浙江省高三数学第八次联考试题 理

浙江大联考
2015届高三第八次联考·数学试卷
考生注意:
1.本试卷共150分.考试时间120分钟.
2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.
3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.
4.交卷时,可根据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.
5.本试卷主要考试内容:高考全部内容.
选择题部分(共40分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|y=},B={x|x≤10},则A∩B等于
A.(2,10)
B.(2,10]
C.[4,10]
D.(4,10]
2.“lg x,lg y,lg z成等差数列”是“x,y,z成等比数列”成立的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.若sin α=-,α是第三象限的角,则等于
A. B.- C.2 D.-2
4.如图所示,这是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为
A.2π+8
B.8π+8
C.4π+8
D.6π+8
5.点Q(x,y)是如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)的任意一点,若目标函数 z=x+ay取得最小值的最优解有无数个,则的最大值是
A. B.
C. D.
6.在菱形ABCD中,∠BAD=60°,AB=4,点F是对角线BD上的动点,则·的最小值是
A.-3
B.-2
C.-
D.-1
7.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,若该双曲线上存在点P,满足以双曲线虚轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点,则该双曲线的离心率为
A. B.2 C. D.3
8.已知f(x)=,且对于任意x∈[1,3],不等式f(x)>+m恒成立,则m的取值范围是
A.(-∞,-4]
B.(-,+∞)
C.(-∞,-)
D.(-∞,)
非选择题部分(共110分)
二、填空题:本大题共7小题,9~12题每小题6分,13~15题每小题4分,共36分.把答
案填在答题卷中的横线上.
9.函数f(x)=sin xcos x-sin2x的最小正周期为▲,最大值为▲;若
f(α)=-1,且α∈(,π),则α=▲.
10.设f(x)=且f(f(-1))=log25,则a= ▲;若函数g(x)=f(x)-mx+2m有两个零点,则负实数m的取值范围是▲.
11.已知e1,e2是不共线向量,=me1+e2,=e1+ne2,且=e1+4e2,则m+n= ▲;又=λe1-e2,且A,B,D三点共线,则实数λ=▲.
12.已知关于x的不等式x2+bx+c<x+2的解集为(-2,5),则不等式x2+bx+c>0的解集为▲;若函数f(x)=(x≥0)的最小值为0,则实数m= ▲.
13.如图,P为直二面角α-AB-β 棱AB上一点,射线PQ,PR分别在α、β
内,∠BPQ=45°,∠BPR=30°,则AB与平面PQR所成角的正弦值是▲.
14.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A,B两点,直线AF,BF
分别与抛物线交于点C,D,设直线AB,CD的斜率分别为k1,k2,则= ▲.
15.已知数列{a n}的通项公式为a n=|n-13|,那么满足a k+a k+1+…+a k+19=102的整数k的值
有▲个.
三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分15分)
如图,在△ABC中,B=,BC=2,点D在边AB上,AD=DC,DE⊥AC,E为垂足.
(1)若△BCD的面积为,求CD的长;
(2)若ED=,求角A的大小.
17.(本小题满分15分)
已知数列{a n}满足:a1=1,a2=,且[3+(-1)n]a n+2-2a n+2[(-1)n-1]=0,n∈N*.
(1)求a3,a4,a5,a6的值及数列{a n}的通项公式;
(2)设b n=a2n-1·a2n,求数列{b n}的前n项和S n.
18.(本小题满分15分)
如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF.
(1)求证:A1F⊥C1E;
(2)当三棱锥B1-BEF的体积取得最大值时,求二面角B1-EF-B的正切值.
19.(本小题满分15分)
定义:若两个椭圆的离心率相等,则称两个椭圆是“相似”的.如图,椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆,并且相交于上下两个顶点.椭圆C1:+=1(a>b>0)的长轴长是4,椭圆
C2:+=1(d>n>0)短轴长是1,点F1,F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点.
(1)求椭圆C1,C2的方程;
(2)过F1的直线交椭圆C2于点M,N,求△F2MN面积的最大值.
20.(本小题满分14分)
已知函数f(x)=2|x-m|和函数g(x)=x|x-m|+2m-8.
(1)若m=2,求函数g(x)的单调区间;
(2)若方程f(x)=2|m|在x∈[-4,+∞)恒有唯一解,求实数m的取值范围;
(3)若对任意x1∈(-∞,4],均存在x2∈[4,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,求实数m的取值范围.
2015届高三第八次联考·数学试卷
参考答案
1.D ∵A={x|x>4},B={x|x≤10},∴A∩B={x|4<x≤10}.
2.A “lg x,lg y,lg z成等差数列”⇔2lg y=lg x+lg z⇒y2=xz,但y2=xz/⇒2lg
y=lg x+lg z,∴选A.
3.B ∵α是第三象限的角,∴cos α=-,
∴===-.
4.A 由三视图可知该几何体上面为两个半圆柱,下面为一个长方体,所以其体积为
π×12×2+2×4×1=2π+8.
5.C 由题意,最优解应在线段AC上取到,故x+ay=0应与直线AC平行,∵k AC==1,∴-=1,得a=-1,则=表示点P(-1,0)与可行域内的点Q(x,y)连线的斜率,由图得,当
Q(x,y)=C(4,2)时,取得最大值,最大值是=.
6.D 设=λ(0≤λ≤1),则=+=+λ=λ+(1-λ),=(1-λ)=(1-λ)-(1-λ),所
以·=[λ+(1-λ)]·[(1-λ)-(1-λ)]=16λ2-24λ+8=16(λ-)2-1,当λ=时,·取最小值-1.
7.A 由题意可知点P在双曲线的左支上且b>a,设PF的中点为M,双曲线的右焦点为
F'(c,0),连结OM、PF'(O为坐标原点),则|PF'|=2|OM|=2b且PF⊥PF',∴|PF|=|PF'|-2a=2b-2a,|PF|2+|PF'|2=|FF'|2,即(2b-2a)2+(2b)2=(2c)2,得b=2a,则该双曲线的离心率e==.
8.D 易判断f(x)==2+在[1,3]上单调递减,∴x=3时,f(x)min=.设g(x)=+m,x∈[1,3],则当x=1或3时,g(x)max=1+m,∵对于任意x∈[1,3],不等式f(x)>|x-2|+m恒成
立,∴f(3)>g(3),即1+m<,解得m<,则m的取值范围是(-∞,).
9.π∵f(x)=sin(2x+)-,∴最小正周期为π,最大值为;由f(α)=-1得
sin(2α+)=-,∵α∈(,π),∴2α+∈(,),则2α+=⇒α=π.
10.2 [-8,0) f(f(-1))=f(2)=log a5=log25⇒a=2;设y=mx-2m,若函数g(x)=f(x)-
mx+2m有两个零点,则函数f(x)的图象与直线y=mx-2m有两个交点,作图知负实数m的取值范围是[-8,0).
11.-1 5 =e1+ne2⇒=-e1-ne2,则+=(m-1)e1+(1-n)e2=,∴得则m+n=-1;=2e1+e2,=-
e1+3e2,∵A,B,D三点共线,∴=β(β为实数),∵=+=(λ-1)e1+2e2,∴2e1+e2=β(λ-
1)e1+2βe2,解得β=,λ=5.
12.(-∞,-2)∪(4,+∞)9 由已知得1-b=3,c-2=-10, 即b=-2,c=-8,则不等式
x2+bx+c>0为x2-2x-8>0,解得x<-2或x>4;函数f(x)==(x+1)+-4,易判断:当m≤6时,函数f(x)在[0,+∞)单调递增,则f(x)min=f(0)=0⇒m=8,矛盾,所以m>6,则有2=4⇒m=9.
13. 过R作RS⊥AB于S,过S作ST⊥PQ于T,连结RT,由β⊥α及平面与平面垂直的性质定理得:RS⊥α,所以RS⊥PQ,从而PQ⊥平面RST.又PQ⊂平面PQR,所以平面PQR⊥平面RST.过S作SC⊥RT于C,连结PC.由平面与平面垂直的性质定理得:SC⊥平面PQR,所以∠SPC是AB与平面PQR所成的角.设ST=1,则PS=,RS=,SC=,sin∠SPC==.
14. 设直线AB的方程为y=k1(x-2),联立得k1y2-4y-8k1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AC的方程为y=(x-1),联立,得y2-y-=0,则y1y c=-4,故y c=,同理y D=,故k2====2k1,故=.
15.2 a n=|n-13|=n∈N+,当k=13时,a13+a14+…+a32==190,
则k<13,∴a k+a k+1+…+a k+19=(a k+a k+1+a13)+(a14+…+a k+19)=+=k2-7k+112=102,解得k=2或5.所以满足条件的整数k的值有2个.
16.解:(1)由已知得S△BCD=BC·BD·sin B=,又BC=2,sin B=,∴BD=,cos B=.
在△BCD中,由余弦定理得
CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos B=22+()2-2×2××=.∴CD=.7分
(2)∵CD=AD==,在△BCD中,由正弦定理得=,又∠BDC=2A,得=,解得cos A=,所以A=.15分
17.解:(1)经计算a3=3,a4=,a5=5,a6=.
当n为奇数时,a n+2=a n+2,即数列{a n}的奇数项成等差数列,
∴a2n-1=a1+(n-1)·2=2n-1;
当n为偶数时,a n+2=a n,即数列{a n}的偶数项成等比数列,
∴a2n=a2·()n-1=()n.
因此,数列{a n}的通项公式为a n=7分
(2)∵b n=(2n-1)·()n,
∴S n=1·+3·()2+5·()3+…+(2n-3)·()n-1+(2n-1)·()n, ①
S n=1·()2+3·()3+5·()4+…+(2n-3)·()n+(2n-1)·()n+1. ②
①-②得:S n=1·+2[()2+()3+…+()n]-(2n-1)·()n+1
=+-(2n-1)·()n+1=-(2n+3)·()n+1.
∴S n=3-(2n+3)·()n.15分
18.解:设AE=BF=x.以D为原点建立空间直角坐标系,得下列坐标:
D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),E (2,x,0),F(2-x,2,0).
(1)因为=(-x,2,-2),=(2,x-2,-2),
所以·=(-x,2,-2)·(2,x-2,-2)=0.
所以A1F⊥C1E.5分
(2)因为=S△BEF×BB1=S△BEF,
所以当S△BEF取得最大值时,三棱锥B1-BEF的体积取得最大值.
因为S△BEF=(2-x)x=≤,
所以当x=1时,即E,F分别是棱AB,BC的中点时,三棱锥B1-BEF的体积取得最大值,此时E,F坐标分别为E(2,1,0),F(1,2,0).
设平面B1EF的法向量为m=(a,b,c),
则得
取a=2,b=2,c=-1,得m=(2,2,-1).显然底面ABCD的法向量为n=(0,0,1).
设二面角B1-EF-B的平面角为θ,由题意知θ为锐角.
因为cos<m,n>==-,所以cos θ=,于是sin θ=,
所以tan θ=2,即二面角B1-EF-B的正切值为2.15分
19.解:(1)设椭圆C1的半焦距为c,椭圆C2的半焦距为c'.由已知a=2,b=m,n=.
∵椭圆C1与椭圆C2的离心率相等,即=,
∴=,即=,
∴=,即bm=b2=an=1,∴b=d=1,
∴椭圆C1的方程是+y2=1,椭圆C2的方程是y2+=1.6分
(2)显然直线的斜率不为0,故可设直线的方程为x=my-.
联立:,得y2+4(my-)2-1=0,即(1+4m2)y2-8my+11=0,
∴Δ=192m2-44(1+4m2)=16m2-44>0,设M(x1,y1),N(x2,y2),
则y1+y2=,y1y2=,∴|MN|=2.
又△F2MN的高即为点F2到直线l:x-my+=0的距离h==.
∴△F2MN的面积S=|MN|h=2=,
∵+≥2=4,当且仅当=,即m=±时等号成立.∴S≤=,即△F2MN的面积的最大值为.15分20.解:(1)m=2时,g(x)=
函数g(x)的单调增区间为(-∞,1),(2,+∞),单调减区间为[1,2].4分
(2)由f(x)=2|x-m|在x∈[-4,+∞)恒有唯一解,得|x-m|=|m|在x∈[-4,+∞)恒有唯一解.当x-m=-m时,得x=0∈[-4,+∞);
当x-m=m时,得x=2m,则2m=0或2m<-4,即m<-2或m=0.
综上,m的取值范围是m<-2或m=0.8分
(3)f(x)=,则f(x)的值域应是g(x)的值域的子集.
①当4≤m≤8时,f(x)在(-∞,4]上单调减,故f(x)≥f(4)=2m-4,
g(x)在[4,m]上单调减,[m,+∞)上单调增,故g(x)≥g(m)=2m-8,
所以2m-4≥2m-8,解得4≤m≤5或m≥6,故4≤m≤5,或6≤m≤8.
②当m>8时,f(x)在(-∞,4]上单调减,故f(x)≥f(4)=2m-4,g(x)在[4,]上单调增,[,m]上单调减,[m,+∞)上单调增,g(4)=4m-16>g(m)=2m-8,故g(x)≥g(m)=2m-8,所以2m-4≥2m-8,解得4≤m≤5或m≥6.故m>8.
③当0<m<4时,f(x)在(-∞,m]上单调减,[m,4]上单调增,故f(x)≥f(m)=1.
g(x)在[4,+∞)上单调增,故g(x)≥g(4)=8-2m,所以8-2m≤1,即≤m<4.
④当m≤0时,f(x)在(-∞,m]上单调减,[m,4]上单调增,故f(x)≥f(m)=1.
g(x)在[4,+∞)上单调增,故g(x)≥g(4)=8-2m,所以8-2m≤1,即m≥(舍去).
综上,m的取值范围是[,5]∪[6,+∞).14分。