高考第一轮复习数学：圆锥曲线的方程（附答案）

素质能力检测（八）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.过原点的直线l 与双曲线42
x －3
2y =－1交于两点，则直线l 的斜率的取值范围是
A.（－23，2
3
）
B.（－∞，－23）∪（23
，+∞）
C.［－33，2
3
］
D.（－∞，－23）∪［2
3
，+∞）
解析：双曲线焦点在y 轴上，渐近线斜率为±23，利用数形结合易得k ＞2
3
或k ＜
－2
3.
答案：B
2.（年启东市第二次调研题）过点M （－2，0）的直线l 与椭圆x 2+2y 2=2交于P 1、P 2
两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线l 的斜率为k 1（k 1≠0），直线OP 的斜率为k 2，则k 1·k 2的值为
A.2
B.－2
C.21
D.－2
1
解析：设P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），中点P （x 0，y 0），则k 1=
2
12
1x x y y --，
k 2=
00x y =2
12
1x x y y ++. 将P 1、P 2两点坐标代入椭圆方程
x 2+2y 2=2，相减得
2
2
212
221x x y y --=－
2
1. ∴k 1·k 2=2121x x y y --·2121x x y y ++=2
2212
221x x y y --=－2
1
. 答案：D
3.（年黄冈市调研题）如果方程p x -2+q
y 2
=1表示双曲线，则下列椭圆中，与该双曲线
共焦点的是
A.p q x +22+q y 2=1
B.p q x +22
+q
y 2=－1
C.q p x +22+q y 2=1
D.q p x +22
+q
y 2=－1 解析：由题意有pq >0，若p >0，q >0，则双曲线焦点位于y 轴上且c 2=p +q ，则只有
p <0，q <0，焦点位于x 轴上，且c 2=－p －q ，B 答案符合.
答案：B
x =2cos θ， y =sin θ（其中参数θ∈R ）上的点的最短距离为
A.
36 B.1 C. 2 D. 3
2 解析：d =θθ22sin )1cos 2(+- =2cos 4cos 32+-θθ
=3
2)32(cos 32+-θ，
d min =
36. 答案：A
5.（年北京海淀区第一学期期末练习）已知mn ≠0，则方程mx 2+ny 2=1与mx +ny 2=0在同一坐标系下的图形可能是
x x x
x
y
y
y
y
O O O O A
C
解析：由mn ≠0，分m 、n 同号或异号讨论即得A 正确. 答案：A 6.双曲线的虚轴长为4，离心率e =
2
6
，F 1、F 2分别是它的左、右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且|AB |是|AF 2|与|BF 2|的等差中项，则|AB |等于
A.82
B.42
C.22
D.8 解析：由题意知b =2，a
c =26，∴a =22. 由双曲线的定义知
4.点P （1，0）到曲线
|AF 2|－|AF 1|=42，|BF 2|－|BF 1|=42.
∴|AF 2|+|BF 2|－（|AF 1|+|BF 1|）=82，即|AB |=82.
答案：A
7.若点A 的坐标为（3，2），F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，点P 在此抛物线上移动，当｜PA ｜＋｜PF ｜取最小值时，点P 的坐标为
A.（0，0）
B.（－2，－2）
C.（2，2）
D.（2，0）
解析：由抛物线的定义知：过A 作准线的垂线与抛物线的交点即为所求. 答案：C
8.双曲线m x 2－n y 2=1（mn ≠0）的离心率为2，则n
m
的值为
A.3
B. 3
1
C.3或－31
D.3或3
1
解析：当m ＞0，n ＞0时，c =n m +，a =m ，由题意
m
n m +=2，解得
n m =3
1
； 当m ＜0，n ＜0时，c =n m --＝，a =n -，
n
n m --- =2，解得
n
m =3. 答案：D
9.已知P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）是抛物线y 2＝2px （p ＞0）上两个不同点，则y 1·y 2
＝－p 2是直线P 1P 2过焦点的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：显然当P 1P 2是通径时y 1·y 2＝－p 2，设P 1P 2的方程为x ＝ky ＋b ，代入y 2＝2Px ，知y 2＝2p （ky ＋b ），即y 2－2pky －2pb ＝0，由y 1y 2＝－p 2，b ＝
2
1p ， ∴P 1P 2：x －
21
p ＝ky ，此直线过点（2
p ，0）. 反之，若直线P 1P 2过焦点F （2
p
，0）易得y 1y 2=－p 2.
答案：C
10.圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是
A.x 2+y 2－x －2y +4
1
=0
B.x 2+y 2+x －2y +1=0
C.x 2+y 2－x －2y +1=0
D.x 2+y 2－x －2y －
4
1=0 解析：利用平面几何的知识及抛物线的定义易知圆的半径为1，圆心坐标为（2
1，1），（
21
，－1）. 答案：A
11.P 是双曲线22
a x －22b
y =1（a ＞0，b ＞0）右支上一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且
焦距为2c ，则△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标为
A.a
B.b
C.c
D.a +b －c
解析：利用平面几何的知识及双曲线的定义易知：△PF 1F 2的内切圆与x 轴的切点为双曲线的右顶点.
答案：A
12.关于方程x 2+2y 2－ax +ay －a －1=0（a ∈R ）表示的椭圆，给出以下四个命题： ①椭圆的中心在一条直线上运动； ②椭圆的大小不变；
③不论a 取什么值，椭圆总过两个定点； ④椭圆的离心率不变. 其中错误命题的个数是
A.3
B.2
C.1
D.0
解析：椭圆方程为8883)2(22++-a a a x +16
8
83)4(22
+++a a a y =1，
故中心（2a ，－4a ）在直线y =－2
1
x 上运动.
∴①成立.
离心率e =
8
8
8316
8
838883222++++-
++a a a a a a =
8
116181-=21（定值），故④成立. 随a 的变化，88832++a a 与16
8
832++a a 均变化，故②不成立.
椭圆方程又可写为（x 2+2y 2－1）+a （－x +y －1）=0. x 2+2y 2－1=0， －x +y －1=0，
由Δ=42－4×3＞0知方程组有两组解，故③成立. 综上知只有②错误，故选C. 答案：C
二、填空题（每小题4分，共16分）
令 消y 得3x 2+4x +1=0.
13.（年北京）以双曲线162
x －9
2y =1的右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程
是____________.
解析：在双曲线162
x －9
2y =1中，右顶点为（4，0），左焦点为（－5，0）.
由题设抛物线方程为y 2=－2p （x －4）（p ＞0），
且满足2
p
=4－（－5），∴p =18.
∴y 2=－2×18（x －4）， 即y 2=－36（x －4）. 答案：y 2=－36（x －4）
14.已知椭圆x 2+2y 2=4，则以（1，1）为中点的弦的长度为____________. 解析：依题意设弦端点为A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）.
分别代入椭圆方程相减得此弦的斜率k =
2121x x y y --=－)(22121y y x x ++=－2
1
.
∴此弦的方程为y =－21x +2
3
.代入x 2+2y 2=4， 整理得3x 2－6x +1=0. ∴x 1+x 2=2，x 1x 2=
3
1. ∴|AB |=212214)(x x x x --·21k +=3144⨯-·411+=3
30. 答案：
3
30
15.（年黄冈市调研，15）在△ABC 中，B （－2，0）、C （2，0）、A （x ，y ），给出△ABC 满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程，下面给出了一些条件及方程，请你用线把左边△ABC 满足的条件及相应的右边A 点的轨迹方程连起来.（错一条连线得0分）
①△ABC 周长为10 a y 2=25
②△ABC 面积为10 b x 2+y 2=4（y ≠0）
③△ABC 中，∠A =90° c 92x +5
2
y =1（y ≠0）
解析：①由|AB |+|AC |=6，得92x +5
2
y =1（y ≠0）.
②由2
1
|BC ||y |=10，得y 2=25.
③由|AB |2+|AC |2=|BC |2，得x 2+y 2=4（y ≠0）. 答案：①→c ②→a ③→b
16.（年春季上海）若平移椭圆4（x +3）2+9y 2=36，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x 轴、y 轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是_____________.
解析：由题意知椭圆的长半轴长a =3，短半轴长b =2，因椭圆与x 轴、y 轴只有一个交点，故椭圆与x 轴、y 轴相切，椭圆的中心为（3，2），所以椭圆方程为
9)3(2-x +4
)2(2
-y =1. 答案：9)3(2-x +4
)2(2
-y =1
三、解答题（本大题共6小题，共74分）
17.（12分）（年北京海淀区第一学期期末练习）设椭圆22a x +22
b
y =1（a >b >0）的左焦
点为F 1（－2，0），左准线l 1与x 轴交于点N （－3，0），过点N 且倾斜角为30°的直线
l 交椭圆于A 、B 两点.
（1）求直线l 和椭圆的方程；
（2）求证：点F 1（－2，0）在以线段AB 为直径的圆上；
（3）在直线l 上有两个不重合的动点C 、D ，以CD 为直径且过点F 1的所有圆中，求面积最小的圆的半径长.
（1）解：直线l ：y =
3
3
（x +3）， 由已知c =2及c
a 2
=3，
解得a 2=6，∴b 2=6－22=2. ∴椭圆方程为62x +2
2
y =1.
x 2+3y 2－6=0，
①
y =
3
3
（x +3），
②
将②代入①，整理得2x 2+6x +3=0.
③
设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则x 1+x 2=－3，x 1x 2=2
3
. 方法一：k A F 1·k B F 1=
211+x y ·2
22
+x y =)
2)(2()3)(3(31
2121++++x x x x =
]
4)(2[39
)(321212121++++++x x x x x x x x
=－1，
∴F 1A ⊥F 1B ，即∠AF 1B =90°.
∴点F 1（－2，0）在以线段AB 为直径的圆上.
（2）证明：解方程组
方法二：A F 1·B F 1=（x 1+2，y 1）·（x 2+2，y 2） =（x 1+2）（x 2+2）+y 1y 2 =x 1x 2+2（x 1+x 2）+4+3
1
［x 1x 2+3（x 1+x 2）+9］ =
3
4
x 1x 2+3（x 1+x 2）+7=0， ∴F 1A ⊥F 1B .则∠AF 1B =90°.
∴点F 1（－2，0）在以线段AB 为直径的圆上.
（3）解：面积最小的圆的半径长应是点F 1到直线l 的距离，设为r .
∴r =
1)3
3(|
30)2(33
|
2
++--⨯=21为所求. 18.（12分）已知椭圆的焦点是F 1（－3，0）和F 2（3，0），离心率为e =2
3. （1）求椭圆上的点到直线2x +3y +8=0距离的最大值； （2）若P 在椭圆上，1PF ·2PF =
3
2
，求△PF 1F 2的面积. 解：（1）设椭圆22a x +22
b
y =1，半焦距为c ，则
c =3 a =2 a 2=4，
a c =2
3 a 2－b 2=3 b 2=1. ∴椭圆方程为4
2x +y 2
=1.
设椭圆上的点为P （2cos θ，sin θ）， P 到直线2x +3y +8=0的距离d =|
13
8
sin 3cos 4++θθ|=|
13
8
)sin(5++ϕθ|≤|
13
13|=13.
当且仅当sin （θ+ϕ）=1时取“=”（其中tan ϕ=3
4）. 椭圆上的点到直线2x +3y +8=0的最大值为13.
（2）∵1PF ·2PF =|1PF ||2PF |cos 〈1PF ，2PF 〉=
3
2， 又∵|21F F |2=|1PF |2+|2PF |2－2|1PF |·|2PF |cos 〈1PF ，2PF 〉，
⇒
⇒
∴|PF 1|+|PF 2|=4，
即12=（|1PF |+|2PF |）2－2|1PF |·|2PF |－
32·2=16－2|1PF |·|2PF |－3
2
·2⇒|1PF |·|2PF |=34⇒cos 〈1PF ，2PF 〉=2
1
⇒sin 〈1PF ，2PF 〉=23.
∴S △PF 1
F 2=21|1PF ||2PF |sin 〈1PF ，2PF 〉=21·3
4
·23=33.
19.（12分）（年春季上海）设点P （x ，y ）（x ≥0）为平面直角坐标系xOy 中的一个
动点（其中O 为坐标原点），点P 到定点M （21，0）的距离比点P 到y 轴的距离大2
1
.
（1）求点P 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线；
（2）若直线l 与点P 的轨迹相交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，点O 到直线l 的距离为
2，求直线l 的方程.
解：（1）∵x ≥0，∴22)21(y x +-=x +2
1
.
整理得y 2=2x .
这就是动点P 的轨迹方程，它表示顶点在原点，对称轴为x 轴，开口向右的一条抛物线.
（2）①当直线l 的斜率不存在时，由题设可知，直线l 的方程是x =2.
联立x =2与y 2=2x ，可求得点A 、B 的坐标分别为（2，22）与（2，－
22），此时不满足OA ⊥OB ，故不合题意.
②当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y =kx +b （其中k ≠0，b ≠0）.
将x =
k
b
y -代入y 2=2x 中， 并整理得ky 2－2y +2b =0. ①
设直线l 与抛物线的交点坐标为A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则y 1、y 2为方程①的两个
根，于是y 1y 2=k
b
2.
又由OA ⊥OB 可得x 1x 2+y 1y 2=0. ②
将x 1=221y ，x 2=2
2
2y
代入②并整理得y 1y 2+4=0，∴b +2k =0.
③
又由点O 到直线l 的距离为2，得1
||2
+k b =2.
④
联立③④得k =1，b =－2或k =－1，b =2. 故直线l 的方程为y =x －2或y =－x +2.
20.（12分）（年北京朝阳区模拟题）已知椭圆C ：22a x +22
b
y =1（a ＞b ＞0）.
（1）若点P （x 0，y 0）是椭圆C 内部的一点，求证：
2
2
0a
x +
2
2
0b
y ＜1；
（2）若椭圆C ：22a x +22
b
y =1（a ＞b ＞0）上存在不同的两点关于直线l ：y =x +1对称，
试求a 、b 满足的关系式.
（1）证明：设F 1、F 2为椭圆C 的左、右两个焦点.∵P 是椭圆C 内部的一点， ∴|F 1P |+|F 2P |＜2a .
∴2
020)(y c x +++2
020)(y c x +-＜2a . ∴（a 2－c 2）x 02+a 2y 02＜a 2（a 2－c 2）. ∴
2
2
0a
x +
2
2
0b
y ＜1（b 2=a 2－c 2）.
（2）解：设椭圆C 上关于直线l 对称的点A 、B 的坐标为A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），线段AB 的中点坐标为M （x M ，y M ），则有
b 2x 12+a 2y 12=a 2b 2， ①
b 2x 22+a 2y 22=a 2b 2， ②
1
21
2x x y y --=－1，
③ y M =x M +1.
④ ②－①得b 2（x 22－x 12）+a 2（y 22－y 12）=0，
b 2（x 2－x 1）（x 2+x 1）+a 2（y 2－y 1）（y 2+y 1）=0， b 2x M +a 2y M
1
21
2x x y y --=0，
把③代入上式得b 2x M －a 2y M =0，
⑤
由④和⑤得x M =222a b a -，y M =222a b b -，
即M （222a b a -，2
22
a
b b -）.
∵点M 在椭圆C 的内部，
∴22222)(a a b a -+2
2222)
(b a b b -＜1. ∴a 2+b 2＜（b 2－a 2）2=（a +b ）2（a －b ）2.
a 、
b 应满足的不等式为a 2+b 2＜（a +b ）2（a －b ）2. 21.有点难度哟！
（12分）（年全国Ⅱ，21）给定抛物线C ：y 2=4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点.
（1）设l 的斜率为1，求OA 与OB 夹角的大小；
（2）设FB =λAF ，若λ∈［4，9］，求l 在y 轴上截距的变化范围.
分析：本题主要考查抛物线的性质、直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力.
解：（1）C 的焦点为F （1，0），直线l 的斜率为1，所以l 的方程为y =x －1. 将y =x －1代入方程y 2=4x ，并整理得
x 2－6x +1=0.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有x 1+x 2=6，x 1x 2=1.
OA ·OB =（x 1，y 1）·（x 2，y 2）
=x 1x 2+y 1y 2=2x 1x 2－（x 1+x 2）+1 =－3.
|OA ||OB |=2
12
1y x +·2
22
2y x + =]16)(4[212121+++x x x x x x =41. cos 〈OA ，OB 〉|
|||OB OA OB OA =－
41
41
3. 所以OA 与OB 夹角的大小为 π－arccos
41
41
3. （2）由题设FB =λAF ，得
（x 2－1，y 2）=λ（1－x 1，－y 1），
x 2－1=λ（1－x 1）， ① y 2=－λy 1.
② 由②得y 22=λ2y 12.
∵y 12=4x 1，y 22=4x 2，∴x 2=λ2x 1.
③
即
联立①③解得x 2=λ.依题意有λ>0，
∴B （λ，2λ）或B （λ，－2λ）.又F （1，0），得直线l 方程为（λ－1）y =2λ（x －1）或（λ－1）y =－2λ（x －1）.
当λ∈［4，9］时，l 在y 轴上的截距为12-λλ或－12-λλ.由12-λλ=12+λ+1
2-λ， 可知
1
2-λλ在［4，9］上是递减的， ∴43≤12-λλ≤34，－34≤－12-λλ≤－4
3. 直线l 在y 轴上截距的变化范围为［－34，－43］∪［43，3
4］. 22.有点难度哟！
（14分）（北京市东城区~第一学期期末教学目标检测）已知常数a >0，向量m =（0，a ），n =（1，0），经过定点A （0，－a ），以m +λn 为方向向量的直线与经过定点B （0，a ），以n +2λm 为方向向量的直线相交于点P ，其中λ∈R .
（1）求点P 的轨迹C 的方程； （2）若a =
2
2，过E （0，1）的直线l 交曲线C 于M 、N 两点，求EM ·EN 的取值范围.
解：（1）设P 点的坐标为（x ，y ），则AP =（x ，y +a ），BP =（x ，y －a ），
又n =（1，0），m =（0，a ），
故m +λn =（λ，a ），n +2λm =（1，2λa ）. 由题知向量AP 与向量m +λn 平行，故λ（y +a ）=ax . 又向量BP 与向量n +2λm 平行，故y －a =2λax .
两方程联立消去参数λ，得点P （x ，y ）的轨迹方程是（y +a ）（y －a ）=2a 2x 2， 即y 2－a 2=2a 2x 2. （2）∵a =
2
2，故点P 的轨迹方程为2y 2－2x 2=1， 此时点E （0，1）为双曲线的焦点. ①若直线l 的斜率不存在，其方程为x =0，l 与双曲线交于M （0，2
2）、N （0，－2
2）， 此时EM ·EN =（
22－1）（－22－1）=1－21=2
1. ②若直线l 的斜率存在，设其方程为y =kx +1，代入2y 2－2x 2=1化简得2（k 2－1）x 2+4kx +1=0.
∵直线l 与双曲线交于两点，
∴Δ=（4k ）2－8（k 2－1）>0且k 2－1≠0. 解得k ≠±1.
设两交点为M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）， 则x 1+x 2=1
22--k k ，x 1x 2=)1(212-k . 此时EM ·EN ＝（x 1，y 1－1）·（x 2，y 2－1）=（x 1，kx 1）·（x 2，kx 2） =x 1x 2+k 2x 1x 2=（k 2+1）x 1x 2 =)1(2122-+k k =21（1+1
22-k ）. 当－1<k <1时，k 2－1<0，故EM ·EN ＝21（1+122-k ）≤－21； 当k >1或k <－1时，k 2－1>0， 故EM ·EN =21（1+1
22-k ）>21. 综上所述，EM ·EN 的取值范围是（－∞，－21）∪［2
1，+∞）.。