【冲刺卷】高三数学上期末一模试卷(及答案)

【冲刺卷】高三数学上期末一模试卷(及答案)
一、选择题
1．已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：
①3450a b -+>；②当0a >时，+a b 有最小值，无最大值；③221a b +>；④当
0a >且1a ≠时，1
1b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
正确的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．若,x y 满足10
10330x y x y x y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
，则2z x y =+的最大值为( )
A ．8
B ．7
C ．2
D ．1
3．设,x y 满足约束条件300
2x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
, 则3z x y =+的最小值是 A ．5-
B ．4
C ．3-
D ．11
4．正项等比数列
中，的等比中项为，令
，则
（ ） A ．6
B ．16
C ．32
D ．64
5．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63
3S S =， 则9
6S S =（ ） A ．2
B ．
73
C ．8
3
D ．3
6．设数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则1210b b b a a a ++⋯+=（ ） A ．1033
B ．1034
C ．2057
D ．2058
7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1112n n a S a +＝，＝， 则n S ＝( )
A ．12n -
B ．1
3
()
2
n -
C ．1
2()
3
n - D ．
1
12n - 8．已知,,a b R +∈且11
5a b a b
+++=,则+a b 的取值范围是（ ） A ．[1,4]
B ．[)2,+∞
C ．(2,4)
D ．(4,)+∞
9．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 4cos a B c b A =-，则
cos2A =（ ） A ．78
B ．
18
C ．78
-
D ．18
-
10．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23，则2a ＋b ＋c 的最小值为( )
A ． 3－1
B ． 3＋1
C ．23＋2
D ．23－2
11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(
)*
21n n S a n N =-∈，则5
a 等于（ ）
A ．16-
B ．16
C ．31
D ．32
12．在中，
，，
，则
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，若23sin c ab C =，则当b a
a b
+取最大值时，cos C =__________； 14．关于x 的不等式a 34
≤
x 2
﹣3x +4≤b 的解集为[a ，b ]，则b －a ＝________． 15．已知数列{}n a ，11a =，1(1)1n n na n a +=++，若对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ，
不等式
1
321
t n a a n +<-⋅+恒成立，则实数t 的取值范围为________ 16．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是__________．
17．观察下列的数表： 2 4 6
8 10 12 14
16 18 20 22 24 26 28 30 …… ……
设2018是该数表第m 行第n 列的数，则m n ⋅=__________．
18．已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，15
82a a +=，2481a a =g ，记数列2n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，则使不等式11
2020|1|13n n
T a -->成立的最大正整数n 的值是__________．
19．设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ___________． 20．已知不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解集是_________.
三、解答题
21．已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，且
2222cos cos b c a ac C c A +-=+.
（1）求A ；
（2）在ABC ∆中，3BC =D 为边AC 的中点，E 为AB 边上一点，且DE AC ⊥，
6
DE =
，求ABC ∆的面积. 22．设数列{}n a 满足()*16
4
n n n a a n a +-=
∈-N ，其中11a =. （Ⅰ）证明：32n n a a ⎧⎫
-⎨⎬-⎩⎭
是等比数列；
（Ⅱ）令1
12
n n b a =-
-，设数列{}(21)n n b -⋅的前n 项和为n S ，求使2019n S <成立的最大自然数n 的值.
23．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 向量()
233m a b c =u r
，向量s )(co ,n B cosC =r ，且//m n u r r .
（1）求角C 的大小； （2）求3()3
y sinA sin B π
=-
的最大值.
24．已知等差数列{}n a 的前n 项和为254,12,16n S a a S +==． (1)求{}n a 的通项公式； (2)数列{}n b 满足141
n n n b T S =
-，为数列{}n b 的前n 项和，是否存在正整数m ，
()1k m k <<，使得23k m T T =?若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由．
25．已知公比为4的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且485S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{(1)}n n a -的前n 项和n T ．
26．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：2(1)n n S na n n =--，等比数列{}n b 的前n 项和为
n T ，公比为1a ，且5352T T b =+．
（1）求数列{}n a 的通项公式;
（2）设数列11n
n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n M ，求证：11
54n M ≤<．
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一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
∵点M (a ,b )与点N (0,−1)在直线3x −4y +5=0的两侧,
∴()()34530450a b -+⨯++<，即3450a b -+<，故①错误； 当0a >时,5
4
a b +>
，a +b 即无最小值，也无最大值，故②错误； 设原点到直线3x −4y +5=0的距离为d ,则2
2
513(4)
=
=+-d ,则22a b +>1，故③正确；
当0a >且a ≠1时,
1
1
b a +-表示点M (a ,b )与P (1,−1)连线的斜率．
∵当0a =,b =54时
,5
1
194
114
b a ++==---,又直线3x −4y +5=0的斜率为34， 故
1
1b a +-的取值范围为93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故④正确.
∴正确命题的个数是2个. 故选B.
点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z 前面的系数为负时，截距越大，z 值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.
2．B
解析：B 【解析】
试题分析：作出题设约束条件可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线
:20l x y +=，把直线l 向上平移，z 增加，当l 过点(3,2)B 时，3227z =+⨯=为最大
值．故选B ．
考点：简单的线性规划问题．
3．C
解析：C 【解析】
画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．
由3z x y =+可得3y x z =-+．平移直线3y x z =-+，结合图形可得，当直线
3y x z =-+经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 也取得最小值．
由300x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得32
3
2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，故点A 的坐标为33(,)22-．
∴min 3
3
3()322
z =⨯-+
=-．选C ． 4．D
解析：D 【解析】
因为，即
，
又
，所以
.
本题选择D 选项.
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
首先由等比数列前n 项和公式列方程，并解得3
q ，然后再次利用等比数列前n 项和公式，
则求得答案． 【详解】
设公比为q ，则6163
63313(1)1113(1)11a q S q q q a q S q
q
---===+=---， ∴3
2q =，
∴93962611271123
S q S q --===--． 故选：B ． 【点睛】
本题考查等比数列前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时也可以利用连续等长片断的和序列仍然成等比数列，进行求解.
6．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
首先根据数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，求出等差数列和等比数列的通项公式，然后根据a b1+a b2+…+a b10=1+2+23+25+…+29+10进行求和． 解：∵数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列， ∴a n =2+（n-1）×
1=n+1， ∵{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴b n =1×
2n-1， 依题意有：a b1+a b2+…+a b10=1+2+22+23+25+…+29+10=1033， 故选A ．
7．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用公式1n n n a S S -=-计算得到113
23,2
n n n n S S S S ++==，得到答案. 【详解】
由已知111
2n n a S a +==，，1n n n a S S -=- 得()12n n n S S S -=-，即113
23,
2
n n n n S S S S ++==， 而111S a ==，所以1
3
()2
n n S -=.
故选B. 【点睛】
本题考查了数列前N 项和公式的求法，利用公式1n n n a S S -=-是解题的关键.
8．A
解析：A
分析：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
，可得()214ab a b ≥+，又115a b a b +++=，可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛
⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭
，化简整理即可得出. 详解：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
，可得()214ab a b ≥+，
又11
5a b a b
++
+=， 可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛
⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭
， 化为()()2
540a b a b +-++≤， 解得14a b ≤+≤， 则+a b 的取值范围是[]1,4. 故选：A.
点睛：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
9．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A ，进而利用二倍角余弦公式得到结果. 【详解】
∵()cos 4cos a B c b A =-． ∴sin A cos B ＝4sin C cos A ﹣sin B cos A 即sin A cos B +sin B cos A ＝4cos A sin C ∴sin C ＝4cos A sin C ∵0＜C ＜π，sin C ≠0． ∴1＝4cos A ，即cos A 1
4
=
， 那么2
7cos2218
A cos A =-=-． 故选C 【点睛】
本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．
解析：D 【解析】
由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23， 得(a ＋c )·(a ＋b )＝4－23. ∵a 、b 、c >0.
∴(a ＋c )·(a ＋b )≤2
2b c 2a ++⎛⎫ ⎪
⎝⎭
(当且仅当a ＋c ＝b ＋a ，即b ＝c 时取“＝”)，
∴2a ＋b ＋c ≥2423－＝2(3－1)＝23－2. 故选：D
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
令1n =，由11a S =可求出1a 的值，再令2n ≥，由21n n S a =-得出1121n n S a --=-，两式相减可得出数列{}n a 为等比数列，确定出该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求出5a 的值. 【详解】
当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，解得11a =；
当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得
12n n a a -=.
所以，数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，则4
51216a =⨯=，
故选：B. 【点睛】
本题考查利用n S 来求通项n a ，一般利用公式11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，同时也要注意等差数
列和等比数列定义的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
12．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据三角形内角和定理可知
，再由正弦定理即可求出AB .
由内角和定理知，
所以，
即，
故选D. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，属于中档题.
二、填空题
13．【解析】【分析】由余弦定理得结合条件将式子通分化简得再由辅助角公式得出当时取得最大值从而求出结果【详解】在中由余弦定理可得所以其中当取得最大值时∴故答案为：【点睛】本题考查解三角形及三角函数辅助角公 解析：
213
13
【解析】 【分析】
由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，结合条件23sin c ab C =，将式子b a
a b
+通分化简得3sin 2cos C C +，再由辅助角公式得出
b a
a b +()13sin C ϕ=+，当2
C πϕ+=时，b a
a b +取得最大值，从而求出结果. 【详解】
在ABC ∆中由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，
所以2222cos 3sin 2cos 3sin 2cos b a a b c ab C ab C ab C C C a b ab ab ab
++++====+
()13sin C ϕ=+，其中213sin ϕ=
，313
cos ϕ=，
当b a a b +
取得最大值13时，
2
C
π
ϕ
+=，∴
213
cos cos sin
213
C
π
ϕϕ
⎛⎫
=-==
⎪
⎝⎭
．
故答案为：
213
.
【点睛】
本题考查解三角形及三角函数辅助角公式，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 14．4【解析】【分析】设f（x）x2﹣3x+4其函数图象是抛物线画两条与x轴平行的直线y＝a和y＝b如果两直线与抛物线有两个交点得到解集应该是两个区间；此不等式的解集为一个区间所以两直线与抛物线不可能有
解析：4
【解析】
【分析】
设f（x）
3
4
=x2﹣3x+4，其函数图象是抛物线，画两条与x轴平行的直线y＝a和y＝b，如果两直线与抛物线有两个交点，得到解集应该是两个区间；此不等式的解集为一个区间，所以两直线与抛物线不可能有两个交点，所以直线y＝a应该与抛物线只有一个或没有交点，所以a小于或等于抛物线的最小值且a与b所对应的函数值相等且都等于b，利用f （b）＝b求出b的值，由抛物线的对称轴求出a的值，从而求出结果．
【详解】
解：画出函数f（x）＝
3
4
x2﹣3x+4＝
3
4
（x－2）2＋1的图象，如图，
可得f（x）min＝f（2）＝1，
由图象可知，若a>1，则不等式a≤
3
4
x2－3x＋4≤b的解集分两段区域，不符合已知条件，因此a≤1，此时a≤x2－3x＋4恒成立．
又不等式a≤
3
4
x2－3x＋4≤b的解集为[a，b]，
所以a≤1<b，f（a）＝f（b）＝b，可得
2
2
3
34
4
3
34
4
a a b
b b b
⎧
-+=
⎪⎪
⎨
⎪-+=
⎪⎩
由
3
4
b2－3b＋4＝b，化为3b2－16b＋16＝0，
解得b ＝
43或b ＝4. 当b ＝43时，由34a 2－3a ＋4－43＝0，解得a ＝43或a ＝83
， 不符合题意，舍去，
所以b ＝4，此时a ＝0，
所以b －a ＝4.
故答案为：4
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，解题时应灵活应用函数的思想解决实际问题，是中档题．
15．【解析】【分析】由题意可得运用累加法和裂项相消求和可得再由不等式恒成立问题可得恒成立转化为最值问题可得实数的取值范围【详解】解：由题意数列中即则有则有又对于任意的不等式恒成立即对于任意的恒成立恒成立 解析：(,1]-∞-
【解析】
【分析】 由题意可得11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++，运用累加法和裂项相消求和可得11
n a n ++，再由不等式恒成立问题可得232t a ≤-⋅恒成立，转化为最值问题可得实数t 的取值范围．
【详解】
解：由题意数列{}n a 中，1(1)1n n na n a +=++，
即1(1)1n n na n a +-+= 则有11111(1)1
n n a a n n n n n n +-==-+++ 则有
11111111n n n n n n a a a a a a n n n n n n ++--⎛⎫⎛⎫⎛=-+-+- ⎪ ⎪ ++--⎝⎭⎝⎭⎝2211122n a a a a n -⎫⎛⎫+⋯+-+ ⎪⎪-⎝⎭⎭ (11111111121n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+ ⎪ ⎪ ⎪+---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11)12221n -+=-<+ 又对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ，不等式1321
t n a a n +<-⋅+恒成立， 即232t a ≤-⋅对于任意的[2,2]a ∈-恒成立，
21t a ∴⋅≤，[2,2]a ∈-恒成立，
∴2211t t ⋅≤⇒≤-，
故答案为：(,1]-∞-
【点睛】
本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题
的解法，关键是将1(1)1n n na n a +=++变形为11111
n n a a n n n n +-=-++． 16．【解析】由三角形中三边关系及余弦定理可得应满足解得∴实数的取值范围是答案：点睛：根据三角形的形状判断边满足的条件时需要综合考虑边的限制条件在本题中要注意锐角三角形这一条件的运用必须要考虑到三个内角的
解析：a <<【解析】
由三角形中三边关系及余弦定理可得a 应满足
22222222224130130310
a a a a <<⎧⎪+->⎪⎨+->⎪⎪+->⎩
，解得a << ∴实数a
的取值范围是．
答案：
点睛：
根据三角形的形状判断边满足的条件时，需要综合考虑边的限制条件，在本题中要注意锐角三角形这一条件的运用，必须要考虑到三个内角的余弦值都要大于零，并由此得到不等式，进一步得到边所要满足的范围．
17．4980【解析】【分析】表中第行共有个数字此行数字构成以为首项以2为公差的等差数列根据等差数列求和公式及通项公式确定求解【详解】解：表中第行共有个数字此行数字构成以为首项以2为公差的等差数列排完第行
解析：4980
【解析】
【分析】
表中第n 行共有12n -个数字，此行数字构成以2n 为首项，以2为公差的等差数列．根据等差数列求和公式及通项公式确定求解.
【详解】
解：表中第n 行共有12n -个数字，此行数字构成以2n 为首项，以2为公差的等差数列．排完第k 行，共用去1124221k k -+++⋯+=-个数字，
2018是该表的第1009个数字，
由19021100921-<<-，
所以2018应排在第10行，此时前9行用去了921511-=个数字，
由1009511498-=可知排在第10行的第498个位置，
即104984980m n =⨯=g
， 故答案为：4980
【点睛】
此题考查了等比数列求和公式，考查学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是
找出规律，要求学生要有一定的解题技巧．
18．8【解析】【分析】根据求得再求出带入不等式解不等式即可【详解】因为数列为正项的递增等比数列由解得则整理得：使不等式成立的最大整数为故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和同时考 解析：8
【解析】
【分析】
根据1524158281a a a a a a +=⎧⎨==⎩，求得15181
a a =⎧⎨=⎩，13-=n n a .再求出13(1)3n n T =-，带入不等式112020|1|13n n
T a -->，解不等式即可. 【详解】
因为数列{}n a 为正项的递增等比数列，
由1524158281a a a a a a +=⎧⎨==⎩，解得15
181a a =⎧⎨=⎩. 则3q =，13-=n n a .
1(1)1323(1)1313
n n n T -
=⨯=--. 112020|1|13n n T a -->⇒1112020|11|133n n ---->. 整理得：38080n <.
使不等式成立的最大整数n 为8.
故答案为：8
【点睛】
本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.
19．-8【解析】设等比数列的公比为很明显结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：由可得：代入①可得由等比数列的通项公式可得【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题解决这类问题的关键在于 解析：-8
【解析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，很明显1q ≠-，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：
()()
12121311113a a a q a a a q ⎧+=+=-⎪⎨-=-=-⎪⎩，①
，②，由②①可得：2q =-，代入①可得11a =， 由等比数列的通项公式可得3418a a q ==-.
【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
20．【解析】【分析】根据不等式的解集是求得的值从而求解不等式的解集得到答案【详解】由题意因为不等式的解集是可得解得所以不等式为即解得即不等式的解集为【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法其中解答中根 解析：11(,)23
-- 【解析】
【分析】
根据不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，求得,a b 的值，从而求解不等式250bx x a -+>的解集，得到答案.
【详解】
由题意，因为不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-， 可得53(2)(3)(2)a b a ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-⨯-=⎪⎩
，解得1,6a b =-=-， 所以不等式250bx x a -+>为26510x x --->，
即2651(31)(21)0x x x x ++=++<，解得1123
x -<<-， 即不等式250bx x a -+>的解集为11(,)23--.
【点睛】
本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中根据三个二次式之间的关键，求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
三、解答题
21．(1) 3A π=
【解析】
【分析】
（1）由余弦定理得2cos cos cos b A a C c A =+，再由正弦定理得
2sin cos sin()B A A C ⋅=+，进而得1cos 2A =
，即可求解 （2）在Rt AED ∆
中，求得2
AD =
，AC =，再ABC ∆中由正弦定理得4B π=，结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】 （1）由余弦定理有22cos cos cos bc A ac C c A =+，
化简得2cos cos cos b A a C c A =+，
由正弦定理得2sin cos sin cos cos sin sin()B A A C C A A C ⋅=⋅+=+
∵A B C π++=，∴2sin cos sin B A B ⋅=，
∵0B π<<，∴sin 0B ≠，∴1cos 2A =
，又由0A π<<，∴3
A π=. （2）在AEC ∆中，D 为边AC 的中点，且DE AC ⊥， 在Rt AED ∆
中，DE =，3A π=
，所以AD =
，AC = ABC ∆中由正弦定理得
sin sin AC BC B A =
，得sin B 4B π=，512C π=，
所以13sin 24
ABC S AC BC C ∆=
⋅=【点睛】 本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
22．（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）6
【解析】
【分析】 （Ⅰ）由递推公式凑出1132n n a a ++--与32
n n a a --的关系，即可得证 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得2111222
n n n n n a b a a --=-==--，即可得到{}(21)n n b -⋅的通项公式，再用错位相减法求和，证明其单调性，可得得解.
【详解】 解：（Ⅰ）()*164
n n n a a n a +-=∈-N Q
1163346224
n n n n n n a a a a a a ++----∴=---- 6312628n n n n a a a a --+=
--+ 2(3)(2)
n n a a --=-- 322
n n a a -=- 32n n a a ⎧⎫-∴⎨⎬-⎩⎭是首项为113132212a a --==--，公比为2的等比数列 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，322
n n n a a -=-， 即2111222
n n n n n a b a a --=-==--， 21212n n n b n ∴-⋅=-⋅（）（）
123S 123252...(21)2n n n =⋅+⋅+⋅++-⋅①
23412S 123252...(21)2n n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅②，
①减②得
11231142S 122(22...2)(21)2
22(21)212
n n n n n n n +++--=⋅+++--⋅=+⋅--⋅- 1(32)26n n +=-⋅-.
1S (23)26n n n +∴=-⋅+ 2111S S (21)2(23)22210n n n n n n n n ++++∴-=-⋅--⋅=+>（），
S n ∴单调递增.
76S 92611582019=⨯+=<Q ，
87S 112628222019=⨯+=>.
故使S 2019n <成立的最大自然数6n =.
【点睛】
本题考查利用递推公式证明函数是等比数列，以及错位相减法求和，属于中档题.
23．（1）
6
π（2）2 【解析】
【分析】
（1
）转化条件得()2sin cos A C B C =+
，进而可得cos C =
，即可得解； （2）由56A B π+=化简可得2sin 3y A π+=⎛⎫ ⎪⎝⎭，由50,6A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭结合三角函数的性质即可得解.
【详解】
（1）Q //m n u r r ，
∴(
)
2cos cos a C B ，
由正弦定理得2sin cos cos cos A C B C C B ，
∴)2sin cos sin cos sin cos A C B C C B =+
即()2sin cos A C B C =+， 又 B C A +=π-，
∴2sin cos A C A ，
又 ()0,A π∈，∴sin 0A ≠，
∴cos C =
， 由()0,C π∈可得6C π
=.
（2）由（1）可得56A B π+=，∴56
B A π=-，
∴5()()3632
()y sinA B sinA A sinA A ππππ=-+=---=
2sin 3sinA A A π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭=， Q 50,6A π⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭，∴7,336A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭
，∴(]2sin 1,23A π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，
∴()3
y sinA B π=-的最大值为2. 【点睛】
本题考查了平面向量平行、正弦定理以及三角恒等变换的应用，考查了三角函数的性质，属于中档题.
24．（1）*21,n a n n N =-∈（2）存在，2,12m k ==
【解析】
【分析】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式与前n 项和公式得
112512238a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112
a d =⎧⎨=⎩，从而求出21n a n =-； （2）由（1）得()
2122n n n S n n -=+⨯=，由21
1114122121n b n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭
，利用
裂项相消法得21n n T n =+，若23k m T T =，则()
2232121k m k m =++，整理得223412m k m m =+-，由1k m >>
得11m <<+，从而可求出答案． 【详解】
解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，
由2541216a a S +=⎧⎨=⎩得112512238a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112
a d =⎧⎨=⎩， ()*12121,n a n n n N ∴=+-=-∈； （2）()
2122
n n n S n n -=+⨯=， 21
1114122121n b n n n ⎛⎫∴==- ⎪--+⎝⎭，1211111111111123352321212122121n n n T b b b n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+=
-+-+⋅⋅⋅+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，
若23k m T T =，则()2232121k m k m =++，整理得223412m k m m
=+-， 又1k m >>，2
234121m m m m m ⎧>⎪∴+-⎨⎪>⎩，整理得222104121m m m m m ⎧-->⎪+-⎨⎪>⎩
，
解得11m << 又*m N ∈，2m ∴=，12k ∴=，
∴存在2,12m k ==满足题意．
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质与求和，考查裂项相消法求和，属于中档题．
25．（1）14
n n a -=，*n N ∈；（2）4(34)49
n n n T +-⋅=． 【解析】
【分析】
（1）设公比为q ，运用等比数列的求和公式，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；
（2）求得1(1)(1)4n n n a n --=-⋅，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．
【详解】
（1）设公比q 为4的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且485S =，
可得41(14)8514
a -=-，解得11a =， 则14n n a -=，*n N ∈；
（2）1(1)(1)4n n n a n --=-⋅，
前n 项和2310142434(1)4n n T n -=+⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅，
23440142434(1)4n n T n =+⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅，
两式相减可得23134444(1)4n n n T n --=+++⋯+--⋅
14(14)(1)414
n n n --=--⋅-， 化简可得4(34)49
n
n n T +-⋅=． 【点睛】
本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用、数列的错位相减法，考查化简运算能力，属于中档题．
26．(1) 43n a n =-;(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
【详解】
（1）∵2(1)n n S na n n =--①，
∴11(1)2(1)n n S n a n n ++=+-+②，
②-①，11(1)4n n n a n a na n ++=+--，
∴14n n a a +-=，又∵等比数列{}n b ，5352T T b =+，
∴535452T T b b b -=⇐=，1q =，
∴11a =，∴数列{}n a 是1为首项，4为公差的等差数列，
∴14(1)43n a n n =+-=-；
（2）由（1）可得111111()(43)(41)44341
n n a a n n n n +==--+-+， ∴11111111(1)(1)45594341441n M n n n =
-+-+⋅⋅⋅+-=--++，∴111(1)454n M -≤<， 即1154
n M ≤<． 考点：1．等差等比数列的运算；2．列项相消法求数列的和．。