东城区一般校3月联考文科数学答案定稿

东城区一般校2021-2021学年第二学期联考试卷
高三数学（文科）参考答案
（以下评分标准仅供参考，其它解法自己依照情形相应地给分）
15.（本小题总分值13分） 解：解：（Ⅰ）由A c a sin 2=
，sin a
A
=
--------------------2分
因此，sin 2
C =
-----------------------3分 因为,,c a <所以C<A 因此02C π
<<
--------------------4分
得4
C π
=
---------------------5分
（Ⅱ）
1cos 2cos sin 2)(2
-+=x x x x f
=sin 2cos2x x + ---------------------7分
)4
x π
+ ---------------------8分
因此())4
f A A π
=+
因为34
4A π
π
<< --------------------9分 因此
322
2
A π
π
<< ---------------------10分 372+4
44A πππ<<
--------------------11分 因此32+=
4
2
A π
π
时，()f A
的最小值为 ----------13分 16．（本小题总分值14分）
解：（Ⅰ）取CE 的中点P ，连结FP 、BP ， ∵F
为CD 的中点，∴
FP DE FP 12DE AB DE AB .2
1
DE AB FP AB FP ABPF ∴AF BP AF ⊄BCE BP ⊂BCE AF BCE ACD ∆F CD AF CD ∵AB ACD ⊥平面，DE ∥
AB ，∴DE ⊥平面ACD
又AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF .
又AF ⊥CD ，CD ⋂DE =D ，∴AF ⊥平面CDE -----------9分 又BP ∥AF ，∴BP ⊥平面CDE ，又BP ⊂平面BCE ，
∴平面BCE ⊥平面CDE
---------10分
（Ⅲ）过C 作CM ⊥AD 于M ，
易证 CM ⊥平面ABED ,因此CM 为四棱锥C ABED -的高 ∵直角梯形ABED 的面积为
12
232
+⨯=, CM =
3
23⨯=， ∴四棱锥C ABED -的体积为1
3333
V =
⨯⨯=． 即多面体C ABED -的体积为3．
---------------------14分
17．（本小题总分值14分）
（Ⅰ）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，
因此10(0.0050.010.02⨯++0.0250.01)1a +++=． ----------------1分 解得0.03a =． ----------------2分 （II ）解：成绩在[)40,50分数段内的人数为400.052⨯=人，别离记为A ，B ． 成绩在[]90,100分数段内的人数为400.14⨯=人，别离记为C ，D ，E ，F ．
P
M
-------------------6分
假设从成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，那么所有的大体事件有：(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),B C ，
(),B D (),B E ，(),B F ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F
共15种． ----------------------9分
若是两名学生的成绩都在[)40,50分数段内或都在[]90,100分数段内，那么这两名学生的地理成绩之差的绝对值必然不大于10.
-----------------------10分 记“这两名学生的成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ，则事件M 包括的大体事件有：
(),A B ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共7种．
因此所求概率为()7
15
P M =
． --------------------------12分 （Ⅲ）解：依照频率散布直方图，成绩不低于60分的频率为
110(0.0050.01)-⨯+0.85=．---------------------------------------13分
由于该校高三年级共有学生640人，可估量该校高三年级地理成绩不低于60分的人数约为6400.85544⨯=人． -----------------------------------------14分 18．（本小题总分值13分）
的概念域为),,0(+∞
---------------------2分 若,0≤a 则'()0,f x >)(x f ∴在),0(+∞上单调递增，
分
(Ⅱ) )(x f ≤a 恒成立，即)(x f 在概念域内的最大值小于或等于a 恒成立。

由(Ⅰ)可知：假设,0≤a )(x f 在),0(+∞上单调递增，)(x f ≤a 不能恒成立
----------------9分
当0a >时()f x 在
因此)1(a f 为最大值，即a a
f ≤)1(
即a a
a a ≤--)11(1ln
解得e a 1
≥
----------------13分
19．（本小题总分值13分）
解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22
221(0)x y a b a b +=>>，由题意得222221
91,41,2.
a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎩
解得2
4a =，2
3b =，故椭圆C 的方程为22
143
x y +=． ------------------5分 (Ⅱ) 当直线l 有斜率时，设y kx m =+时，
那么由22
,
1.4
3y kx m x y
=+⎧⎪
⎨+=⎪
⎩ 消去y 得，2
2
2
(34)84120k x kmx m +++-=， -----------------6分
222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+->，③----------7分 设A 、B 、P 点的坐标别离为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、
、，那么： 01201212
22
86,()23434km m
x x x y y y k x x m k k =+=-
=+=++=++--------8分 由于点P 在椭圆C 上，因此22
00
143x y +=
. --------9分
从而
222
2222
1612
1
(34)(34)
k m m
k k
+=
++
，化简得22
434
m k
=+，经查验知足③式.
-----------10分又点O到直线l的距离为：
2
d===≥=
--------11分当且仅当0
k=时等号成立 ------- 12分当直线l无斜率时，由对称性知，点P必然在x轴上，
从而P点为(2,0),(2,0)
-，直线l为1
x=±，因此点O到直线l的距离为1 因此点O到直线l
的距离最小值为
2
---------13分20、（本小题总分值13分）
解：（I）由已知
1
(),
n n
a f a
-
=
1
()()
n n
f a f a
-
-=
1
()
n n
k a a
-
-)
4,3,2
(⋅⋅⋅
=
n得111
()()()(2,3,4,)
n n n n n n
a a f a f a k a a n
+--
-=-=-=
由数列{}n a是等差数列，得11
()(2,3,4,)
n n n n
a a a a n
+-
-=-=，
因此
11
()(2,3,4,)
n n n n
a a k a a n
+-
-=-=，因此1
k=-----------------------------4分
（II）由
121
b a a
=-≠，可得
2322121
()()()0
b a a f a f a k a a
=-=-=-≠且当2
≥
n时，
1
1121
()()0
n
n n n n n
b a a k a a k a a
-
+-
=-=-==-≠
因此，当2
n≥时，11
111
()()
n n n n n
n n n n n
b a a f a f a
k
b a a a a
+-
---
--
===
--
--------------------7分
因此，数列{}n b是一个首相为1b，公比为k的等比数列.
因此数列{}n b的通项公式是11
1
(*
n n
n
b b k k n N
--
==∈）
（III ）假设{}n a 是等比数列，由（II ）知，1
21()(*)n n b k a a n N -=-∈
121213211()()()(2)n n n n b b b a a a a a a a a n --+++=-+-++-=-≥，
1121()n n a a b b b -=++++ -------------------------------------------10分
当1k =时，121()(1)(2)n a a a a n n =+--≥。

上式对1n =也成立，因此，数列{}n a 的通项公式为：(())(*)n a a f a a n N =+-∈ 因此，当1k =时，数列{}n a 是以a 为首相，()f a a -为公差的等差数列。

因此，1k ≠。

当1k ≠时，1
1211()
(2)1n n k a a a a n k
--=+-≥- 上式对1n =也成立
因此11
1()(())(())111n n n k f a a f a a k a a f a a a k k k
-----=+-=+---- 因此()01f a a
a k
-+
=-()f a ka ⇒=
因此等式()f a ka =关于任意实数a 均成立，因此()(1)f x kx k =≠ -------------13分。