宜宾市2016-2017学年八年级上期末数学预测试卷含答案解析

2016-2017学年四川省宜宾市八年级（上）期末数学预测试卷
一、选择题（每小题只有一个选项是正确的．每小题3分，共24分）
1．如果一个数的平方根与立方根相同，那么这个数是（）
A．0 B．±1 C．0和1 D．0 或±1
2．在实数、﹣3、0、、3.1415、π、、、2.123122312233…（不循环）中，无理数的个数为（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．下列命题中，逆命题是真命题的是（）
A．直角三角形的两锐角互余
B．对顶角相等
C．若两直线垂直，则两直线有交点
D．若x=1，则x2=1
4．下列运算不正确的是（）
A．x2•x3=x5B．（x2）3=x6C．x3+x3=2x6D．（﹣2x）3=﹣8x3
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，C为斜边，a，b为直角边，a+b=14，c=10，则Rt △ABC面积为（）
A．24 B．36 C．48 D．60
6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）
A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BC
C．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点
7．下图所示的扇形图是对某班学生知道父母生日情况的调查，A表示只知道父亲生日，B表示只知道母亲生日，C表示知道父母两人的生日，D表示都不知道．若
该班有40名学生，则知道母亲生日的人数有（）
A．25 B．10 C．22 D．12
8．如图所示，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QPS中（）
A．全部正确B．仅①和③正确C．仅①正确D．仅①和②正确
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．的算术平方根是．
10．若9m=6，3n=2，则32m﹣n=．
11．把定理“等角对等边”写“如果…，那么…”的形式是．
12．若△ABC的三条边a，b，c满足关系式：a4+b2c2﹣a2c2﹣b4=0，则△ABC的形状是．
13．如图将4个长、宽分别均为a、b的长方形，摆成了一个大的正方形．利用面积的不同表示方法可以验证的乘法公式是．
14．如图，已知CD=6m，AD=8m，∠ADC=90°，BC=24m，AB=26m．图中阴影部分的面积=．
15．如图，∠ABC=∠DCB，请补充一个条件：，使△ABC≌△DCB．
16．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF，连结BF，CE．下列说法：①△ABD和△ACD面积相等；②∠BAD=∠CAD；
③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE=AE．其中正确的有．（把你认为正确的序号都填上）
三、解答题：（本大题共8个题，共72分）
17．（1）计算：﹣+4
（2）计算：（ab2﹣a2b）2÷（﹣2ab）2
（3）分解因式：﹣4a3+16ab2
（4）分解因式：（x﹣1）2+2（1﹣x）y+y2．
18．化简求值：已知x，y满足：x2+y2﹣4x+6y+13=0 求代数式[4（xy﹣1）2﹣（xy+2）（2﹣xy）]÷（﹣xy）的值．
19．如图，△ABC中，∠C=90°．
（1）在BC边上作一点P，使得点P到点C的距离与点P到边AB的距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若AC=4，BC=3，求CP的长．
20．如图，在等腰三角形ABC中，两底角的平分线BE、CD相交于点O，求证：OB=0C，OD=OE．
21．如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求证：∠A+∠C=180°．
22．已知x≠1，计算（1+x）（1﹣x）=1﹣x2，（1﹣x）（1+x+x2）=1﹣x3，
（1﹣x）（1+x+x2+x3）=1﹣x4．
（1）观察以上各式并猜想：（1﹣x）（1+x+x2+…+x n）=．（n为正整数）（2）根据你的猜想计算：
①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）=．
②2+22+23+…+2n=（n为正整数）．
③（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=．
（3）通过以上规律请你进行下面的探索：
①（a﹣b）（a+b）=．
②（a﹣b）（a2+ab+b2）=．
③（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=．
23．阅读对人成长的影响是很大的、希望中学共有1500名学生，为了了解学生课外阅读的情况，就“你最喜欢的图书类别”（只选一项）随机调查了部分学生，并将调查结果统计后绘制成如下统计表和条形统计图．请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
种类频数频率
科普0.15
艺术78
文学0.59
其它81
（1）这次随机调查了名学生；
（2）把统计表和条形统计图补充完整；
（3）随机调查一名学生，恰好是最喜欢文学类图书的概率是多少？
24．如图①，OP是∠AOB的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
2016-2017学年四川省宜宾市八年级（上）期末数学预
测试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题只有一个选项是正确的．每小题3分，共24分）
1．如果一个数的平方根与立方根相同，那么这个数是（）
A．0 B．±1 C．0和1 D．0 或±1
【考点】立方根；平方根．
【分析】由于一个数的平方根与立方根相同，根据平方根的定义这个数只能是非负数，然后根据立方根和平方根相等即可确定这个数．
【解答】解：∵一个数的平方根与立方根相同，
∴这个数为0．
故选：A．
2．在实数、﹣3、0、、3.1415、π、、、2.123122312233…（不循环）中，无理数的个数为（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】无理数．
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数．
【解答】解：=﹣1，=12，
所给数据中无理数有：，π，，2.123122312233…（不循环）共4个．
故选C．
3．下列命题中，逆命题是真命题的是（）
A．直角三角形的两锐角互余
B．对顶角相等
C．若两直线垂直，则两直线有交点
D．若x=1，则x2=1
【考点】命题与定理．
【分析】交换原命题的题设与结论得到四个命题的逆命题，然后分别利用直角三角形的判定、对顶角的定义、两直线垂直的定义和平方根的定义对四个逆命题的真假进行判断．
【解答】解：A、逆命题为有两角互余的三角形为直角三角形，此逆命题为真命题，所以A选项正确；
B、逆命题为相等的角为对顶角，此逆命题为假命题，所以B选项错误；
C、逆命题为两直线有交点，则两直线垂直，此逆命题为假命题，所以C选项错误；
D、逆命题为若x2=1，则x=1，此逆命题为假命题，所以D选项错误．
故选A．
4．下列运算不正确的是（）
A．x2•x3=x5B．（x2）3=x6C．x3+x3=2x6D．（﹣2x）3=﹣8x3
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
【分析】本题考查的知识点有同底数幂乘法法则，幂的乘方法则，合并同类项，及积的乘方法则．
【解答】解：A、x2•x3=x5，正确；
B、（x2）3=x6，正确；
C、应为x3+x3=2x3，故本选项错误；
D、（﹣2x）3=﹣8x3，正确．
故选：C．
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，C为斜边，a，b为直角边，a+b=14，c=10，则Rt △ABC面积为（）
A．24 B．36 C．48 D．60
【考点】勾股定理．
【分析】利用勾股定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b与c的值代入求出ab的值，即可确定出直角三角形的面积．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=14，c=10，
∴由勾股定理得：a2+b2=c2，即（a+b）2﹣2ab=c2=100，
∴196﹣2ab=100，即ab=48，
则Rt△ABC的面积为ab=24．
故选：A．
6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）
A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BC
C．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【分析】由在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABC与∠C的度数，又由AB的垂直平分线是DE，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD=BD，继而求得∠ABD的度数，则可知BD平分∠ABC；可得△BCD的周长等于AB+BC，又可求得∠BDC的度数，求得AD=BD=BC，则可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C==72°，
∵AB的垂直平分线是DE，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=36°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=72°﹣36°=36°=∠ABD，
∴BD平分∠ABC，故A正确；
∴△BCD的周长为：BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB，故B正确；
∵∠DBC=36°，∠C=72°，
∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，
∴AD=BD=BC，故C正确；
∵BD＞CD，
∴AD＞CD，
∴点D不是线段AC的中点，故D错误．
故选D．
7．下图所示的扇形图是对某班学生知道父母生日情况的调查，A表示只知道父亲生日，B表示只知道母亲生日，C表示知道父母两人的生日，D表示都不知道．若该班有40名学生，则知道母亲生日的人数有（）
A．25 B．10 C．22 D．12
【考点】扇形统计图．
【分析】求出知道母亲生日的人数所占的百分比即B、C所占的百分比，乘以总人数40，即可求出答案．
【解答】解：知道母亲生日的人数有：40×55%=22人，
故选C．
8．如图所示，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QPS中（）
A．全部正确B．仅①和③正确C．仅①正确D．仅①和②正确
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【分析】易证RT△APR≌RT△APS，可得AS=AR，∠BAP=∠1，再根据AQ=PQ，可得∠1=∠2，即可求得QP∥AB，即可解题．
【解答】解：如图，
在RT△APR和RT△APS中，
，
∴RT△APR≌RT△APS（HL），
∴∠AR=AS，①正确；
∠BAP=∠1，
∵AQ=PQ，
∴∠1=∠2，
∴∠BAP=∠2，
∴QP∥AB，②正确，
∵△BRP和△QSP中，只有一个条件PR=PS，再没有其余条件可以证明△BRP≌△QSP，故③错误．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．的算术平方根是2．
【考点】算术平方根．
【分析】首先根据算术平方根的定义求出的值，然后再利用算术平方根的定义即可求出结果．
【解答】解：∵=4，
∴的算术平方根是=2．
故答案为：2．
10．若9m=6，3n=2，则32m﹣n=3．
【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减，把要求的式子进行变形，再代入计算即可．
【解答】解：∵9m=32m=6，3n=2，
∴32m﹣n=32m÷3n=6÷2=3；
故答案为：3．
11．把定理“等角对等边”写“如果…，那么…”的形式是如果在同一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】分析原命题，找出其条件与结论，然后写成“如果…那么…”形式即可．【解答】解：因为条件是：在同一个三角形中有两个角相等，结论为：这两个角所对的边也相等．
所以改写后为：如果在同一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
故答案为：如果在同一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
12．若△ABC的三条边a，b，c满足关系式：a4+b2c2﹣a2c2﹣b4=0，则△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形．
【考点】等腰三角形的判定；因式分解-分组分解法；勾股定理的逆定理．
【分析】将a4+b2c2﹣a2c2﹣b4=0因式分解，然后分析不难得到三角形的形状．【解答】解：∵a4+b2c2﹣a2c2﹣b4=0
∴（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）=0
∴（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）=0
∴a2﹣b2=0或a2+b2﹣c2=0
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
13．如图将4个长、宽分别均为a、b的长方形，摆成了一个大的正方形．利用面积的不同表示方法可以验证的乘法公式是（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab．
【考点】完全平方公式的几何背景．
【分析】通过观察可以得大正方形边长为a+b，小正方形边长为a﹣b，利用大正方形面积减去小正方形面积即为阴影部分面积，得出答案．
【解答】解：观察图形得：
大正方形边长为：a+b，
小正方形边长为：a﹣b，
根据大正方形面积﹣小正方形面积=阴影面积得：
（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab．
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab．
14．如图，已知CD=6m，AD=8m，∠ADC=90°，BC=24m，AB=26m．图中阴影部分的面积=96m2．
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．
【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACB
AC×BC﹣AD×CD即可得出结论．
为直角三角形，再根据S
阴影=
【解答】解：在Rt△ADC中，
∵CD=6m，AD=8m，∠ADC=90°，BC=24m，AB=26m，
∴AC2=AD2+CD2=82+62=100，
∴AC=10m，（取正值）．
在△ABC中，∵AC2+BC2=102+242=676，AB2=262=676．
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°．
AC×BC﹣AD×CD=×10×24﹣×8×6=96（m2）．
∴S
阴影=
故答案是：96m2．
15．如图，∠ABC=∠DCB，请补充一个条件：AB=DC或者∠A=∠D，使△ABC ≌△DCB．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】要使△ABC≌△DCB，已知了∠ABC=∠DCB以及公共边BC，因此可以根据SAS、AAS分别添加一组相等的对应边或一组相等的对应角．
【解答】解：∵∠ABC=∠DCB，BC=BC，
∴当AB=DC（SAS）或∠A=∠D（ASA）或∠BCA=∠DBC（AAS）时，
∴△ABC≌△DCB．
故填AB=DC或∠A=∠D．
16．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF，连结BF，CE．下列说法：①△ABD和△ACD面积相等；②∠BAD=∠CAD；
③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE=AE．其中正确的有①③④．（把你认为正确的序号都填上）
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】根据三角形中线的定义可得BD=CD，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确，然后利用“边角边”证明△BDF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=BF，全等三角形对应角相等可得∠F=∠CED，再根据内错角相等，两直线平行可得BF∥CE．
【解答】解：∵BD=CD，点A到BD、CD的距离相等，
∴△ABD和△ACD面积相等，故①正确；
∵AD为△ABC的中线，
∴BD=CD，∠BAD和∠CAD不一定相等，故②错误；
在△BDF和△CDE中，
∴△BDF≌△CDE，故③正确；
∴∠F=∠DEC，
∴BF∥CE，故④正确；
∵△BDF≌△CDE，
∴CE=BF，故⑤错误，
故答案为：①③④．
三、解答题：（本大题共8个题，共72分）
17．（1）计算：﹣+4
（2）计算：（ab2﹣a2b）2÷（﹣2ab）2
（3）分解因式：﹣4a3+16ab2
（4）分解因式：（x﹣1）2+2（1﹣x）y+y2．
【考点】整式的混合运算；实数的运算；因式分解-提公因式法．
【分析】（1）先算乘方，再算加减即可；
（2）先算乘方，再算除法；
（3）先提公因式，再根据平方差公式分解即可；
（4）先变形，再根据完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式=3﹣（﹣2）+4×
=3+2+2
=7；
（2）原式=（a2b4﹣2a3b3+a4b2）÷4a2b2
=b2﹣ab+a2；
（3）原式=﹣4a（a2﹣4b2）
=﹣4a（a+2b）（a﹣2b）；
（4）原式=（x﹣1）2﹣2（x﹣1）y+y2
=（x﹣1﹣y）2．
18．化简求值：已知x，y满足：x2+y2﹣4x+6y+13=0 求代数式[4（xy﹣1）2﹣（xy+2）（2﹣xy）]÷（﹣xy）的值．
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方；整式的混合运算—化简求值．【分析】利用配方法把原式化为平方和的形式，根据非负数的性质求出x、y，把原式化简，代入计算即可．
【解答】解：∵x2+y2﹣4x+6y+13=0，
∴（x﹣2）2+（y+3）2=0，
∴x﹣2=0，y+3=0，
解得，x=2，y=﹣3，
则[4（xy﹣1）2﹣（xy+2）（2﹣xy）]÷（﹣xy）
=（4x2y2﹣8xy+4﹣4+x2y2）÷（﹣xy）
=（5x2y2﹣8xy）÷（﹣xy）
=﹣20xy+32
=﹣20×2×（﹣3）+32
=152．
19．如图，△ABC中，∠C=90°．
（1）在BC边上作一点P，使得点P到点C的距离与点P到边AB的距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若AC=4，BC=3，求CP的长．
【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【分析】（1）作∠BAC的平分线交BC于P点，则点P到点C的距离与点P到边AB的距离相等；
（2）作PD⊥AB于点，如图，根据角平分线性质得PD=PC，则可证明Rt△ADP ≌Rt△ACP得到AD=AC=4，再利用勾股定理计算出AB=5，则BD=1，设PC=x，则PD=x，BP=3﹣x，在Rt△BDP中，利于勾股定理得（3﹣x）2=x2+12，然后解方程即可．
【解答】解：（1）如图，点P即为所求；
（2）作PD⊥AB于点，如图，
∵AP平分∠CAB，PD⊥AB于D，∠C=90°，
∴PD=PC．
在Rt△ADP和Rt△ACP中
，
∴Rt△ADP≌Rt△ACP（HL），
∴AD=AC=4，
在Rt△ABC中，AB==5，
，∴BD=5﹣4=1，
设PC=x，则PD=x，BP=3﹣x，
在Rt△BDP中，∵PD2+BD2=PB2，
∴（3﹣x）2=x2+12，解得x=．
答：CP的长为．
20．如图，在等腰三角形ABC中，两底角的平分线BE、CD相交于点O，求证：OB=0C，OD=OE．
【考点】等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】首先根据等边对等角可得∠ABC=∠ACB，然后根据角平分线的性质可得∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，进而得到∠OBC=∠OCB，再根据等角对等边可得OB=0C；再根据ASA证明△OBD≌△OCE，由全等三角形的对应边相等即可得到OD=OE．
【解答】证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD、CE是角平分线，它们相交于点O，
∴∠OBC=∠OBD=∠ABC，∠OCB=∠OCE=∠ACB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴OB=0C；
在△OBD与△OCE中，
，
∴△OBD≌△OCE（ASA），
∴OD=OE．
21．如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求证：∠A+∠C=180°．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理；多边形内角与外角．
【分析】连接AC．首先根据勾股定理求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理求得∠D=90°，进而求出∠A+∠C=180°．
【解答】证明：连接AC．
∵AB=20，BC=15，∠B=90°，
∴由勾股定理，得AC2=202+152=625．
又CD=7，AD=24，
∴CD2+AD2=625，
∴AC2=CD2+AD2，
∴∠D=90°．
∴∠A+∠C=360°﹣180°=180°．
22．已知x≠1，计算（1+x）（1﹣x）=1﹣x2，（1﹣x）（1+x+x2）=1﹣x3，
（1﹣x）（1+x+x2+x3）=1﹣x4．
（1）观察以上各式并猜想：（1﹣x）（1+x+x2+…+x n）=1﹣x n+1．（n为正整数）（2）根据你的猜想计算：
①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）=﹣63．
②2+22+23+…+2n=2n+1﹣2（n为正整数）．
③（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=x100﹣1．
（3）通过以上规律请你进行下面的探索：
①（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2．
②（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3．
③（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4．
【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】（1）根据题意易得（1﹣x）（1+x+x2+…+x n）=1﹣x n+1；
（2）利用猜想的结论得到①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）=1﹣26=1﹣64=﹣63；
②先变形2+22+23+24+…+2n=2（1+2+22+23+24+…+2n﹣1）=﹣2（1﹣2）（1+2+22+23+24+…+2n﹣1），然后利用上述结论写出结果；
③先变形得到（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=﹣（1﹣x）（1+x+x2+…+x99），然后利用上述结论写出结果；
（3）根据规律易得①（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；②（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3；
③（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4．
【解答】解：（1）（1﹣x）（1+x+x2+…+x n）=1﹣x n+1；
（2）①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）=1﹣26=1﹣64=﹣63；
②2+22+23+24+...+2n=2（1+2+22+23+24+...+2n﹣1）=﹣2（1﹣2）（1+2+22+23+24+ (2)
﹣1）=﹣2（1﹣2n）=2n+1﹣2；
③（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=﹣（1﹣x）（1+x+x2+…+x99）=﹣（1﹣x100）=x100﹣1；
（3）①（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；
②（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3；
③（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4．
故答案为1﹣x n+1；﹣63；2n+1﹣2；x100﹣1；a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4．
23．阅读对人成长的影响是很大的、希望中学共有1500名学生，为了了解学生课外阅读的情况，就“你最喜欢的图书类别”（只选一项）随机调查了部分学生，并将调查结果统计后绘制成如下统计表和条形统计图．请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
种类频数频率
科普0.15
艺术78
文学0.59
其它81
（1）这次随机调查了300名学生；
（2）把统计表和条形统计图补充完整；
（3）随机调查一名学生，恰好是最喜欢文学类图书的概率是多少？
【考点】条形统计图；频数（率）分布表；概率公式．
【分析】（1）根据统计表中，科普的人数是45人，占0.15；根据频数与频率的关系，可知共随机调查了45÷0.15=300（人）；
（2）根据统计表中的数据：易知其它数值，据此可补全条形图；
（3）由条形图可知：喜欢文学类图书有96人，占总人数的32%；故随机调查一名学生，估计恰好是最喜欢文学类图书的概率是32%．
【解答】解：（1）这次随机调查的人数：45÷0.15=300（人）；
故答案为：300；
（2）根据统计表中的数据：
艺术的有78人，占1﹣0.15﹣0.59=0.26，即频率为26%；
文学的有300﹣78﹣45﹣81=96（人），
据此可补全条形图：
种类频数频率
科普450.15
艺术780.26
文学960.59
其它81
（3）随机调查一名学生，估计恰好是最喜欢文学类图书的概率是96÷300×100%=32%．
24．如图①，OP是∠AOB的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】根据要求作图，此处我们可以分别做两边的垂线，这样就可以利用AAS 来判定其全等了．
先利用SAS来判定△AEF≌△AGF．得出∠AFE=∠AFG，FE=FG．再利用ASA来判定△CFG≌△CFD得到FG=FD所以FE=FD．
【解答】解：在OP上任找一点E，过E分别做CE⊥OA于C，ED⊥OB于D，可得△OEC≌△OED，如图①，
（1）结论为EF=FD．
如图②，在AC上截取AG=AE，连接FG．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2，
在△AEF与△AGF中，
∴△AEF≌△AGF（SAS）．
∴∠AFE=∠AFG，FE=FG．
由∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，
∵2∠2+2∠3+∠B=180°，
∴∠2+∠3=60°．
又∵∠AFE为△AFC的外角，
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=∠2+∠3=60°．
∴∠CFG=60°．
即∠GFC=∠DFC，
在△CFG与△CFD中，
∴△CFG≌△CFD（ASA）．
∴FG=FD．
∴FE=FD．
（2）EF=FD仍然成立．
如图③，
过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H．
∴∠FGE=∠FHD=90°，
∵∠B=60°，且AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，∴∠2+∠3=60°，F是△ABC的内心
∴∠GEF=∠BAC+∠3=60°+∠1，
∵F是△ABC的内心，即F在∠ABC的角平分线上，
∴FG=FH（角平分线上的点到角的两边相等）．
又∵∠HDF=∠B+∠1（外角的性质），
∴∠GEF=∠HDF．
在△EGF与△DHF中，，
∴△EGF≌△DHF（AAS），
∴FE=FD．
2017年2月6日。