高中数学 第1章 计数原理 5 二项式定理 第2课时 二项式系数的性质课后演练提升 北师大版选修2

系数的性质课后演练提升北师大版选修2-3
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项式系数的性质课后演练提升 北师大版选修2-3
一、选择题
1．（1－x ）4
（1－错误!）3
的展开式中x 2
的系数是（ ) A ．－6 B ．－3 C ．0
D ．3
解析: (1－x ）4
（1－x ）3
＝（1－4x ＋6x 2
－4x 3
＋x 4
）·（1－3x 1
2
＋3x －x 错误!），所以
x 2的系数是－12＋6＝－6。

答案： A
2．若（x 3
＋错误!)n
展开式中只有第6项的二项式系数最大，则不含x 的项等于（ ) A ．210 B ．120 C ．461
D ．416
解析: 由已知得第6项应为中间项，则n ＝10。

T r ＋1＝C 错误!·（x 3)10－r ·(错误!）r ＝C 错误!·x 30－5r .
令30－5r ＝0，得r ＝6. ∴T 6＋1＝C 错误!＝210. 答案： A 3．若二项式⎝
⎛）
x 2－
2
x n
的展开式中二项式系数的和是64，则展开式中的常数项为（ )
A ．－240
B ．－160
C ．160
D ．240
解析: 由题意2n
＝64，即n ＝6，设T r ＋1为常数项． 则T r ＋1＝C r
，6(x 2)
6－r
·错误!r ＝（－2)r C 错误!x
12－2r －r
,
令12－3r ＝0，即r ＝4，
所以常数项为（－2)4
·C 错误!＝16×15＝240,故选D ． 答案： D
4．（x －y )7
的展开式中，系数绝对值最大的项是（ ） A ．第4项
B ．第4、5两项
C．第5项D．第3、4两项
解析：(x－y）n的展开式，当n为偶数时,展开式共有n＋1项，中间一项的二项式系数最大；
当n为奇数时，展开式有n＋1项，中间两项的二项式系数最大．而(x－y)7的展开式中,系数绝对值最大的是中间两项，即第4、5两项．
答案：B
二、填空题
5．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为____________。

1
3 3
5 6 5
7 11 11 7
9 18 22 18 9
…
解析：观察规律可知：第n行的首尾两个数均为2n－1。

答案：2n－1
6．在（1＋x)9的展开式中，系数最大的项的系数是____________。

解析:因二项展开式共有10项，所以中间两项的二项式系数最大且相等,又由于x的系数为1.所以系数最大的项的系数为C4，9或C59，都等于126。

答案：126
三、解答题
7．已知错误!n的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14∶3,求展开式的常数项．解析：依题意C4n∶C2，n＝14∶3⇒3C4n＝14C错误!
∴错误!＝错误!
⇒n＝10。

设第r＋1项为常数项,
又T r＋1＝C错误!（错误!）10－r错误!r＝（－2)r C错误!x错误!,
令错误!＝0⇒r＝2,
∴T2＋1＝C错误!(－2）2＝180.
因此所求常数项为180.
8．已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5。

(1)求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5；
（2)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋｜a3|＋|a4｜＋｜a5｜；
(3)求a1＋a3＋a5。

解析：（1）令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(2×1－1)5＝1。

(2）由二项式定理,得（2x－1）5＝C错误!（2x）5＋C错误!(2x）4（－1)＋C错误!（2x）3(－1）2＋C错误!(2x）2（－1)3＋C错误!（2x)(－1)4＋C错误!(－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x4＋a4x＋a5。

对比系数可知，a1，a3，a5为负数．
∴｜a0｜＋|a1|＋|a2|＋｜a3|＋|a4｜＋|a5｜＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，
又在二项展开式中令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5＝－(a0－a1＋a2－a3＋a4－a
5
)．
∴|a0|＋｜a1|＋｜a2|＋｜a3｜＋|a4|＋｜a5|＝－(－35)＝35
＝243。

（3)令x＝1得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，①
令x＝－1得－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5＝－35②
①＋②得2（a1＋a3＋a5）＝1－35，
∴a1＋a3＋a5＝1－35
2
＝－121。

错误!☆☆☆
9．设m,n是正整数，f（x)＝（1＋x)m＋（1＋x)n，已知在f（x)展开式中，x的系数为19。

(1）当m，n为何值时,x2的系数最小？
(2）当x2的系数最小时,求x7的系数．
解析：（1）f（x）展开式中，x的系数为C错误!＋C错误!＝m＋n＝19，
即m＋n＝19.
而x2的系数为C错误!＋C错误!＝错误![m(m－1)＋n(n－1）]
＝错误![m2＋n2－(m＋n)]＝错误![（m＋n)2－2mn－(m＋n)]
＝错误!(361－2mn－19）＝171－mn,
将m＝19－n代入,
可得C错误!＋C错误!＝n2－19n＋171＝（n－错误!）2＋171－错误!.
由于n是正整数，所以当n＝9或n＝10时，x2的系数C错误!＋C错误!取最小值81此时m ＝10，n＝9或m＝9，n＝10.
（2）由（1)知，n＝9且m＝10或n＝10且m＝9，此时f(x)均为f（x）＝（1＋x)9＋（1＋x）10＝（1＋x)9(2＋x)，
因为（1＋x）9＝1＋C错误!x＋C错误!x2＋…＋C错误!x8＋C错误!x9，
所以f（x）展开式中x7的系数为2C79＋C6，9＝156.。