差倍问题.题库教师版.doc

差倍问题
知识概述
1.掌握差倍问题的基本解法以及相关的年龄等应用题.
2.熟练应用通过图示来表示数量关系．
知识点说明：
差倍问题就是已知大小两数的差，以及大小两数的倍数关系，求大小两数的问题．
差倍问题的特点与和倍问题类似。

解答差倍问题的关键是要确定两个数量的差及相对应的倍数差，一般情况下，在题目中不直接给出，需要经过调整和计算才能得到。

解题思路：首先要在题目中找到1倍量，然后画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量
差倍问题的基本关系式：
差÷(倍数－1)=1倍数(较小数)
1倍数×几倍=几倍数(较大数)或较小数+差=较大数
解决差倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系．
年龄问题的和差与差倍问题主要利用的年龄差不变。

板块一、差倍问题
【巩固】甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？
【例1】有两根铁丝，第一根长18米，第二根长10米，两根铁丝用去同样长的一段后，第一根剩下的长度是第二根剩下长度的3倍，两根铁丝各剩下多少米？
【解析】用去同样长的一段后，两段长度差为：18108
-=（倍），
-=（米），且第一根比第二根多：312则第二根剩下：824
÷=（米），第一根剩下：4312
⨯=（米）．
【巩固】有两条纸带，一条长21厘米，一条长13厘米，两条纸带都剪下同样的一段后，长纸带剩下的长度是短纸带剩下的3倍，问剪下的一段有多长？
【解析】长纸带剩下长度比短纸带剩下的长度长：21138
÷-=（厘
-=（厘米），短纸带剩下：8(31)4
米），剪下：1349
-=（厘米）．
【巩固】二⑴班的图书角里有故事书和连环画共47本，如果故事书拿走7本后，故事书的本数就是连环画的4倍.原有连环画和故事书各有多少本？
【解析】可引导学生，让他们自己画图来分析，教师辅导指正．从线段图可以看出，如果故事书拿走7本以后，则正好是连环画的4倍.这时故事书与连环画总数应减少7本，列式成47740
-=(本)，正好是连环画本数的(1+4)倍.
【例2】有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根长的3倍，两根绳子原来各长多少米？
【解析】两根绳子原来的长度一样长，但是从第一根截去12米，第二根绳子又接上14米后，第二根的长度是第一根的3倍.应该把变化后的第一根长度看作1倍，而12+14=26（米），正好相当于
第一根绳子剩下的长度的2倍.所以，当从第一根截去12米后剩下的长度可以求出来了，那么
第一根、第二根原有长度也就可以求出来了。

第一根截去12米剩下的长度：（12+14）÷（3-1）＝13（米）
两根绳子原来的长度：13＋12＝25（米）
【巩固】有甲、乙两艘货船，甲船所载货物是乙船的3倍．若甲船增加货物1200吨，乙船增加货物900吨，则甲船所载货物是乙船的2倍．甲船原载货物多少吨?
【例3】某迎春茶话会上，买来苹果4箱，已知每箱苹果取出24千克后，剩余的各箱苹果总和等于原来一箱苹果的重量，问原来一箱苹果多重？
【解析】取出24496
⨯=千克，即原来的比剩下的多96千克，原来有4箱，剩下一箱的重量，即原来的是剩下的4倍，所以96(41)32
÷-=（千克）为剩下的重量，即一箱的重量．
【巩固】菜站运来的白菜是萝卜的3倍，卖出白菜1800千克，萝卜300千克，剩下的两种蔬菜的重量相等，菜站运来的白菜和萝卜各是多少千克？
【巩固】小云比小雨少20本书，后来小云丢了5本书，小雨新买了11本书，这时小雨的书比小云的书多2倍.问：原来两人各有多少本书？
【巩固】三（1）班与三（2）班原有图书数一样多.后来，三（1）
班又买来新书74本，三（2）班从本班原书中拿出96本送
给一年级小同学，这时，三（1）班图书是三（2）班的3
倍，求两班原有图书各多少本？
【巩固】学而思图书馆书架上下两层放着一批书，如果上层少放8本，上下两层的本书就一样多，如果下层少放8本，上层的书就是下层的2倍，问书架上下两层各有多少本书？
【解析】如果上层少放8本，上下两层的本书就一样多，说明上层比下层多8本；如果下层少放8本，上层的书就是下层的2倍，把下层书作为一倍量，下层少放8本之后与上层相差的本数是：
+=(本)，此时下层书的本数是：16(21)16
+=(本)书，上层有8816
÷-=(本)，所以下层有16824
+=(本)．
24832
【例4】(2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛初赛)兄妹俩人去买文具，哥哥带的钱是妹妹的两倍，哥哥用去180元，妹妹用去30元，这时兄妹俩人剩下的钱正好相等，哥哥带了________
元钱，妹妹带了________元钱．
【解析】由题目的条件“哥哥带的钱是妹妹的两倍”知：哥哥的钱比妹妹的钱多一倍，又由“哥哥用去180元，妹妹用去30元，这时兄妹俩人剩下的钱正好相等，知：哥哥比妹妹多18030150
-=（元），则知妹妹带了150元，哥哥带了300元．
【巩固】食堂里有94千克面粉，138千克大米，每天用掉面粉和大米各9千克，几天后剩下的大米是面粉的3倍？
【解析】因每天用掉的面粉和大米数量相等，不论经过多少天，面粉和大米的数量差都不变，仍然是：138-94=44（千克）。

我们把几天后剩下的面粉重量看作1份，大米重量也就是3份，则几天后剩下面粉：44÷（3-1）=22（千克）。

用掉的面粉总量除以每天用面粉数量，可以得出所求的天数：（94-22）÷9=8（天）。

【例5】幼儿园大班每人发17张画片，小班每人发13张画片，小班人数是大班人数的2倍，小班比
大班多发126张画片，那么小班有多少人？
【解析】小班每2个人就会发13226
-=张
⨯=张画片，那么，小班的2个人比大班的1个人多发了26179画片，总共多发了126张，所以小班有1269228
÷⨯=人．
【巩固】实验小学一校区人数比实验小学二校区人数少540人，因为第三校区建成，从两个校区各调走200人，这时实验小学二校区人数恰好是实验小学一校区人数的4倍，那么实验小学一校区和实
验小学二校区原来各有多少人？
【解析】两校区各调走200人之后还是相差540人，对应的倍数是：413
-=倍，实验小学一校区调走200人后剩下的人数是：540(41)180
÷-=(人)，实验小学一校区原有：180200380
+=(人)，实验小学二校区为：380540920
+=(人).
【例6】有两盘苹果，如果从第一盘中拿2个放到第二个盘里，那么两盘的苹果数相同；如果从第二个盘中拿2个放到第一盘里，那么第一盘的苹果数是第二盘的2倍．第一盘有苹果多少个? 【解析】原来第一盘比第二盘多：224
+=(个)，从第二盘拿2个到第一盘里，第一盘就比第二盘多：
÷-=(个)，第一盘原有苹果：++=(个)，第二盘拿走2个后剩下的苹果数为：8(21)8
4(22)8
⨯-=(个) ．
82214
【巩固】小青和小红每人都有一些水彩笔，如果小青给小红1支，两人就一样多，如果小红给小青1支，小青的水彩笔就是小红的2倍，那么小青和小红各有多少支水彩笔？
【解析】“小青给小红1支，两人就一样多”说明小青原来比小红多112
+=(支)，“如果小红给小青1支，小青的水彩笔就是小红的2倍”则小红给小青1支后，小青就比小红多2114
++=(支)，这与倍数差211
÷=(支)，她原来就是-=（倍）相对应，这样就可以求到小红的水彩笔现在是414
+=(支).
+=(支)，小青原来是：527
415
【巩固】小明和小刚各有玻璃弹球若干个.小明对小刚说：“我若给你两个，我们的玻璃弹球一样多.”小刚说：“我若给你两个，你的弹球数量将是我的3倍.”小明和小刚共有玻璃弹球多少个？
【解析】由小明说的话推知，小明的玻璃球比小刚多4个，如果小刚给小明2个，那么小明比小刚多8个.
8个是小刚还剩下玻璃球数量的3-1＝2倍，此时小刚有玻璃球8÷2＝4（个），小明有玻璃球
4+8＝12（个），两人共有玻璃球4+12＝16（个）
【例7】小新家有大小两个书架，大书架上的书的本数是小书架的3倍，如果从大书架上取走150本放到小书架上，那么两个书架上的书一样多，大小书架上原来各有多少本书?
【解析】根据从大书架上取出150本书放人小书架，两个架上的书的本数相等，知大书架比小书架多150×2＝300本．这样就可以作为一道典型的“差倍问题”来进行解答了．
由于大书架上的书是小书架的3倍，把小书架上书的本数看做I倍量，大书架比小书架多300本对应于小书架的(3－1)倍量．
大书架比小书架多的书数：150×2＝300(本)，
两个书架相差几倍：3－1＝2倍，
小书架原有书：300÷2＝150(本)，
大书架原有书：150×3＝450(本)．
【巩固】甲、乙两桶油重量相等，甲桶取走16千克油，乙桶加入14千克油后，乙桶油的重量是甲桶油的重量的4倍．甲桶原来有油多少千克？
【解析】后来乙比甲多141630
÷-=(千克)，甲桶原来有+=千克油，所以这时甲桶油的重量是：30(41)10
油101626
+=(千克) ．
【巩固】两根绳，第一根长64米，第二根长52米，剪去同样长后，第一根是第二根的3倍，求每根绳减去几米？
【解析】剪去同样长后，第一根比第二根长(6452)
-米，因此，第二根剩下的长为
-=米．
-÷-=米，从而剪去的长度为52646
(6452)(31)6
【巩固】两个筐中各有苹果若干千克，第一个筐中的苹果是第二筐中的苹果的4倍，如果从第一个筐中取出26千克苹果，从第二个筐中取出2千克苹果，则两筐苹果的重量相等．你知道这
两个筐中原来各有苹果多少千克吗?
【解析】从图中可以看出，第一个筐中的苹果是第二筐的4倍，则
第二筐的苹果数是一倍数．如果第二筐中少取出2千
克，剩下的重量就正好相当于1倍，那么两筐苹果的相差数26－2＝24(千克)，相当于第二筐原
来重量的3倍．两筐苹果的差和倍差都知道了，就可以求出两筐苹果原来的重量．两筐苹果的倍数差是4－1＝3（倍），两筐苹果相差26－2＝24(千克)，第二筐原来有苹果重量24÷3＝8(千克)，第一筐原来有苹果重量8×4＝32（千克）.
【巩固】两块同样长的花布，第一块卖出31米，第二块卖出19米后，第二块是第一块的4倍，求每块花布原有多少米？
【解析】已知两块花布同样长，由于第一块卖出的多，第二块卖出
的少，因此第一块剩下的少，第二块剩下的多.所剩的布第
二块比第一块多31-19=12（米）.又知第二块所剩下的布
是第一块的4倍，那么第二块比第一块多出的12米正好
相当于所剩布的（4-1）倍，这样，第一块所剩布的长度即可求出（见上图）。

第二块布比第一块布多剩多少米？31-19＝12（米）
第一块布剩下多少米？12÷（4-1）=4（米）
第一块布原有多少米？4+31=35（米）（两块布原有长度相等）
综合列式：（31-19）÷（4-1）+31=12÷3+31=4＋31=35（米）
【例8】学而思学校买来白粉笔比彩色粉笔多15箱，白粉笔的箱数比彩色笔的4倍还多3箱，学而思学校买来白粉笔和彩色粉笔各多少箱？
【解析】这不是一道典型的“差倍问题”，但我们可以通过适当的变形，将其作为一个典型的“差倍问题”
来解决．见上图，由于白笔比彩笔的4倍多3箱，故把彩笔看做1倍数，(白笔－3)就相当于彩
笔的4倍，即彩笔比(白笔－3)少3倍，注意此时白笔比彩笔多15312
-=（箱）．彩色粉笔的箱数1234
÷=(箱)，白色粉笔的箱数：4+15=19(箱)．
【巩固】学而思学校买来白粉笔比彩色粉笔多15箱，白粉笔的箱数比彩色笔的4倍少3箱，学而思学校买
来白粉笔和彩色粉笔各多少箱？
【解析】把彩笔看做1倍数，(白笔＋3)就相当于彩笔的4倍，即彩笔比(白笔－3)少3倍，注意此时白笔比彩笔多15+3=18箱．彩色粉笔的箱数1836
+=(箱)
÷=(箱)，白色粉笔的箱数：61521
【例9】甲、乙、丙三所小学学生人数的总和为1999，已知甲校学生人数的2倍，乙校学生人数减3，丙校学生人数加4都是相等的，问：甲、乙、丙各校的人数是多少？
【解析】甲校学生人数为：(199934)(122)400
-+÷++=（人），乙校学生人数为：40023803
⨯+=（人），丙校学生人数为：40024796
⨯-=（人）．甲、乙、丙三校的人数分别为400，803，796．
【巩固】红旗小学三年级有甲、乙、丙三个班，一共有学生162人．如果从甲班转出2个人到乙班，则甲、乙两班人数相同．如果这时再从丙班转出3个人到乙班，则乙、丙两班人数相同．请问：
甲班原来有多少人？
【解析】由题意，现在的甲班比乙班多224
⨯=（人），丙班比乙班多3228
⨯+=（人），即丙班比甲班还多844
-=（人）．所以甲班人数为：
-+÷++=（人）．
(16244)(111)54
【例10】小明、小红、小玲共有73块糖．如果小玲吃掉3块，那么小红与小玲的糖就一样多；如果小红给小明2块糖，那么小明的糖就是小红的糖的2倍．问小红有多少块糖？
【解析】如果小玲吃掉3块，那么小红与小玲的糖就一样多，说明小玲比小红多3块；如果小红给小明2块
糖，那么小明的糖就是小红的糖的2倍，即小明的糖加2是小红的糖减2后的2倍，说明小明的
糖是小红的糖的2倍少2226
⨯+=块．所以，小红有
-+÷++=块糖．
(7336)(112)19
【巩固】甲、乙、丙三数的和是78，甲比乙的2倍多4，乙比丙的3倍少2．求这三个数．
【解析】这道题里出现了3个数，首先要确定把哪个数看作“1倍数”．把丙数看作“1倍数”算起来更简
便．这样，乙数就是“3倍少2”．甲数是“乙数的2倍多4”，可转化为：甲数是丙数的(3倍+=倍，这三个数的和就相当于丙数的6倍+(3倍-2)+1倍=10倍-2．-⨯246
2)
+÷++=……丙83222
(782)(631)8
⨯-=……乙2224
⨯+=……甲
【例11】小丸子家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多13只，比白鸡少18只，白鸡的只数是黄鸡2倍，白鸡、黄鸡、黑鸡一共多少只？
【解析】 以黄鸡的只数为标准，白鸡的只数是黄鸡的2倍，所
以黄鸡：18÷（2－1）＝18（只），白鸡：18×2＝
36（只），黑鸡：18－13＝5（只），三种鸡共有：18+36+5＝59（只）
【例 12】 某养殖厂养鸡、鸭、鹅共1462只，鸡的只数比鸭的4倍多132只，鹅的只数比鸭的2倍少
70只．这个养殖厂养的鸡、鸭、鹅各有多少只？
【解析】 我们把鸭的只数看作1份，鸡的只数看作4份，鹅的只数看作2份，鸡、鸭、鹅的总只数就相当
于鸭的：1 4 +27+=(份)．而鸡、鸭、鹅的总只数可以看作：1462132 701400-+=(只)．用总只数除以总份数，先求出鸭的只数，再求鸡和鹅的只数．
鸭的只数：(146213270)(142)14007200-+÷++=÷=(只)；
鸡的只数：200 4 132800 132932⨯+=+=(只)；
鹅的只数：20027040070330⨯-=-=(只)．
【例 13】 甲、乙两个小朋友各有一袋糖，每袋糖不到20粒．如果甲给乙一定数量的糖后，甲的糖就
是乙的糖粒数的2倍；如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖就是乙的糖粒数的3倍．那么甲、
乙两个小朋友共有多少粒糖？
【解析】 总体和部分，比较分析．甲给乙一定数量糖后，甲占总数的23
，乙给甲一定数量后，甲占总数的34．则前后变化3214312-=．又由于前后变化为2倍的“同样数量的糖”，所以每次变化1121224
÷=，所以糖的总数能被24整除．由于每袋糖不超过20粒，则糖的总数不超过40粒，又是24的倍数，则只能是24．
【巩固】 在一次考试中，甲、乙两人考试结果如下：甲答错了全部试题的13
，乙答错了7道题，甲、乙都答错的题目占全部试题的15
，则甲、乙两人都答对的题目最少多少道？ 【解析】 容斥原理．甲答错、乙答对的题占全部试题的1123515-=，那么甲、乙都答对的题目有1315
的全部试题减去7道乙答错的题目．可见全部试题越少，甲、乙都答对的题目就越少．则全部试题至少
有15道，甲、乙两人都答对的题目最少有13157615
⨯
-=道． 【例 14】 在期末考试中，哥哥的数学成绩比语文高7分，弟弟的数学成绩是语文的
67．又知道弟弟的数学成绩比哥哥的数学成绩的
56
高4分，总成绩比哥哥低3分，那么弟弟的语文成绩是多少分？ 【解析】 把弟弟的语文成绩设为x 分，则弟弟的数学成绩是67x 分，哥哥的数学成绩为66475
x ⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭分，哥哥语文成绩为664775
x ⎛⎫-⨯+ ⎪⎝⎭分．那么由总成绩的关系可以列式：6663427775x x x ⎛⎫++=-⨯⨯- ⎪⎝⎭
，化简得481055x =+，则98x =． 所以弟弟的语文成绩是98分．
【例 15】 一小、二小两校春游的人数都是10的整数倍，出行时两校人员不合乘一辆车，且每辆车尽
量坐满．现在知道，若两校都租用14座的旅游车，则两校共需租用这种车72辆；若两校都
租用19座的旅游车，则二小要比一小多租用这种车7辆．问两校参加这次春游的人数各是
多少？
【解析】 根据题意可知，两校总人数不少于14(722)11982⨯-++=人，且不多于14721008⨯=人，因为是
10的整数倍，所以总人数为1000人，或990人．
由于二小比一小多租用7辆19座的旅游车，所以二小与一小的人数之差不小于6191115⨯+=人，不大于8191151⨯-=人，又是10的倍数，可能的情况有：120、130、140、150．
如果总人数为1000人，两校人数之差：
如为120，则一小有(1000120)2440-÷=，二小有560人；
如为130，则一小有(1000130)2435-÷=，二小有565人，不符；
如为140，则一小有(1000140)2430-÷=，二小有570人；
如为150，则一小有(1000150)2425-÷=，二小有575人，不符；
检验可知一小430人、二小570人符合题意．
如果总人数为990人，同样检验两校人数之差分别为120、130、140、150的情况，可知都没有
符合条件的答案．
所以这次春游人数一小是430人，二小是570人．
板块二、年龄问题的和差与差倍
【例16】爸爸妈妈现在的年龄和是72岁；五年后，爸爸比妈妈大6岁．今年爸爸妈妈二人各多少岁？【解析】五年后，爸爸比妈妈大6岁，即爸妈的年龄差是6岁．它是一个不变量．所以爸爸、妈妈现在的年龄差仍然是6岁．这样原问题就归结成“已知爸爸、妈妈的年龄和是72岁，他们的年龄差是6岁，求二人各是几岁”的和差问题．
爸爸的年龄：726239
（）(岁)
+÷=
妈妈的年龄：39633
-=(岁)
【例17】爸爸妈妈现在的年龄和是72岁；六年后，爸爸比妈妈大4岁.今年爸爸妈妈二人各多少岁？【解析】六年后，爸比妈大4岁，即爸妈的年龄差是4岁.它是一个不变量.所以爸爸、妈妈现在的年龄差仍然是4岁.这样原问题就归结成“已知爸爸、妈妈的年龄和是72岁，他们的年龄差是4岁，求二人各是几岁”的和差问题．爸爸年龄：(724)238
+÷=（岁），妈妈的年龄：38434
-=（岁）所以，爸爸的年龄是38岁，妈妈的年龄是34岁.
【巩固】爸爸今年38岁，佳佳今年2岁，问：几年后，父亲的年龄是佳佳的5倍？
【解析】父女年龄差是：38236
-=（岁），这个数量是不会变化的，这一点很关键.当父亲的年龄恰好是女儿年龄的5倍时，父亲仍比女儿大36岁，这36岁是父亲比女儿多的514
-=倍所对应的年龄.
-=（年），即7年后，父亲的年龄是佳佳的5倍
-÷-=（岁），927
(382)(51)9
【例18】姐姐今年13岁，弟弟今年9岁，几年后姐弟俩岁数和是40岁？姐姐到时多少岁了？
【解析】由题意，姐弟俩今年的年龄和是13922
+=（岁），用几年后姐弟俩的岁数和40岁减去今年姐弟俩的年龄和22岁，就得到姐弟俩经过的年数和，即为402218
-=（年），最后再除以2，就求出姐弟俩每人经过的年数.经过的年数都是：1829
+=
÷=（年）．可以求出姐姐的年龄是13922
用线段图显示数量关系.姐弟俩的年龄差总是1394
-=（岁），不管经过多少年，姐弟年龄的差仍
是4岁，由图可见，如果从40岁中减去姐弟年龄的差，再除以2就得到所求的弟弟的年龄，也就可以求出姐姐的年龄了.弟弟的年龄：(404)218
-÷=（岁），姐姐的年龄：18422
+=（岁）．
【例19】新老运动员把话谈，手拉手儿笑微微.老将说：“我比你大10岁.”新手说：“上次你比我大一倍.”运动会四年开一次，两人年龄各几岁？
【解析】我们把这个问题译成常见应用题表述形式为：今年，老运动员年龄比新运动员大10岁；四年前，老运动员年龄比新运动员大一倍.新、老运动员今年各几岁？
大家还记得年龄问题的基本关系吗？
几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄
几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差
那么上面的这道题解法是：新运动员：10(21)414
÷-+=（岁），老运动员：141024
+=（岁）．
【例20】兄弟俩今年的年龄和是30岁，当哥哥像弟弟现在这样大时，弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的一半．问：哥哥今年几岁？
【解析】假设他们的年龄差是1份，由“哥哥像弟弟现在这样大时，弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的一半”
可知弟弟的年龄是2份，哥哥的年龄是3份，所以每一份是30(23)6
÷+=(岁)，那么哥哥的年龄是6318
⨯=(岁)．
【巩固】哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在的年龄和为30岁．问：哥哥现在多少岁？
【解析】假设弟弟当年年龄是1份，那么哥哥现在的年龄就是3份，因为哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，因为弟弟当年年龄，弟弟现在年龄(哥哥当年年龄)，哥哥现在年龄这三个数是等差的，所以弟弟现在年龄(哥哥当年年龄)就刚好是2份，那么兄弟现在的年龄和是325
+=份，一份就是3056
⨯=(岁)．
÷=(岁)，哥哥现在是6318
【巩固】妈妈的年龄是小红的5倍，奶奶的年龄比小红大9倍，已知奶奶比妈妈大35岁，求三人年龄各多少岁？
【解析】奶奶的年龄比小红大9倍，妈妈的年龄是小红的5倍，那么，妈妈的年龄比小红大（5-1）倍，奶奶的年龄比妈妈大（9-4）倍，把小红的年龄看作一倍数，则小红的年龄为：35÷（9-4）=7
（岁），妈妈的年龄是：7×5=35（岁），奶奶的年龄是：35+35=70（岁）。