没有最小值；故不符合题意；
当a＞0，x∈（0，a）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，a）是减函数，在（a，+∞）是增函数，有最小值为f（a）=2，即a﹣alna+1=2，解得a=1；
故选D．
6. 已知是空间不共面的四点，且满足，，，则
为（）
A.钝角三角形
B.锐角三角形
C. 直角三角形
D.不确定
参考答案：
B
略
7. 如图是用斜二测画法画出△AOB的直观图，则△AOB的面积为▲；
图11
参考答案：
略
8. 函数的递增区间是（）
A. B. C.
D.
参考答案：
C 9. 顶点在同一球面上的正四棱柱中，，则两点间的球面距离为（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
10. 圆的圆心到直线的距离是（）
A．B．
C． D．
参考答案：
A 解析：
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如果直线与直线平行，那么系数为_________.
参考答案：
-6
略
12. 已知，若，则
的取值范围是．
参考答案：
略
13. 一个几何体的三视图如右图所示（单位长度：），
则此几何体的体积是
参考答案：
略
14. 已知直线
与
平行，则的值为____________；
参考答案：
略
15. 已知等比数列
的各项均为正数，前n 项之积为T n ,若
.
参考答案：
1
16. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为 扇形，则该几何体的体积为 ▲ .
参考答案：
略 17. 某数列
是等比数列,记其公比为,前项和为
,若
成等差数列,
．
参考答案：
-2
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛． （1）求所选3人都是男生的概率； （2）求所选3人恰有一名女生的概率．
参考答案：
【考点】C3：概率的基本性质．
【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验所包含的所有事件是从6人中选3人共有C 63种结果， （1）由于满足条件的事件是所选3人都是男生有C 43种结果，再根据古典概型公式得到结果． （2）由满足条件的事件是所选3人中恰有1名女生有C 21
C 42
种结果，根据古典概型公式即可得到结果．
【解答】解：（1）∵试验所包含的所有事件是从6人中选3人共有C 63种结果， 而满足条件的事件是所选3人都是男生有C 43种结果，
∴根据古典概型公式得到：所选3人都是男生的概率为=；
（2）由题意知本题是一个古典概型，
∵试验所包含的所有事件是从6人中选3人共有C 63种结果， 而满足条件的事件是所选3人中恰有1名女生有C 21C 42种结果， ∴根据古典概型公式得到
所选3人中恰有1名女生的概率为．
【点评】本小题考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力，属于基础题．
19. 已知椭圆，，F 1，F 2分别为椭圆的左右焦点，离心率，上顶点
.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在过点F2且斜率不为0的直线l交椭圆于M，N两点，且满足，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由.
参考答案：
(1) .(2)见解析.
【分析】
（1）由题可得：，解得：，问题得解。

（2）设直线为，点，联立直线与椭圆方程可得：
，利用可得：，即可整理得：
，此方程无解，问题得解。

【详解】（1）由题可得：，解得：，
所以椭圆方程为：
（2）设直线为，点
由化简得：
即
，化简得，此方程无解
所以不存在满足题意的直线.
【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了方程思想及韦达定理，还考查了向量的坐标运算、向量的数乘运算及转化能力，考查计算能力，属于难题。

20. 相关部门对跳水运动员进行达标定级考核，动作自选，并规定完成动作成绩在八分及以上的定为达标，成绩在九分及以上的定为一级运动员. 已知参加此次考核的共有56名运动员.
（1）考核结束后，从参加考核的运动员中随机抽取了8人，发现这8人中有2人没有达标，有3人为一级运动员，据此请估计此次考核的达标率及被定为一级运动员的人数；
（2）经过考核，决定从其中的A、B、C、D、E五名一级运动员中任选2名参加跳水比赛（这五位运动员每位被选中的可能性相同）. 写出所有可能情况，并求运动员E被选中的概率.
参考答案：
略
21. 某同学在研究相邻三个整数的算术平方根之间的关系时，发现以下三个式子均是正确的：
①+＜2；②+＜2；③+＜2
（1）已知∈（1.41，1.42），∈（1.73，1.74），∈（2.23，2.24），请从以上三个式子中任选一个，结合此范围，验证其正确性（注意不能近似计算）；
（2）请将此规律推广至一般情形，并证明之．
参考答案：
【考点】分析法和综合法；归纳推理．
【分析】（1）结合此范围，验证其正确性，
（2）一般结论为：若n∈N*，则，用分析法和综合法即可证明．【解答】解：（1）验证①式成立：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）一般结论为：若n∈N*，则，证明如下：
证法一：要证：
只需证：
即证：
也就是证：
只需证：n（n+2）＜n2+2n+1
即证：0＜1，显然成立
故，
证法二：=，
=，
=，
=，
∵n∈N*，，
∴，
∴，∴
22. 已知函数在处取得极值，且.
（1）求实数m，n的值；
（2）求函数f(x)的极大值和极小值.
参考答案：
（1）；（2）极大值为，极小值为．
【分析】
（1）求出导数，由和可求得；
（2）由导数确定函数的单调性，得极值．
【详解】（1）由题意，∴，，又．∴；
（2）由（1），
，
当或时，时，，
∴在和上递增，在上递减．
的极大值为，极小值为．
【点睛】本题考查导数与函数的极值之间的关系，掌握极值的概念和求法是解题关键．。