高考数学考点专项突破 等差数列与等比数列(含解析)

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等差数列与等比数列
一、单选题
1、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1512,90a S ==，则等差数列{}n a 公差d =（ ）
A ．2
B ．
3
2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】∵a 1=12，S 5=90，∴5×12+
54
2
⨯ d=90, 解得d=3．故选C ．
2、已知公差不为0的等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，满足3110S S -=,且124,,a a a 成等比数列，则3a =（ ） A ．2 B ．6
C ．5或6
D ．12
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为d ，则()()
112
11133103a d a a d a a d +-=⎧⎪⎨+=+⎪⎩ , 解得122a d =⎧⎨=⎩或15
0a d =⎧⎨=⎩
（舍），故()322316a =+⨯-=，
故选:B.
3、设数列｛a n ｝是等差数列,若a 3+a 4+a 5＝12，则a 1+a 2+…+a 7＝（ ) A ．14 B ．21
C ．28
D ．35
【答案】C
【解析】数列｛a n }是等差数列，则345443142a a a a a ==+∴=+；
1247728a a a a =⋯+=++
故选:C
4、（2019年高考全国III 卷理数）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ) A ．16 B ．8
C ．4
D ．2
【答案】C
【解析】设正数的等比数列｛a n ｝的公比为q ,则23111142
111
1534a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2
a q =⎧⎨=⎩，2
314a a q ∴==，故选C ．
5、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若70a >，80a <，则下列结论正确的是（ ） A ．78S S < B ．1516S S <
C ．130S >
D ．150S >
【答案】C
【解析】由等差数列的性质及求和公式得,11313713()1302a a S a +==>，11515815()
1502
a a S a +==<，
故选C 。

6、（2018年高考全国I 卷理数）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，
12a =,则5a =（ ） A ．12- B ．10- C ．10
D ．12
【解析】设等差数列的公差为d ，根据题中的条件可得3243
332224222d d d ⨯⨯⎛⎫⨯+
⋅=⨯++⨯+⋅ ⎪⎝⎭
, 整理解得3d =-，所以51421210a a d =+=-=-，故选B ．
7、（2019·湖南衡阳市八中高三月考（理））公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论:他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。

当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米。

当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……,所以,阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为（ ）
A ．4101
90
-
B ．5101900-
C ．510990-
D ．4109900
-
【答案】B
【解析】根据条件，乌龟每次爬行的距离构成等比数列,公比为
110
当阿基里斯和乌龟的速度恰好为210-米时,乌龟爬行的总距离为
5
52
110011********* (101900110)
-⎛
⎫- ⎪-⎝⎭+++==
- 故选B
8、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知数列{}n a 满足12n n a a +=+且2469a a a ++=，则
3579log ()a a a ++=（ ）
A ．—3
B ．3
C ．1
3
-
D ．
13
【解析】
1122n n n n a a a a ++=+∴-=，∴数列{}n a 是以2为公差的等差数列,
()()()()7922464653339a a a a d a d a d a a a d ∴++=+++++=+++,
249b a a a ++=，57999227a a a ∴++=+⨯=，()35793log log 273a a a ∴++==，
故选：B 。

9、(2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且35
2
a =，99S =，则7a =（ ）
A ．
12
B ．1
C ．12
-
D ．2
【答案】C
【解析】由已知7193795
9()9()9()29222
a a a a a S +++====，得7
12
a =-， 故选：C 。

9、(2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）各项都是正数的等比数列{}n a 的公比1q ≠,且2311
,
,2
a a a 成等差数列，则34
45
a a a a ++的值为（ ）
A
B
C
．1
2
D
．
12
或1
2
【解析】根据题意有213122a a a +=⋅
，即210q q --=
，因为数列各项都是正数，所以q =,
而344511
2
a a a a q +===+，故选C.
10、（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a
为递减数列，则( ） A ．0d <
B ．0d >
C ．10a d <
D ．10a d
>
【答案】C 【解析】
因为{}n a 是等差数列，则2
11
1(1)1(1)22n a a a a n d
n a a n d +-=+-∴=，又由于{}1
2n
a a 为递减数列,所以
1111
-0
1221202
n n a a a d a a a d +=>=∴<，故选C 。

11、（2020届山东实验中学高三上期中）古代数学著作《九章算术》有如下的问题:“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，己知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上述己知条件,若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（ ） A ．6天 B ．7天
C ．8天
D ．9天
【答案】C 【解析】
设该女子第一天织布x 尺，
则5(12)512
x -=-,
解得531
x =
， ∴前n 天织布的尺数为：
()52131
n
-， 由
5(21)3031
n
-，得2187n , 解得n 的最小值为8． 故选：C ．
12、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，前n 项和是n S ,若
9810S S S <<，则（ )
A ．0d >,170S >
B ．0d <,170S <
C ．0d >，180S <
D ．0d >，180S >
【答案】D
【解析】
9810S S S <<，90a ∴<，9100a a +>，100a ∴>，0d >.
179017S a =<∴，()1891090S a a =+>.
故选：D 二、多选题
13、若S n 为数列{a n ｝的前n 项和，且S n ＝2a n +1，（n ∈N *）,则下列说法正确的是（ ） A ．a 5＝﹣16
B ．S 5＝﹣63
C ．数列｛a n ｝是等比数列
D ．数列｛S n +1｝是等比数列
【答案】AC
【解析】：∵S n ＝2a n +1,（n ∈N *)，
∴①当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1+1,∴a 1＝﹣1，
②当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2a n +1﹣2a n ﹣1﹣1，∴2a n ﹣1＝a n ，∴
a a a a −1
=2，
∴数列｛a n }是首项为﹣1，公比为2的等比数列,故选项C 正确， ∴a a =−2
a −1
，a a =
−(1−2a )
1−2
=1−2a
∴a 5=−24
=−16，a 5=
−(1−25)
1−2
=−31，故选项A 正确，选项B 错误，
又∵a a +1=2−2a ，∴数列｛S n +1}不是等比数列，故选项D 错误， 故选：AC ．
14、（2019秋•潍坊期末）设数列｛a n ｝是等差数列，S n 是其前n 项和，a 1＞0且S 6＝S 9，则（ ） A ．d ＞0
B ．a 8＝0
C ．S 7或S 8为S n 的最大值
D ．S 5＞S 6
【答案】BC
【解析】：a 1＞0且S 6＝S 9，∴6a 1+6×52d ＝9a 1+9×8
2
d ,化为:a 1+7d ＝0，可得a 8＝0，d ＜0．
S 7或S 8为S n 的最大值，S 5＜S 6．
故选：BC ．
15、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知等比数列{}n a 的公比2
3
q =-，等差数列{}n b 的首项112b =，若99a b >且1010a b >，则以下结论正确的有（ ）
A ．9100a a ⋅<
B ．910a a >
C ．100b >
D ．910b b >
【答案】AD
【解析】
等比数列{}n a 的公比23
q =-
，
9a ∴和10a 异号，9100a a ∴< ，故A 正确；
但不能确定9a 和10a 的大小关系；故B 不正确；
9a 和10a 异号，且99a b >且1010a b >, 9b ∴和10b 中至少有一个数是负数,
又
1120b => ，0d ∴< 910b b ∴> ，故D 正确，
10b ∴一定是负数，即100b < ，故C 不正确;
故选：AD
16、（2020届山东省济宁市高三上期末)设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件1201920201,1a a a >>，
201920201
01
a a -<-，下列结论正确的是（ ）
A ．S 2019〈S 2020
B ．2019202110a a -<
C ．T 2020是数列{}n T 中的最大值
D ．数列{}n T 无最大值
【答案】AB
【解析】当0q <时，2
2019202020190a a a q =<，不成立；
当1q ≥时，201920201,1a a ≥>，
201920201
01
a a -<-不成立；
故01q <<,且201920201,01a a ><<，故20202019S S >，A 正确;
2201920212020110a a a -=-<，故B 正确；
2019T 是数列{}n T 中的最大值，CD 错误;
故选:AB 三、填空题
17、（2020届江苏省七市第二次调研考试）在等差数列{}n a (n *∈N ）中，若124a a a =+,83a =-,则20a 的值是______. 【答案】—15
【解析】
数列{}n a 是等差数列，1524a a a a ∴+=+,又124a a a =+，50a ∴=，
853
1853
a a d --∴=
==--，故2051515a a d =+=-。

故答案为：15-
18、（2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟）已知等比数列{a a }的前a 项和为a a ，若a 2a 8=
2a 3a 6,a 5=−62，则a 1的值是 ．
【答案】—2
【解析】∵a 2a 8=2a 3a 6∴a 52=2a 5a 4∴a 5=2a 4∴a =2,a 5=−62∴a 1(1−25
)
1−2
=−62∴a 1=−2 19、（2019年高考全国I 卷理数)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若2
1461
3
a a a ==，，则S 5=___________．
【答案】
121
3
【解析】设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a =
=，所以32511
(),33
q q =又0q ≠，
所以3,q =所以
55
151
(13)
(1)12131133
a q S q --===
--． 18、(2020届江苏省南通市、泰州市高三上学期第一次联合调研）已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，
a 2,a 4成等比数列，则
1
a d
的值为_____。

【答案】1
【解析】由0d ≠的等差数列{}n a ，
因为124,,a a a 成等比数列，则2
214a a a =⋅,即()()2
1113a d a a d +=+，
可得1a d =,则1
1a d
=， 故答案为:1
19、（2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若
1320,3a a a ≠=,则
10
5
S S 的值为_______. 【答案】
163。

【解析】由323a a =得()1123a d a d +=+，即12d a =-，
110115111109
10109016254520352
a d S a a S a a a d ⨯+
-∴===⨯-+， 故答案为：
163
. 20、（2019年高考北京卷理数)设等差数列{a n ｝的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n
的最小值为___________． 【答案】 0，10-.
【解析】等差数列{}n a 中,53510S a ==-，得32,a =-又23a =-,所以公差321d a a =-=，
5320a a d =+=,
由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-。

21、（2020届江苏省如皋中学、徐州一中、宿迁中学三校高三联合考试)如图，将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表已知表中的第一列125,,,
a a a 构成一个公比为2的等比数列，从第2
行起，每一行都是一个公差为d 的等差数列，若3865,524a a ==，则d =________。

1
234567
89
a a a a a a a a a ⋅⋅⋅
【答案】3 【解析】
从第2行起，每一行都是一个公差为d 的等差数列，
235a a d d ∴=-=-，第n 行的个数为21n -，
从第1行到第n 行的所有数的个数总和为
2(121)
2
n n n +-=，
28695=+,86a ∴是第10行第5个数，
8888682242452(24)524a a d a d d ∴=+=⋅+=⋅--=，
整理得252756,3d d =∴=。

故答案为：3.
四、解答题
22、(2018年高考全国II 卷理数）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,已知17a =-，315S =-．
（1）求{}n a 的通项公式; (2)求n S ，并求n S 的最小值．
【答案】（1）a n =2n –9;（2）S n =n 2
–8n ，最小值为–16． 【解析】（1）设｛a n ｝的公差为d ,由题意得3a 1+3d =–15．
由a 1=–7得d =2．
所以｛a n ｝的通项公式为a n =2n –9． (2）由（1）得S n =n 2
–8n =（n –4）2
–16． 所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．
23、（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知数列{}{},n n a b 满足:1112,,2n n n n a a n b a n b ++=+-==. （1）证明数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n b 的通项； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S 。

【答案】（1）见证明；（2)n S 21
2
22
n n n
++=-- 【解析】（1）证明：因为n n b a n -=,
所以n n b a n =+．
因为121n n a a n +=+- 所以()()112n n a n a n +++=+ 所以12n n b b +=．
又12b =，
所以{}n b 是首项为12b =，公比为2的等比数列，
所以1222n n
n b -=⨯=．
(2）解:由(1）可得2n
n n a b n n =-=-，
所以(
)
123
2222n n S =+++
+ ()123n -+++
+
(
)()212112
2
n n n -+=
+-
21
2
22
n n n
++=--． 24、已知等差数列{}n a 满足13428,4a a a a +=-=. （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；
（2）记数列1
{
}n S 的前n 项和为n T ，若99100
n T >，求n 的最小值。

【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d .依题意有
13428,4.
a a a a +=⎧⎨-=⎩解得12,2.a d =⎧⎨
=⎩ 所以2
2,n n a n S n n ==+。

（2)因为211111
n S n n n n ==-++， 所以12
111111111
(1)()()1223
11
n n T S S S n n n =
+++
=-+-++-=-++。

因为99100n T >
,即199
11100
n ->+，
所以99n >.所以n 的最小值为100
25、(2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且
525S =，2a 是1a 和5a 的等比中项.
(1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n b 满足2n a
n b =,证明数列{}n b 是等比数列,并求{}n b 的前n 项和n T .
【解析】因为2a 是1a 和5a 的等比中项，所以2
215a a a =⋅
设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则()()2
1114a d a a d +=⋅+，
即2
12a d d =，∵0d ≠,∴12a d =①
51545252
d
S a ⨯=+
=,整理得125a d +=② （或53525S a ==，∴3152a a d ==+）
由①②解得11
2a d =⎧⎨=⎩
所以1(1)21n a a n d n =+-=-
（2）212
2n
a n n
b -==
因为21
121242
n n n n b b ++-== 所以数列{}n b 是以12b =为首项，4为公比的等比数列
所以数列{}n b 的前n 项和为()()13521214222224114
3
n n n
n
T --=++++=
=
-- 26、（2020·浙江镇海中学高三3月模拟）在数列{}n a 中,11a =,23a =，且对任意的n ∈N *,都有
2132n n n a a a ++=-。

（Ⅰ）证明数列{}+1n n a a -是等比数列,并求数列{}n a 的通项公式;
（Ⅱ）设12n n n n b a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n S ,若对任意的n ∈N ＊
都有1n
n
S m a ≥+,求实数m 的取值范围. 【解析】
(Ⅰ）由2132n n n a a a ++=-可得2112()n n n n a a a a +++-=-．
又11a =，23a =，所以2120a a -=≠，故
21
12n n n n
a a a a +++-=-.
所以1{}n n a a +-是首项为2，公比为2的等比数列。

所以12n
n n a a +-=。

所以1211()()n n n a a a a a a -=+-++-21222n =+++
+21n =-。

(Ⅱ）因为12(21)(21)n n n n b +=--11(21)(21)(21)(21)n n n n ++---=--111
2121
n n +=---。

所以12n n S b b b =++
+223+11
1111
1212121212121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-
⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
+11=121
n -
-。

又因为对任意的*
n N ∈都有1n n S m a ≥
+,所以+11112121
n n m ≤----恒成立, 即1min 1112121n n m +⎛
⎫≤-
- ⎪--⎝⎭,即当1n =时，1
3
m ≤-. 27、（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
2
n n n
S +=．公比大于0的
等比数列{}n b 的首项为11b =，且2320b b +=． （1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）若2()n n n a c b =，求证：1237 (2)
n c c c c ++++<,()n *
∈N ．
【解析】（1)数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
2
n n n
S +=，
当1n =时，1111
12
a S +==
=， 当2n ≥时，()()2
21
1122
n n n n n n n a S S n --+-+=-=-=， 经检验,11a =满足n a n =,
所以，数列{}n a 的通项公式为n a n =； 设{}n b 的公比为()0q q >，
2320b b +=即21120b q b q +=，
将11b =代入21120b q b q +=，得2
200q q +-=()0q >，
解得4q =,
所以，数列{}n b 的通项公式为1
4n n b -=。

（2）22
1()4
n n n n a n c b -==，
当2n ≥时，2
2
21221
1(1)
1(1)9444164n n n n n c n n n c n +-⎛⎫++ ⎪+⎝⎭===
≤， 即19
16
n n c c +≤
， 12c c 1==，3916
c =
， ∴当2n ≥时，2
916n n c -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，
123n c c c c ∴+++⋯+
22
99911161616n -⎛⎫⎛⎫
≤++++⋯+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
1
9116
19116
n -⎛⎫- ⎪
⎝⎭
=+-
1
16911716n -⎡⎤
⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪
⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
16237
1772
<+
=< ()*1237
,n N 2
n c c c c ∴+++⋯+<∈。

28、(2020届山东实验中学高三上期中)设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知(
)2
4=+2n n n S a a n N
*
∈
(1）求证:数列{}n a 是等差数列，并求其通项公式
（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且1
4n n n b a a +=⋅，若()12n
n T n λ<+-⋅对任意n N *∈都成立，求实数λ的取值范围。

【解析】（1）证明：∵2
42n n n S a a =+，且0n a >，
当1n =时，2
11142a a a =+,解得12a =．
当2n ≥时，有211142n n n S a a ---=+即22
1114422n n n n n n S S a a a a ----=-+-，即2211422n n n n n a a a a a --=-+-．于是22
1122n n n n a a a a ---=+，
即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+．
∵10n n a a ->+，∴12(2)n n a a n --=≥为常数
∴数列{}n a 是2为首项，2为公差的等差数列，∴2n a n =．
（2)由（1)可得:111
(1)1
n b n n n n =
=-++ ，
∴111
111(1)()()1223
111
n n T n n n n =-+-+
+-=-=+++ ()12n n T n λ∴<+-⋅,即
()121n n n n λ<+-⋅+对任意n N *
∈都成立()(
)min
112(1)n
n n n n λ⎡⎤++-⋅+⇔<⎢⎥⎢⎥⎣⎦
6BD PD ===，
①当n 为偶数时,(2)(1)
n n n
λ++<
恒成立,
令()(2)(1)2
3n n f n n n n
++=
=++，
()()(1)2
10(1)
n n f n f n n n +-+-=
>+，
()f n ∴在n N *∈上为增函数， ()()min 26f n f ∴==
②当n 为奇数时，(2)(1)n n n λ-+<
恒成立，又
(2)(1)21n n n n n -+=--,()2
f n n n
=-易知：在•n N ∈为增函数,()()min 12f n f ==- ∴由①②可知:2λ<-
综上所述λ的取值范围为:(),2-∞-。