非线性系统例题

第十章非线性系统
§10.1 与线性系统的差异
线性系统与非线性系统的不同之处在于：
1. 非线性系统的运动是由一个非线性微分方程控制的，但是很多非线性方程都不存在精确解。

2. 一个非线性系统可能不只一个平衡点，而平衡点可能是稳定的，也可能是不稳定的。

3. 非线性系统是否存在稳态运动取决于初始条件。

4.非线性系统的自由振动周期由初始条件决定，这就意味着自由振动的频率依赖于自由振动的振幅。

5. 非线性系统的共振出现在激发频率不同于系统的线性固有频率处，在一个三维非线性系统中，当激发频率为系统线性固有频率的1/3时，产生超频共振；当激发频率为系统线性固有频率近三倍时，就产生亚频共振。

6. 线性叠加原理不能用来分析受多频激励的非线性系统，共振的组合是对应于激发频率的近似组合。

7. 对应于固有频率的近似组合，在多自由度的连续系统中存在内共振。

8. 在非线性系统中，周期激励可能会引起非周期响应，由于一些特定的参数值，这种混沌运动出现在很多非线性系统中。

§10.1 定性分析
状态平面或相位平面是速度和位移在整个运动过程中的关系曲线，通过在平衡点的邻域内将控制微分方程线性化，可以检验平衡点的性质及其稳定性（见题10.2），平衡点的各种类型如图10.1所示。

§10.3 达芬方程
达芬方程
rt F sin 23=+++εχχχμχ
（10.1） 是一个无量纲方程。

它作为一个模型可用于求解三维非线性系统。

如果ε为正，则表示一个硬弹簧的响应；如果ε为负，则表示一个软弹簧系统的响应。

一个系统自由振动的振幅关系由达芬方程决定，它可以用扰动方法近似表示为：
)(8
3
122εεωO A ++= （10.2）
其中ω是固有频率的无量纲化（对于线性系统ω=1），A 是振幅，分析共振附近达芬方程的受迫响应可以设
εσ+=1r （10.3）
则稳态振幅的定义方程就可近似表示为
22
22
2
]83[4F A A =⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+σμ （10.4）
方程（10.4）在图10.2中的关系曲线表示为0>ε时中枢曲线和跳跃现象，对于给定的σ值，方程（10.4）有三个正实解，因为2A 引起了三种可能的稳态运动，中间解是不稳定的，引起跳跃现象。

§10.4自激振动
自激振动是由系统运动而引起的振动，它是由非线性形式的阻尼引起的，这里的阻尼项在给定的运动范围内是负值，图10.3所示的动力系统表现的就是阻尼，而振幅却变化不大，范德波尔方程就是某些自激系统的一个模型，即：
0)1(2=+-+χχχμχ
（10.5） 图10.4所示的相平面就表示了范德波尔振子自由振动的一个极限环。

例 题
10.1 单摆运动的非线性方程的无量纲化形式为
0sin =+θθ
（i ）推导定义运动相平面的广义方程；
（ii ）求在1,0==θ
θ 条件下的轨线； （iii ）单摆的最大摆角是多少？ 解: （i ）令2θν=，则
θ
ννθθννθθd d dt d d d dt d dt d ==== 从而微分方程就可以写成
0sin =+θθ
ν
ν
d d 对θ求积分，则得
C =-θνcos 2
12
其中C 是一个积分常数。

（ii ）要求当0=θ时，1=ν，则2
1
-=C ，从而解出ν
1cos 2-=θν
（iii ）当0=ν时，最大摆角 60=θ
10.2 令0χχ=代表非线性系统的平衡位置，取χχχ∆+=0来分析在平衡点邻域内系统的运动。

通过在平衡点处线性化微分方程，来确定平衡点的类型及其稳定性。

解：设控制微分方程的形式为：
0),(=+χχχ
f 若0χχ=代表一个平衡点，则0)0,(0=χf 。

将χχχ∆+=0代入微分方程，得：
0),(0=∆∆++∆χχχχ
f 用泰勒级数展开，得：
0)0,()0,()0,(000=++∆∂∂+∆∂∂++∆ χ
χχ
χχχχχ
f
f f 加上平衡条件并略去高阶项线性化得：
0=∆+∆+∆χβχαχ
)0,(0χχα ∂∂=
f ，)0,(0χχ
β∂∂=f
方程的解可记为：
t t e C e C 2121λλχ+=∆
其中1λ和2λ是方程022=++βλλ的解，平衡点的类型及其稳定性讨论如下： （1）若1λ或2λ其一有正实部，则从平衡点出发的扰动无限大，故解不稳定。

（2）若1λ和2λ都是正实数且同号，则平衡点为节点（稳定或不稳定。

（3）若错是实数且同号，则平衡点为鞍点（不稳定）。

（4）若1λ和2λ为共轭复数，则平衡点为焦点（稳定或不稳定）。

（5）若1λ和2λ都是纯虚数，则平衡点是中点。

10.3 确定摆动方程所有平衡点的类型及其稳定性。

解：单摆运动的非线性微分方程为：
0sin =+θθ
采用题10.2中的符号，得：
θθ
θsin ),(= f 且：,0sin 0)0,(00πθθθn f =→=→= ,2,1,0±±=n 现在，令θπθ∆+=n ，并将其代入微分方程，得：
0)sin(=∆++∆θπθ
n 用泰勒级数展开，且保留线性项得：
0)cos(=∆+∆θπθ
n 0)1(=∆-+∆θθ
n 利用题10.2中的符号，则上述方程的广义解为：
t
n t
n e
C e
C 2)
1(2)
1()
1(2)
1(1-----+=∆θ
2
)
1(1)
1(--=n λ，2
)
1(2)
1(---=n λ
因此，对于奇数n ， 1λ和2λ都是实数且异号，这些平衡点就是鞍点；对于偶数n ，1λ和2λ都是纯虚数，这些平衡点就是中点。

10.4 摆动的相平面示意图。

解：根据题10.3 结论得到的相平面示意图如图10.5 所示。

10.5 质点在图10.6 所示的旋转抛物线上运动的微分方程为：
04)2()41(22222=+-++χχχωχ
χ p gp p 若10=ωrad/s ，求p 为何值是，平衡点0=χ是鞍点？
解：采用题10.2中的符号，得：
2
222222414412),(χ
χχχχωχχ p p p gp f +++-=注意到0=χ的确是一个平衡点，检验在其邻域内平面轨线的运动，令χχ∆=，采用题10.2中的符号，得:
0)0,0(=∂∂=
χ
α f
22)0,0(ωχ
β-=∂∂=
gp f
从而相平面轨线在0=χ附近的微分方程为：
0)2(2=∆-+∆χωχ
gp 当22ω<gp 时，平衡点是一个鞍点，因此，当10=ωrad/s 时，则：
122
10.5)
81.9(2)10
(-=<m s
m s rad p 从题10.6~题1.8，题10.11和10.12 都是指图10.7中的系统而言的。

弹簧的立与位移的关系为：
331y k y k F -=，m N k 6
1101⨯=，m
N k 123101⨯= 其中y 是从弹簧原长时量取的。

10.6 设∆=y χ，其中y 是从未伸缩时的位移，且1/k mg =∆，用方程（10.1）的形式写出图10.7中所示系统运动的微分方程，并求出ε，μ，F 和r .
解：对质量块应用牛顿定律，其微分方程为：
t F y k y k y c y
m ωsin 331=-++ （10.6） 线性化系统的固有频率为：
s
rad kg m N
m
k n 6.223201016
1
=⨯==
ω 且 m m
N s m kg k mg
46
2
1
1096.1101)81.9)(20(-⨯=⨯==
∆
设t n ωτ=，则有：
τ
ωττd d
dt d d d dt d n
== 用无量纲化变量，改写方程（10.6）为：
τωωτωτ
ωn n n F x k x k d dx c d x d m sin 033312
222
=∆-∆+∆+∆
τωω
τωτ
n n k F x k k x d dx m c d x d sin 1032132
2∆=∆-++
方程（10.1）形式中的各量如下：
0384.0)1096.1(101101246
312
21
3-=⨯⨯⨯-=∆-=-m m
N m N k k ε 0112.0)
6.223)(20(2100
2=∙==s
rad kg m s N m c n
ωμ
510.0)
81.9)(20(1002010===∆=
s
N
kg N mg
F
k F F
671.06.223150
==
=s
rad
s rad
r n ωω 10.7 确定图10.7中系统的平衡点的性质及其稳定性。

解：用题10.2中的符号，则：
32),(x x x x
x f εμ++= 从而：ε
ε1
,00)0,(3-±=→+==x x x x f
注意到：
231,2x x
f
x f
εμ+=∂∂=∂∂ 首先考虑平衡点0=x ，则：
021,2=∆+∆+∆→==x x x
μβμα i 999.00112.0122,1±-=-±-=μμλ
因为λ的值是实部共轭复数，所以平衡点0=x 是一个稳定的焦点。

由于ε是负值，系统还有两个平衡点ε/1-±=x ，在任一情况下：
415
.1,413.120222)1
(31222,1-=+±-==∆-∆+∆-=-+==μμλμε
μβμαx x x
因此这两个静平衡点是鞍点，且不稳定。

10.8 令0=μ，试求固有周期的积分表达式。

解：设初始条件为0=t 时，0,0==x
x x 。

当0=μ时自由振动的达芬方程为： 03=++x x x
ε 定义x
=ν，则：0=++x x dx d εν
ν 对x 积分，得：C x x =++4224
2121ε
ν
代入初始条件求得ν为：424
02
02
2x x x x ε
ε
ν--+±=
由于dt dx /=ν，则：4
24
02
02
2
x x x x dx
dt ε
ε
-
-+
±=
1/4周期就是物块从初始条件返回（平衡位置）0=x 所用的时间。

在这期间速度是负值，因此，从0x 到0积分，得：
⎰
-
-+
-=0
4
24
02
00
2
2
4x x x x x dx
T ε
ε
10.9 用线性扰动法求在F =0时达芬方程的二次近似解。

解：设： )()()(210∈++=O t x t x x ε （10.7） 将方程（10.7）代入不受力的达芬方程，得：
0)()(0)(3
3
011003101010=+++++=+++++++++εεεεεεO x x x
x x x x x x x x
设系数是ε的方幂都趋于零，则得：
)(sin )sin(033113011000φφ+-=+→-=++=→=+t A x x
x x x t A x x x
根据三角恒等式，得：
)(3sin 32
)cos(83)](3sin )sin(3[43313
11φφφφ+-+=+-+-=+t A t t A x t t A x x 因此：
)()](332
)cos(83[)sin()(33
3εφφεφO t SIN A t t A t A t x ++-+++= 10.10 由题10.9求得的解不是周期性的，应如何修正？为什么？
解：由题10.8可以知道非线性系统的固有周期是取决于初始条件的。

在题10.9
中的扰动解中没有给出这种依赖关系，真正的响应可以在相同周期的现行系统中
得到，要修正该解，需要引入依赖于振幅的时间量： )1(221++++= λεελωt
上述表达式可以在现行展开前引入，在这种情况下称之为Linstedt-Poincare 方法；
也可以在将非周期的现行展开变成周期性之后引入，后者称之为重整化方法。

在
任一情况下，都可得到结论：
.)(3sin 32
)sin(),831(32+++-+=++-= φεφεωt A t A x A t 10.11 将图10.7所示系统的物块放置在距平衡点1.0mm 处释放，试求其合成运动
的周期。

解：采用题10.6中的无量纲化方法，初始条件为：
0)0(,10.51096.1001.040==⨯=-x m
m x 将初始条件代入由题10.10后得到的两项展开函数，并由题10.5 中得到的
0384.0-=ε，得：
28.50012.010.52
3sin
322sin )0(2
23
=→-=-==A A A A A x πεππ
φ 无量纲频率为: 599.0)28.5)(0384.0(8
3183122=-+=+=A εω 有量纲频率和周期分别为： s T s
rad s rad n 074.09.113)6.223(599.0=→==ω 10.12 用扰动方法来逼近10.7系统的受迫响应。

解：为了避免符号混淆，设εδ-=，由于阻尼是很小的，它经过非线性整理，最后得：
292.00384
.00112.0===
→=δμξδξμ 则方程变为： t x x x x
671.0sin 510.0584.03=-++δδ 设线性扰动解为：)()()(10t x t x t x δ+=
代入微分方程，并令系数为δ的方幂都趋于零，得：]
.103.2sin 0655.0671.0sin 09.1671.0cos 662.0103.2sin )103.2(1200.0671.0sin )671.0(1599.0671.0cos )671.0(1364.0)(,
103.2sin 200.0671.0sin 599.0671.0cos 364.0671.0sin 799.0671.0cos 364.0584.0,6741.0sin 98.0671.0sin )
671.0(1510.0,671.0sin 510.02
2213300112000t t t t t t t x t t t t
t x x x x t t x t x x
++-=---+--=-+-=+-=+-=+=-==+
10.13 讨论采用何种定性工具以确定一个非线性系统的运动是否为混沌运动。

解：（a ）对于混沌运动，相平面内的抛物线轨迹时不能被它自己重复的；（b ）若在整个运动过程过程的频谱分析中有连续的频谱，则运动是混沌的；（c ）若对响
应进行定时采样，则混沌运动的采样响应因为是随机性。

10.14 应用龙格—库塔方法求得各种不同参数值下达芬方程的相平面，如图10.8所示，问这些运动中那些事混沌的？
解: 因为图10.8（a）的运动图形都无法辨认，所以它是混沌运动。

图10.8（b）中的运动由于经过一个初始的过渡周期之后趋于稳态，故它不会是混沌的。

10.15 用龙格—库塔方法求出达芬方程的Poincare映射，如图10.9所示。

解：Poincare映射是对相平面定时采样的结果，对Poincare映射的运动解释如下：（a）由于Poincare映射是一些明显的无规则点的集合，故运动可能是混沌的；（b）
因为Poincare 映射是一条封闭的曲线，所以是周期性运动，但样本频率与活动频率不相对应；（c ）Poincare 映射只含有三个点，且运动是周期性的，因此运动周期是采样周期的三倍。

10.16 用范德波尔方程来定性分析极限环现象。

解: 当x 很小时，范德波尔方程中的放大系数x
是负值，从而能量都是由系统自己运动提供的，它使得响应不断增强。

但当x 增加到1时，阻尼系数就变成正值了，能量随之开始耗散，运动开始衰减，由于自激振幅逐渐衰减就形成了极限环，极限环还取决于初始条件。

10.17 如何用平均法或格莱克法则来逼近极限环的振幅。

解：设),(x
x F 为系统的非保守力，这些力作用于在运动一周时所做的功为：
⎰⎰⎰==dt x x x F dx x
x F W ),(),( 如果系统产生一个极限环，则非保守力作用于每一周上的总功都为零，设系统无量纲化后的线性周期为π2，则：
0),(20
=⎰dt x x
x F π
用格莱克法解得响应为：
t A t x sin )(=
代入积分方程（10.7）中，计算积分，就可以得到极限环振幅A 的近似值。

10. 18 用平均法来逼近系统的极限环，其无量纲化微分方程为
0)1(22=+-++x x x x x
α 解：用题10.17 得方法，设t A t x sin )(=，则得：
x x x x
x F )1(),(22-+=α
⎰=π
20
,0cos )cos ,sin (tdt A t A t A F
0)cos (]1sin cos [220
2222=-+⎰dt t A t A t A π
α 0cos )1(202
22=-⎰tdt A A π
α
10
)1(22==-A A A πα
补充习题
10.19 求系统相平面轨线的广义方程，微分方程为
0cos =++x x x x
ε 答：x x x x C x
cos 2sin 22---=
10.20 求系统相平面轨线的广义方程，微分方程为
0=-+x x x
α 答：323
2x x C x α+-= 10.21 求题10.20系统的平衡点并确定其类型。

答：0=x 是中心；α=x 是鞍点。

10.22 求系统的平衡点并确定其类型，微分方程为：
22x x x x
εξ+++ 答：1,0<=ξx 时，稳定焦点；1>ξ 时，稳定节点；ε/1-=x 是鞍点。

10.23 求系统的平衡点并确定其类型，微分方程为：
023=+-+x x x x
εξ 答：0=x 是鞍点；2,3/1<±=ξx 时，稳定焦点；2>ξ 时，稳定节点。

10.24 推导非线性系统运动周期的积分表达式，微分方程为：
0)cos 1sin(=-+θθ
当0=θ时，0=θ
答：⎰-++-=0
00000
cos 22cos 21cos 22cos 214θθθθθθ
d T 10.25 质量为50kg 的物块固连在弹簧上，弹簧的力与位移关系为
360002000x x F +=
x 的单位为m ，F 的单位为N ，物块被拉至25cm 处释放，求由此引起的振动周期是多少？
答：0.907s
10.26 用扰动的方法求系统的近似响应（保留两项），微分方程为
t F x x x x
ωεμεsin 2=+++ 答：]cos )1()2cos 4111()1(21[sin 122222t F t F t F ωωμωωωωεωω------+- 10.27 用格莱克方法来逼近范德波尔方程极限环的振幅。

答：2
10.28 解释图10.2中的跳跃现象。

10.29 讨论如何用傅里叶变换来确定一个响应是否为混沌。