南京市金陵中学2020届高三数学检测卷(10)

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（第11题）
金陵中学2020届高三数学检测卷（10）
数学Ⅰ
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．
上． 1.已知集合A ＝{x | |x |≤1，x ∈Z }，B ＝{x |0≤x ≤2}，则A ∩B ＝ ▲ ．
2.若(a ＋b i)(3－4i)＝25(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a 2＋b 2的值为 ▲ ．
3.在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个 小矩形的面积等于其余9个小矩形的面积和的15，且第一组数 据的频数为25，则样本容量为 ▲ ．
4.如图伪代码的输出结果为 ▲ ．
5.将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则
黑白两球均不在1号盒子的概率为 ▲ ．
6．已知函数f (x )＝a sin x ＋b ，x ∈[0，7π6
]，的值域为[2，5]，则ab 的值是 ▲ ． 7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线
x 2－y 24
＝1的一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为 ▲ ．
8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ log 2(x ＋1)，x ＞3， 2x －3＋1，x ≤3满足f (a )＝3，则a ＝ ▲ ． 9．在三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D －ABE 的体积为V 1，
三棱锥P －ABC 的体积为V 2，则V 1V 2
＝ ▲ ． 10．设点P 是△ABC 所在平面上的一点，点D 是BC 的中点，且
BC →＋2BA →＝3BP →，设PD →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝ ▲ ．
11．将函数y ＝3sin(π4
x )的图象向左平移3个单位，得函数 y ＝3sin(π4
x ＋φ)(|φ|＜π)的图象(如图)，点M ，N 分别是函 数f (x )图象上y 轴两侧相邻的最高点和最低点，设∠MON ＝θ，
则tan(φ－θ)的值为 ▲ ．
12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O :x 2＋y 2＝1，直线1:y ＝x ＋a ，过直线l 上点P 作圆
O 的切线PA ，PB ，切点分别为A ､B ，若存在点P 使得PA →＋PB →＝32PO →，则实数a 的取
值范围是_____
13．已知函数f (x )＝|x ＋1x |－|x －1x
|，关于x 的方程f 2(x )＋a |f (x )|＋b ＝0（a ，b ∈R ）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是 ．
14．已知f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋ax ，x ≤12ax －5，x ＞1
， 若∃x 1，x 2∈R ，x 1≠qx 2，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．
作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分14分)
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos A ＝34，C ＝2A ． (1)求cos B 的值；
(2)若ac ＝24，求△ABC 的周长．
16．(本小题满分14分)
如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，
∠BAA 1＝60°，E ，F 分别是BC ，A 1C 1的中点．
(1)证明：EF ∥平面AA 1B 1B ；
(2)证明：AB ⊥A 1C ．
17．(本小题满分14分)
某汽车厂有一条价值为a 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值．经过市场调查，产品的增加值y 万元与技术改造投入的x
万元之间满足：①y 与(a －x )和x 2的乘积成正比；②x ∈(0，2am 2m ＋1
]，其中m 是常数．若x ＝a 2
时，y ＝a 3． (1)求产品增加值y 关于x 的表达式；
(2)求产品增加值y 的最大值及相应的x 的值．
18．(本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝4，
椭圆C :x 24
＋y 2＝1，A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴 的直线与椭圆C 交于B ，C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的
另一交点为Q ，其中D (−65
，0)．设直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2． (1)求k 1k 2的值；
(2)记直线PQ ，BC 的斜率分别为k PQ ，k BC ，是否存在常数λ，使得k PQ ＝λk BC ?若存在，求λ值；若不存在，说明理由；
(3)求证：直线AC 必过点Q ．
19．(本小题满分16分)
已知正项数列{a n }的前三项分别为1，3，5，S n 为数列的前n 项和，满足：
nS 2n ＋1－(n ＋1)S 2n ＝(n ＋1)(3n 3＋An 2＋Bn )(A ，B ∈R ，n ∈N *)．
(1)求A ，B 的值；
(2)求数列{S 2
n n }的通项公式；(参考公式：12＋22＋…＋n 2＝16
n (n ＋1)(2n ＋1)) (3)若数列{b n }满足(n ＋1)a n ＝b 12＋b 222＋…＋b n 2
n (n ∈N ＋)，求数列{b n }的通项公式． 20．(本小题满分16分)
设a 为实数，已知函数f (x )＝axe x ，g (x )＝x ＋ln x ．
(1)当a ＜0时，求函数f (x )的单调区间；
(2)设b 为实数，若不等式f (x )≥2x 2＋bx 对任意的a ≥1及任意的x ＞0恒成立，求b 的取值范围；
(3)若函数h (x )＝f (x )＋g (x )(x ＞0，x ∈R )有两个相异的零点，求a 的取值范围．
15．(1) cos C ＝18． s in A ＝74，sin C ＝378，所以cos B ＝916．
(2) a ＝4，c ＝6．b ＝5．
16．证明:(1)取AB 的中点O ，连接OE ，OA 1，
(2)连接OC ，
17．(1)设y ＝f (x )＝k (a －x )x 2，
因为当x ＝a 2
时，y ＝a 3，所以k ＝8， ·························································· 2分 所以f (x )＝8(a －x )x 2，x ∈(0，2am 2m ＋1
]． ······················································· 4分 (2)因为f ′(x )＝－24x 2＋16ax ，令f ′(x )＝0，则x ＝0(舍)，x ＝2a 3
． 因为a 2≤2am 2m ＋1，所以m ≥12
． ··································································· 6分 ①当2am 2m ＋1≥2a 3
，即m ≥1时， 当x ∈(0，2a 3)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，2a 3
)上是增函数， 当x ∈(2a 3，2am 2m ＋1)时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(2a 3，2am 2m ＋1
)上是减函数， 所以y max ＝f (2a 3)＝3227
a 3； ········································································· 9分 ②当a 2≥2am 2m ＋1＜2a 3，即12
≤m ＜1时， 当x ∈(0，2am 2m ＋1)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，2am 2m ＋1
)上是增函数， 所以y max ＝f (2am 2m ＋1)＝32m 2(2m ＋1)3
a 3， ·························································· 12分 综上，当m ≥1时，投入2a 3万元，最大增加值3227
a 3． 当12≤m ＜1时，投入2am 2m ＋1万元，最大增加值32m 2(2m ＋1)3
a 3． ··························· 14分 18．(1)设B (x 0，y 0)，则C (－x 0，－y 0)，x 2
04
＋y 02＝1， 所以k 1k 2＝y 0x 0－2•y 0x 0＋2＝y 20x 20－4＝1－14x 20x 20－2
＝−14； ·············································· 2分 (2)联立⎩⎨⎧ y ＝k 1(x －2) x 2＋y 2＝4
得(1＋k 21)x 2−4k 21x ＋4(k 21−1)＝0， 解得x P ＝2(k 21－1)1＋k 21，y P ＝k 1(x P −2)＝－4k 11＋k 21
， ··················································· 4分 联立⎩⎨⎧ y ＝k 1(x －2) x 2＋4y 2＝4
得(1＋4k 21)x 2−16k 21x ＋4(4k 21−1)＝0， 解得x B ＝2(4k 21－1)1＋4k 21，y B ＝k 1(x B −2)＝－4k 11＋4k 21
， ·············································· 6分
所以k BC ＝y B x B ＝－2k 14k 21－1，k PQ ＝y P x P ＋65＝－4k 1
1＋k 212(k 21－1)1＋k 21
＋65＝－5k 14k 21－1， ···························· 8分 所以k PQ ＝52
k BC ， 故存在常数λ＝52，使得k PQ ＝52
k B C ． ························································· 10分 (3)证明:当直线PQ 与x 轴垂直时，Q (−65，−85
)， 则k AQ ＝－85－65
－2＝12＝k 2，所以直线AC 必过点Q ． ······································ 12分 当直线PQ 与x 轴不垂直时，直线PQ 方程为:y ＝－5k 14k 21－1
(x ＋65)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－5k 14k 21－1(x ＋65) x 2＋y 2＝4
，
解得x Q ＝－2(16k 21－1)16k 21＋1，y Q ＝16k 116k 21＋1
， ····················································· 14分 所以k AQ ＝16k 1
16k 21＋1－2(16k 21－1)16k 21＋1
－2＝−14k 1＝k 2， 故直线AC 必过点Q ． ·········································································· 16分
19．(1)∵正项数列{a n }的前三项分别为1，3，5，S n 为数列的前n 项和，
满足：nS 2n ＋1－(n ＋1)S 2n ＝(n ＋1)(3n 3＋An 2＋Bn )(A ，B ∈R ，n ∈N *)．
分别令n ＝1，2，可得:S 22－2S 21＝2(3＋A ＋B )，2S 23－3S 22＝3(24＋4A ＋2B )，
又S 1＝a 1＝1，a 2＝3，a 3＝5，S 2＝4，S 3＝9．
∴42－2×1＝2(3＋A ＋B )，2×92－3×42＝3(24＋4A ＋2B )，
化为:⎩⎨⎧ A ＋B ＝4 2A ＋B ＝7
，解得A ＝3，B ＝1． ······················································· 4分 (2)由(1)可得:nS 2n ＋1－(n ＋1)S 2n ＝(n ＋1)(3n 3＋3n 2＋n )
化为:S 2n ＋1n ＋1－S 2n n
＝3n 2＋3n ＋1． ∴当n ≥2时，S 2n n ＝(S 2n n −S 2n －1n －1)＋(S 2n －1n －1−S 2n －2n －2
)＋…＋(S 222−S 211)＋S 21 ＝3[(n －1)2＋(n －2)2＋…＋12]＋3(1＋2＋…＋n －1)＋n
＝3×(n －1)n (2n －1)6＋3×n (n －1)2
＋n ＝n 3． ··········································· 8分 又S 211＝1符合上式，所以S 2n n
＝n 3．······························································· 9分
(3)由(2)可得：S 2n n
＝n 3，S n ＞0，∴S n ＝n 2． n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1． ··········································· 11分
∵数列{b n }满足(n ＋1)a n ＝b 12＋b 222＋…＋b n 2n (n ∈N ＋)， 即(n ＋1)(2n －1)＝b 12＋b 222＋…＋b n 2n
(n ∈N ＋)， ··············································· 12分 ∴n ＝1时，2＝b 12
，解得b 1＝4． ····························································· 14分 当n ≥2时，n (2n －3)＝b 12＋b 2
22＋…＋b n －12
n －1， 可得:b n 2n ＝4n －1，即b n ＝(4n －1)•2n ． ∴b n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，(4n －1)•2n ，n ≥2．
····································································· 16分 20．(1)当a ＜0时，因为f ′(x )＝a (x ＋1)e x ，当x ＜－1时，f ′(x )＞0；
当x ＞－1时，f ′(x )＜0．所以函数f (x )单调减区间为(－∞，－1)，单调增区间为(－1，＋∞)． ······························································································· 2分
(2)由f (x )≥2x 2＋bx ，得axe x ≥2x 2＋bx ，由于x ＞0，
所以ae x ≥2x ＋b 对任意的a ≥1及任意的x ＞0恒成立． ································· 3分 由于e x ＞0，所以ae x ≥e x ，所以e x －2x ≥b 对任意的x ＞0恒成立．··················· 5分 设φ(x )＝e x －2x ，x ＞0，则φ′(x )＝e x －2，
所以函数φ(x )在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，＋∞)上单调递增，
所以φ(x )min ＝φ(ln2)＝2－2ln2，
所以b ≤2－2ln2． ··················································································· 8分
(3)由h (x )＝axe x ＋x ＋ln x ，得h ′(x )＝a (x ＋1)e x
＋1＋1x ＝(x ＋1)(axe x ＋1)x ，其中x ＞0． ①若a ≥0时，则h ′(x )＞0，所以函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数h (x )至多有一个零点，不合题意； ········································································ 9分。