二次项定理10大典型例题

（1）知识点的梳理
1．二项式定理：
011
()()n n n r n r r
n n
n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++
++
+∈，
2．基本概念：
①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数r
n C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅.
③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式
④通项：展开式中的第1r +项r n r r
n C a b -叫做二项式展开式的通项。

用1r n r r
r n T C a b -+=表示。

3．注意关键点：
①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。

()n a b +与()n b a +是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。

b 的指数从0逐项减到n ，是升
幂排列。

各项的次数和等于n .
④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是
012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：
令1,,a b x == 0122(1)()n r r
n n
n
n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n
n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-++
+-∈
5．性质：
①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即
0n n n C C =，···1k k n n C C -=
②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为
0122r
n
n n n n n n C C C C C +++
+++=， 变形式12
21r n n n
n n n C C C C ++++
+=-。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：
在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n
n n
n n n n C C C C C -+-++-=-=，
从而得到：024213
21
11222
r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++
++⋅⋅⋅=⨯=
④奇数项的系数和与偶数项的系数和：
0011222
0120120011222021210
01230123()()1, (1)1,(1)n n n n n n
n
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=+++
+=+
+++=++++=+---------=--+-++=-----令则①令则024135
(1)(1),()
2
(1)(1),()
2
n n
n n n
n a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=②
①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和
⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n n
C 取得最大值。

如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系
数1
2n n
C
-,12n n
C
+同时取得最大值。

⑥系数的最大项：求()n a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。

设展开
式中各项系数分别
为121,,,n A A A +⋅⋅⋅，设第1r +项系数最大，应有112r r
r r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，从而解出r 来。

（2）专题总结
专题一
题型一：二项式定理的逆用；
例：123
21666 .n
n n
n n n C C C C -+⋅+⋅++⋅=
解：01223
3(16)6666n n
n n
n n n n C C C C C +=+⋅+⋅+⋅++⋅与已知的有一些差距，
123
211221666(666)6
n
n n
n n n n n n n n C C C C C C C -∴+⋅+⋅++⋅=
⋅+⋅++⋅ 012
2111(6661)[(16)1](71)666
n
n n n n n n n C C C C =+⋅+⋅+
+⋅-=+-=-
练：1231393 .n n
n
n n n C C C C -++++=
解：设123
1393n n
n n
n n n S C C C C -=++++，则
12233
012233
3333333331(13)1
n n n n
n n n n n n n n n n n S C C C C C C C C C =+++
+=++++
+-=+-
(13)14133
n n n S +--∴==
题型二：利用通项公式求n x 的系数；
例：在二项式n
的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数？
解：由条件知245n n C -=，即2
45n C =，2900n n ∴--=，
解得9()10n n =-=舍去或，由
2102
1
10343
4110
10
()
()r r r r
r
r r T C x x C x
--
+--+==，由题意102
3,643
r r r --
+==解得， 则含有3x 的项是第7项63
36110
210T C x x +==,系数为210。

练：求29
1()2x x
-展开式中9x 的系数？
解：291821831999111
()()()()222
r r r r r r r r r r r T C x C x x C x x ----+=-
=-=-，令1839r -=,则3r =
故9x 的系数为3
39121()22
C -=-。

题型三：利用通项公式求常数项； 例：求二项式210(
x +
的展开式中的常数项？
解：5202102
110
10
1()()2r r r
r
r r r T C x C x --+==，令5
2002r -=，得8r =，所以
88
910145()2256
T C ==
练：求二项式61
(2)2x x
-的展开式中的常数项？
解：666216611(2)(1)()(1)2()22
r r r r r r r r r
r T C x C x
x ---+=-=-，令620r -=，得3r =，所以33
46
(1)20T C =-=- 练：若21
()n x x
+的二项展开式中第5项为常数项，则____.n =
解：42444212
51()()n n n n T C x C x
x
--==，令2120n -=，得6n =.
题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；
例：求二项式9展开式中的有理项？
解：
1271
936
219
9
()()(1)r r
r
r
r
r r T C x x C x
--+=-=-，令
276
r
Z -∈,(09r ≤≤)得39r r ==或，
所以当3r =时，2746
r -=，334
449
(1)84T C x x =-=-，
当9r =时，2736
r -=，393
3109
(1)T C x x =-=-。

题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；
例：若
n 展开式中偶数项系数和为256-，求n .
解：设
n 展开式中各项系数依次设为01,,,n a a a ⋅⋅⋅
1x =-令,则有010,n a a a ++⋅⋅⋅=①，1x =令,则有
0123(1)2,n n n a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-=②
将①-②得：1352()2,n a a a +++⋅⋅⋅=-11352,n a a a -∴+++⋅⋅⋅=- 有题意得，1822562n --=-=-，9n ∴=。

练：若n
的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。

解：024213
21
12r r n n
n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=，121024n -∴=，
解得11n =
所以中间两个项分别为6,7n n ==，565
451462n
T C x -+==⋅，61
15
61462T x
-
+=⋅
题型六：最大系数，最大项；
例：已知1
(2)2
n x +，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数
列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？
解：46522,21980,n
n n C C C n n +=∴-+=解出714n n ==或，当7n =时，展开式中二项式系数最大的项是45T T 和343
47135()2,22
T C ∴==的系数，
434
571()270,2
T C ==的系数当14n =时，展开式中二项式系数最大的项是8T ，
777
8141C ()234322
T ∴==的系数。

练：在2()n a b +的展开式中，二项式系数最大的项是多少？
解：二项式的幂指数是偶数2n ，则中间一项的二项式系数最大，即211
2n n T T ++=，
也就是第1n +项。

练：在(2n x -的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项
是多少？
解：只有第5项的二项式最大，则
152
n
+=，即8n =,所以展开式中常数项为第七项等于6281
()72
C =
练：写出在7()a b -的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？
解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(4,5第项)的二项式系数相等，
且同时取得最大值，从而有34347
T C a b =-的系数最小，434
57T C a b =系数最大。

练：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求1
(2)2
n x +的展开式中系数最大
的项？
解：由012
79,n
n n C C C ++=解出12n =,假设1r T +项最大，12121211(2)()(14)22
x x +=+ 11
1121211
12121244
44
r r r r r r r r
r r r r A A C C A A C C --+++++⎧≥≥⎧⎪∴=⎨⎨≥≥⎪⎩⎩，化简得到9.410.4r ≤≤，又012r ≤≤，
10r ∴=，展开式中系数最大的项为11T ,有12101010
1011121()4168962
T C x x ==
练：在10(12)x +的展开式中系数最大的项是多少？
解：假设1r T +项最大，110
2r
r r r T C x +=⋅ 11
1010111
12101022
2(11)12(10)22,
r r r r r r r r r r r r C C A A r r A A r r C C --+++++⎧≥≥-≥⎧⎧⎪∴=⎨⎨⎨≥+≥-≥⎩⎪⎩⎩解得，化简得到6.37.3k ≤≤，又010r ≤≤，7r ∴=，展开式中系数最大的项为
777
7810215360.T C x x ==
题型七：含有三项变两项；
例：求当25(32)x x ++的展开式中x 的一次项的系数？
解法①：2525(32)[(2)3]x x x x ++=++，2515(2)(3)r r r r T C x x -+=+，当且仅当1
r =时，1r T +的展开式中才有x 的一次项，此时1
24125(2)3r T T C x x +==+，所以x 得一次项为144
5
423C C x 它的系数为144
5
423240C C =。

解法②：
255505145051455
555555(32)(1)(2)()(22)x x x x C x C x C C x C x C ++=++=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ 故展开式中含x 的项为455
4455
522240C xC C x x +=，故展开式中x 的系数为240. 练：求式子31
(2)x x
+
-的常数项？
解：36
1(2)x x +
-=，设第1r +项为常数项，则66261661(1)(
)(1)r
r r
r r r
r T C x
C x x
--+=-=-，得620r -=,3r =, 33
316(1)20T C +∴=-=-.
题型八：两个二项式相乘；
例：342(12)(1)x x x +-求展开式中的系数.
解：33
3(12)(2)2,m m m m m x x x +⋅=⋅⋅的展开式的通项是C C 444(1)C ()C 1,0,1,2,3,0,1,2,3,4,
n n n n n
x x x m n -⋅-=⋅-⋅==的展开式的通项是其中
342,02,11,20,(12)(1)m n m n m n m n x x +=======+-令则且且且因此
20022111122003434342(1)2(1)2(1)6
x C C C C C C ⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-=-的展开式中的系数等于.
练：610
(1(1+
求展开式中的常数项.
解：436
103412
610610(1(1m n m n
m n m n
C x C x C C x --+⋅=⋅⋅展开式的通项为
0,3,6,
0,1,2,,6,0,1,2,,10,43,0,4,8,m m m m n m n n n n ===⎧⎧⎧=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⎨⎨⎨
===⎩⎩⎩其中当且仅当即或或
003468
6106106104246C C C C C C ⋅+⋅+⋅=时得展开式中的常数项为.
练：
2*31(1)(),28,______.n
x x x n N n n x
+++
∈≤≤=已知的展开式中没有常数项且则 解：
3431()C C ,n r n r r r n r n n x x x x x
---+
⋅⋅=⋅展开式的通项为通项分别与前面的三项相乘可得
44142
C ,C ,C ,,28r n r r n r r n r n n n x x x
n --+-+⋅⋅⋅≤≤展开式中不含常数项 441424,83,72,6, 5.n r n r n r n n n n ∴≠≠+≠+≠≠≠∴=且且，即且且 题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和； 例：
2006(,,,_____.
x x S x S ==在的二项展开式中含的奇次幂的项之和为当
解：2006123200601232006(x a a x a x a x a x ++++
+设=-------①
2006123200601232006(x a a x a x a x a x --+-+
+=-------②
3520052006200613520052()((a x a x a x a x x x -++++=-①②得
2006200620061
(()[((]2
x S x x x ∴=-展开式的奇次幂项之和为
320062
20062006300812
,]222
x S ⨯==-=-=-当
题型十：赋值法；
例：
设二项式1
)n x
的展开式的各项系数的和为p ，所有二项式系数的和为
s ,若
272p s +=,则n 等于多少？
解：若20121
)n n n a a x a x a x x
=+++⋅⋅⋅+，有01n P a a a =++⋅⋅⋅+，
02n
n n n S C C =+⋅⋅+=，
令1x =得4n P =，又272p s +=,即42272(217)(216)0n n n n +=⇒+-=解得
216217()n n ==-或舍去，4n ∴=.
练：若的展开式中各项系数之和为64，
则展开式的常数项为多少？ 解：令1x =，则的展开式中各项系数之和为264n
=，所以，则展开式的常数项为540=-. 练：
20091232009200912
0123200922009
(12)(),222a a a x a a x a x a x a x x R -=++++
+∈++⋅⋅⋅+若则
的值为
解：200920091212002200922009
1
,0,2222222
a a a a a a x a a =+++⋅⋅⋅+=∴++⋅⋅⋅+=-令可得 200912022009
01, 1.222a a a
x a ==++⋅⋅⋅+=-在令可得因而
练：55432154321012345(2),____.x a x a x a x a x a x a a a a a a -=+++++++++=若则 解：0012345032,11,x a x a a a a a a ==-=+++++=-令得令得
n
x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13n
x x ⎪
⎪⎭⎫ ⎝
⎛-136n
=3
33
6
(C ⋅
1234531.a a a a a ∴++++=
题型十一：整除性；
例：证明：22*389()n n n N +--∈能被64整除 证：2211389989(81)89n n n n n n +++--=--=+--
011121111111888889n n n n n n n n n n C C C C C n +-++++++=++⋅⋅⋅+++-- 011121118888(1)189n n n n n n C C C n n +-+++=++⋅⋅⋅++++--01112
111888n n n n n n C C C +-+++=++⋅⋅⋅+
由于各项均能被64整除22*389()64n n n N +∴--∈能被整除
1、(x －1)11展开式中x 的偶次项系数之和是
1、设f(x)=(x-1)11, 偶次项系数之和是10242/)2(2
)
1(f )1(f 11-=-=-+
2、=++++n
n n 2n 21n 0n C 3C 3C 3C 2、
2、4n
3、20
3)5
15(+
的展开式中的有理项是展开式的第 项 3、3,9,15,21
4、(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是
4、(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和，故令x=1，则所求和为35
5、求(1+x+x 2)(1-x)10展开式中x 4的系数
5、93102)x 1)(x 1()x 1)(x x 1(--=-++,要得到含x 4的项，必须第一个因式中的1
与(1-x)9展开式中的项44
9
)x (C -作积，第一个因式中的－x 3与(1-x)9展开式中的项)x (C 19-作积，故x 4的系数是135C C 4
919=+6、求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3的系数6、)x 1(1])x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(1010
2
+-+-+=+++++）（ =x
x x )
1()1(11+-+，原式中
x 3实为这分子中的x 4
，则所求系数为7C 7、若)N n m ()x 1()x 1()x (f n m ∈⋅+++=展开式中，x 的系数为21，问m 、n 为何值时，x 2的系数最小？
7、由条件得m+n=21，x 2的项为22n 22m x C x C +，则.4
399)221n (C C 22n 2m +-
=+因n ∈N ，故当n=10或11时上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11时，x 2的系数最小
8、自然数n 为偶数时，求证： 1n n n 1n n 4n 3n 2n 1n 2
3C C 2C C 2C C 21--⋅=+++++++ 8、原式=1n 1n n 1n n 5n 3n 1n n n 1n n 2n 1n 0
n 2.32
2)C C C C ()C C C C C (----=+=++++++++++ 9、求1180被9除的余数
9、 )(1811818181)181(8010111011111011
1111Z k k C C C ∈-=-++-=-= , ∵k ∈Z,∴9k-1∈Z ，∴1181被9除余8
10、在(x 2+3x+2)5的展开式中，求x 的系数
10、5552)2x ()1x ()2x 3x (++=++
在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x 的项为x 5C 1
5=，在(2+x)5展开式中，常
数项为25=32，含x 的项为x 80x 2C 41
5=
∴展开式中含x 的项为 x 240)32(x 5)x 80(1=+⋅，此展开式中x 的系数为240
11、求(2x+1)12展开式中系数最大的项
11、设T r+1的系数最大，则T r+1的系数不小于T r 与T r+2的系数，即有
⎩⎨⎧≥≥⇒ ⎝⎛≥≥+--+----1r 12
r 121r 12r 12r 111r 12r 12r 12r 131r 12r 12r 12C C 2C 2C 12C 2C 2C 2C ⇒4r ,3
14r 313=∴≤≤ ∴展开式中系数最大项为第5项，T 5=44412
x 7920x C 16=。