高一数学人教A版必修1课件：1.1.2 集合间的基本关系

探究一
探究二
探究三
探究四
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探究二韦恩图及其应用
例2下列能正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}的关系的维
恩图是( )
解析:∵N={x|x2+x=0}={x|x=0或x=-1}={0,-1}, ∴N⫋M,故选B.
答案:B 反思感悟 维恩图是集合的又一种表示方法,使用方便,表达直观, 可迅速帮助我们分析问题、解决问题,但它不能作为严密的数学工 具使用.
集合 ⌀
集合的子集
子集的个数
{a}
{a,b}
{a,b,c}
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是多 少?真子集的个数及非空真子集的个数呢?
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分析:(1)利用子集的概念,按照集合中不含任何元素、含有一个 元素、含有两个元素、含有三个元素这四种情况分别写出子集.(2) 由特殊到一般,归纳得出.
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2.填表:子集与真子集
概念 定 义
符号表示
图形表 示
性
质
一般地,对于两个集
合 A,B,如果集合 A 中
子 集
任意一个元素都是 集合 B 中的元素,我 们就说这两个集合
A⊆B(或 B⊇A)
有包含关系,称集合
A 为集合 B 的子集
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核心素养培养目标
核心素养形成脉络
1.理解子集、真子集的概念及集 合相等的含义,培养逻辑推理核
心素养.
2.掌握子集、真子集及集合相等 的应用,会判断集合间的基本关 系,尤其要注意空集这一特殊集 合的意义,培养逻辑推理核心素
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是2n, 真子集的个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2.
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反思感悟 1.分类讨论是写出所有子集的有效方法,一般按集合中 元素个数的多少来划分,遵循由少到多的原则,做到不重不漏.
生组成的集合;
③A=N,B=R; ④A={x|x为中国人},B={x|x为亚洲人}.
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(1)集合A中的元素都是集合B中的元素吗? 提示:是. (2)集合B中的元素都是集合A中的元素吗? 提示:不全是. (3)集合A,B的关系能不能用图直观形象地表示出来? 提示:能,如图.在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表 集合,这种图称为Venn图.
2.若集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集,有(2n-1)个真子集,有 (2n-1)个非空子集,有(2n-2)个非空真子集,该结论可在选择题或填空 题中直接使用.
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变式训练1若{1,2,3}⫋A⊆{1,2,3,4,5},则满足条件的集合A的个数 为( )
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变式训练 2设A={四边形},B={梯形},C={平行四边形},D={菱 形},E={正方形},则下列关系正确的是( )
A.E⫋D⫋C⫋A B.D⫋E⫋C⫋A C.D⫋B⫋A D.E⫋D⫋C⫋B⫋A 解析:集合A,B,C,D,E之间的关系可用Venn图表示,结合下图可知, 应选A.
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3.做一做:
(1)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<1},则( )
A.A>B
B.A<B C.B⊆A D.A⊆B
(2)已知集合A={1,2,3},下列集合是集合A的真子集的是( )
A.{1,2,3} B.{2,3}
真 子 集
如果集合 A⊆B,但存 在元素 x∈B,且 x∉A, 我们称集合 A 是集 合 B 的真子集
A⫋B(或 B⫌A)
(1)任何一个集 合是它本身的 子集,即 A⊆A; (2)对于集合 A,B,C,如果 A⊆B,且 B⊆C,那 么 A⊆C
对于集合 A,B,C,如果 A⫋B,B⫋C,那么 A⫋C
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养.
3.能利用维恩图(Venn)表达集
合间的关系,从而培养数形结合 的思想意识.
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一、子集与真子集
1.观察下面几个例子,你能发现集合A,B间有什么关系吗?
①A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}; ②A为新华中学高一(1)班全体女生组成的集合,B为该班全体学
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解:(1)若a=-1,则B={x|-5<x<-3}.
如图在数轴上标出集合A,B.
由图可知,B⫋A.
(2)由已知A⊇B.
①当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然成立. ②当B≠⌀时,2a-3<a-2,解得a<1.
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延伸探究若将本例已知条件改为“集合A={x,xy,x-y},集合 B={0,|x|,y},且A=B”,求实数x,y的值.
解:∵0∈B,A=B,∴0∈A.
又由集合中元素的互异性,可知|x|≠0,y≠0,
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探究四由集合间的关系求参数的范围 例4 已知集合A={x|-5<x<2},B={x|2a-3<x<a-2}. (1)若a=-1,试判断集合A,B之间是否存在子集关系; (2)若A⊇B,求实数a的取值范围. 分析:(1)令a=-1,写出集合B,分析两个集合中元素之间的关系,判 断其子集关系;(2)根据集合B是否为空集进行分类讨论;然后把两集 合在数轴上标出,根据子集关系确定端点值之间的大小关系,进而 列出参数a所满足的条件.
∴x≠0,xy≠0,故x-y=0,即x=y.
此时A={x,x2,0},B={0,|x|,x},
∴x2=|x|,解得x=±1.
当x=1时,x2=1,与集合中元素的互异性矛盾,
∴x=-1,即x=y=-1.
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答案:A
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探究三集合相等关系的应用
例3已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},且A=B,求实数x,y的值.
分析:根据A=B列出关于x,y的方程组进行求解.
解:∵A=B,∴集合A与集合B中的元素相同,
C.{-1,2,3} D.{1,2,3,4}
解析:(1)如图,
,由图可知 B⊆A.故选 C.
答案:(1)C (2)B 4.判断正误: 任何集合都有子集和真子集. ( )
答案:×
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二、集合相等
1.如果集合A是集合B的子集(A⊆B),且集合B是集合A的子集(B⊆A),
A.2 B.3 C.4 D.5 解析:集合{1,2,3}是集合A的真子集,同时集合A又是集合 {1,2,3,4,5}的子集,所以集合A只能取集合{1,2,3,4},{1,2,3,5}和
{1,2,3,4,5}. 答案:B
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3.判断正误:
(1)任何集合至少有两个子集. ( )
(2)若⌀⫋A,则A≠⌀. ( )
答案:(1)× (2)√
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4.做一做:
已知集合{x|x2-x+a=0}=⌀,则实数a的取值范围是
.
解析:∵{x|x2-x+a=0}=⌀,
∴
������ ������
= =
2������, ������2
或
������ = ������2, ������ = 2������,
解得
������ ������
= =
0, 0
或
������ = ������ =
0, 1
或
������
=
1 4
,
������
=
1 2
.
验证得,当 x=0,y=0 时,与集合中元素的互异性相矛盾,舍去.
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(2)
集合 ⌀ {a} {a,b} {a,b,c}
集合的子集
子集的个数
⌀
1
⌀,{a}
2
⌀,{a},{b},{a,b}
4
⌀,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c} 8
由已知A⊇B,如图在数轴上表示出两个集合,
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由图可得 2������-3 ≥ -5,解得-1≤a≤4. ������-2 ≤ 2,
又因为a<1,所以实数a的取值范围为-1≤a<1.
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∴Δ=(-1)2-4a<0,∴a>14.
答案:a>14
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探究一写出给定集合的子集
例1 (1)写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子
集;
(2)填写下表,并回答问题:
解:(1)不含任何元素的子集为⌀; 含有一个元素的子集为{0},{1},{2}; 含有两个元素的子集为{0,1},{0,2},{1,2}; 含有三个元素的子集为{0,1,2}. 故集合{0,1,2}的所有子集为 ⌀,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}. 其中除去集合{0,1,2},剩下的都是{0,1,2}的真子集.
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延伸探究(1)【例4】(2)中,是否存在实数a,使得A⊆B?若存在,求
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反思感悟 1.求解此类问题通常是借助于数轴,利用数轴分析法, 将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,同时还要注意验证端点 值,做到准确无误,一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心点表示.
2.涉及“A⊆B”或“A⫋B,且B≠⌀”的问题,一定要分A=⌀和A≠⌀两种情 况进行讨论,其中A=⌀的情况容易被忽略,应引起足够的重视.
故
x,y
的取值为
������ ������
= =
0, 1
或
������
=
1 4
,
������
=
1 2
.
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反思感悟集合相等则元素相同,但要注意集合中元素的互异性, 防止错解.
������ ≠ 0,
������ ������
= =
10,.符合题意.
答案:C
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三、空集 1.集合A={x|x2-x+8=0}中有多少个元素? 提示:0个. 2.空集是怎么定义的?空集用什么符号表示?空集有怎样的性质? 提示:一般地,我们把不含有任何元素的集合称为空集,记作:⌀.并 规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
此时,集合A与集合B中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等.
2.判断正误:
集合{(-1,1)}和集合{(1,-1)}是同一点集.( )
答案:×
3.做一做:
设集合A={x,y},B={0,x2},若A=B,则2x+y等于( )
A.0 B.1 C.2 D.-1
解析:由已知得 所以2x+y=2.
������ = ������2, ������ = 0, 解得