高考数学总复习第九章平面解析几何第10课时直线与圆锥曲线的综合应用

第九章 平面解析几何第10课时 直线与圆锥曲线
的综合应用
(1)
⎛⎪⎪
⎫
对应学生用书（文）137～140页
1. 直线y ＝kx －k ＋1与椭圆9＋4
＝1的位置关系是
________．
答案：相交
解析：由于直线y ＝kx －k ＋1＝k(x －1)＋1过定点(1，1)，而(1，1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．
2. 椭圆x 225＋y
29
＝1的两焦点为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于P 、
Q ，则△PQF 2的周长为________．
答案：20
解析：△PQF 2的周长＝4a ＝20.
3. 已知双曲线方程是x 2
－y 22
＝1，过定点P(2，1)作直线交双
曲线于P 1、P 2两点，并使P(2，1)为P 1P 2的中点，则此直线方程是____________．
答案：4x －y －7＝0
解析：设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由x 21－y 212＝1，x 2
2－y 222
＝1，
得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2（x 2＋x 1）y 2＋y 1＝2×4
2
＝4，从而所求方程为4x －y －7
＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2
－56x ＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．
4. 若斜率为22的直线l 与椭圆x 2a 2＋y
2
b
2＝1(a>b>0)有两个不同
的交点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则
该椭圆的离心率为________．
答案：2
2
解析：由题意易知两交点的横坐标为－c 、c ，纵坐标分别为－
b 2a 、b 2
a ，所以由
b 2
a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－
b 2a
c －（－c ）＝22得2b 2＝2ac ＝2(a 2
－ c 2
)，即2e 2
＋2e －2＝0，解得e ＝2
2
或e ＝－2(负根舍去)．
5. 已知双曲线E 的中心为原点，F(3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AB 的中点为N(－12，－15)，则E 的方程为____________．
答案：x 24－y 25
＝1
解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y
2b
2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意
知c ＝3，a 2＋b 2
＝9.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则有⎩
⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21
b 2＝1，x 22a 2－y 2
2
b
2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）＝－12b 2－15a 2＝4b
2
5a
2，又AB 的斜率是
－15－0－12－3
＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2
＝5，所
以双曲线的标准方程是x 24－y
25
＝1.
1. 直线与圆锥曲线的位置关系
判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线
方程联立，消去变量y(或x)得关于变量x(或y)的方程：ax 2
＋bx
＋c ＝0(或ay 2
＋by ＋c ＝0)．
若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： Δ>0直线与圆锥曲线相交； Δ＝0直线与圆锥曲线相切； Δ<0直线与圆锥曲线相离．
若a ＝0且b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 2. 圆锥曲线的弦长问题
设直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A(x 1，y 1)，B(x 2，
y 2)，则弦长AB ＝1＋k 2
|x 1－x 2|或1＋1k
2|y 1－y 2|.
[备课札记]
题型1 如何研究直线与圆锥曲线中的分线段成比例的问题
例1 已知曲线E ：ax 2＋by 2＝1(a>0，b>0)，经过点M ⎝
⎛⎭
⎪
⎪⎫
33，0的直线l 与曲线E 交于点A 、B ，且MB →＝－2MA
→.
(1) 若点B 的坐标为(0，2)，求曲线E 的方程；
(2) 若a ＝b ＝1，求直线AB 的方程．
解：(1) 设A(x 0，y 0)，由已知B(0，2)，M(3
3
，0)，所以MB →＝
⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫－33，2，MA →
＝(x 0－33，y 0)．
由于MB →＝－2MA →，所以(－33，2)＝－2(x 0－33
，y 0)，所以
⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝32，y 0＝－1，
即A(3
2，－1)，将A 、B 点的坐标代入曲线E 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧a ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322＋b·（－1）2＝1，a ·02＋b·22＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝14，
所以曲线E 的方程为x 2
＋y 2
4
＝1.
(2) 当a ＝b ＝1时，曲线E 为圆x 2＋y 2
＝1，
设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．又MB →＝－2MA
→，
所以⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫x 2－33，y 2＝－2(x 1－33，y 1)，
即有⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＋x 2＝3，2y 1＋y 2＝0，
x 21＋y 21＝1 ①，x 22＋y 2
2＝1 ②，由①×4－
②，得(2x 1＋x 2)(2x 1－x 2)＝3，所以2x 1－x 2＝3，解得x 1＝3
2
，
x 2＝0.由x 1＝32，得y 1＝±12.当A ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫32，－12时，B(0，－1)，此时k AB ＝－3，直线AB 的方程为y ＝－3x ＋1；
当A ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫
32，12时，B(0，1)，此时k AB ＝3，直线AB 的方程为y ＝3x －1.
备选变式（教师专享）
已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为3
2
，与过右焦点F
且斜率为k(k>0)的直线相交于A 、B 两点．若AF →＝3FB →，则k ＝________．
答案：2
解析：定点F 分线段AB 成比例，从而分别可以得出A 、B 两点横坐标之间关系式、纵坐标之间关系式，再把A 、B 点的坐标代入
椭圆方程x 2a 2＋y
2b
2＝1，四个方程联立方程组，解出根，得出A 、B 两
点的坐标，进而求出直线AB 的方程．
由已知e ＝c a ＝1－b 2
a 2＝3
2，所以a ＝2b ，
所以a ＝23c ，b ＝c
3.
椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1变为34
x 2＋3y 2＝c 2
.
设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，又AF →＝3FB
→，
所以(c －x 1，－y 1)＝3(x 2－c ，y 2)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧c －x 1＝3（x 2－c ），－y 1＝3y 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋3x 2＝4c ，y 1＋3y 2＝0，
34x 21 ＋ 3y 21 ＝ c 2
，① 34
x 22 ＋ 3y 22 ＝ c 2
，② ①－9×②，得3
4
(x 1＋3x 2)(x 1－3x 2)＋3(y 1＋3y 2)(y 1－3y 2)＝－
8c 2
，所以34
×4c(x 1－3x 2)＝－8c 2
，
所以 x 1－3x 2＝－83c ，所以x 1＝23c ，x 2＝10
9
c.
从而y 1＝－23c ，y 2＝2
9
c ，
所以A ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫23c ，－23c ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫109
c ，29c ，故k ＝ 2.
题型2 有关垂直的问题
例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆x 2
4＋
y
2
2
＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连结AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k.
(1) 若直线PA 平分线段MN ，求k 的值；
(2) 当k ＝2时，求点P 到直线AB 的距离d ； (3) 对任意k>0，求证：PA⊥PB. (1) 解：由题设知，a ＝2，b ＝2，故M(－2，0)，N(0，－2)，
所以线段MN 中点的坐标为⎝
⎛⎭⎪⎪⎫－1，－22.由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点．又直线PA 过坐标原点，所以k ＝
－2
2
－1＝22
.
(2) 解：将直线PA 的方程y ＝2x 代入椭圆方程x 2
4＋y
2
2
＝1，解
得x ＝±2
3，因此P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，43，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－43.于是C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，0，直线AC 的斜
率为0＋
4
323＋23
＝1，故直线AB 的方程为x －y －23＝0.因此，d ＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪23－43－2312＋12
＝223
.
(3) 证明：设P(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0，x 1≠x 2，A(－x 1，－y 1)，C(x 1，0)，设直线PA 、PB 、AB 的斜率分别为k 、k 1、
k 2.因为C 在直线AB 上，所以k 2＝0－（－y 1）x 1－（－x 1）＝y 12x 1＝k
2
.从而k 1k
＋1＝2k 1k 2＋1＝2·y 2－y 1x 2－x 1·y 2－（－y 1）x 2－（－x 1）＋1＝2y 22－2y 2
1
x 22－x 21
＋1＝
（2y 22＋x 22）－（2y 21＋x 2
1）x 22－x 2
1＝4－4
x 22－x 21
＝0. 因此k 1k ＝－1，所以PA⊥PB. 备选变式（教师专享）
如图，F 是中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 的右焦点，直线l ：x ＝4是椭圆C 的右准线，F 到直线l 的距离等于3.
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 点P 是椭圆C 上动点，PM ⊥l ，垂足为M.是否存在点P ，使得△FPM 为等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
解：(1) 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y
2b
2＝1(a ＞b ＞0)，由已知，得
⎩
⎪⎨⎪⎧a
2c ＝4，
a 2
c
－c ＝3，∴⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1.∴b ＝ 3. 所以椭圆C 的方程为x 24 ＋ y
23
＝1.
(2) 由PF PM ＝e ＝12，得PF ＝1
2
PM.∴PF ≠PM.
①若PF ＝FM ，则PF ＋FM ＝PM ，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，∴PF 不可能与PM 相等．
②若FM ＝PM ，设P(x ，y )(x≠±2)，则M(4，y)．∴32＋y 2
＝
4－x ，∴9＋y 2＝16－8x ＋x 2.又由x 24＋y 23＝1，得y 2
＝3－34
x 2.∴9＋3
－34
x 2＝16－8x ＋x 2
，
∴74x 2－8x ＋4＝0.∴7x 2
－32x ＋16＝0.∴x＝47
或x ＝4. ∵x ∈(－2，2)，∴x ＝47.∴P ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫47，±3157.综上，存在点P ⎝
⎛⎭
⎪⎪
⎫47，±3157，使得△PFM 为等腰三角形． 题型3 直线与圆锥曲线
例3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2
9＋y
2
5
＝1的
左、右顶点为A 、B ，右焦点为F.设过点T(t ，m)的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，其中m>0，y 1>0，y 2<0.
(1) 设动点P 满足PF 2－PB 2
＝4，求点P 的轨迹；
(2) 设x 1＝2，x 2＝1
3
，求点T 的坐标；
(3) 设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)．
(1) 解：设点P(x ，y)，则F(2，0)、B(3，0)、A(－3，0)．由
PF 2－PB 2＝4，得(x －2)2＋y 2－[(x －3)2＋y 2
]＝4，化简得x ＝92
，故
所求点P 的轨迹为直线x ＝9
2.
(2) 解：将x 1＝2，x 2＝1
3
分别代入椭圆方程，以及y 1>0，y 2<0
得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53、N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，－209.直线MTA 的方程为y －053
－0＝x ＋32＋3，即y ＝13x
＋1.直线NTB 的方程为y －0－209－0＝x －313
－3，即y ＝56x －5
2.联立方程组，
解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝103
，所以点T 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
7，103.
(3) 证明：点T 的坐标为(9，m)，直线MTA 的方程为y －0m －0＝x ＋3
9＋3
，
即y ＝m 12(x ＋3)．直线NTB 的方程为y －0m －0＝x －39－3，即y ＝m 6
(x －3)．
分别与椭圆x 29＋y
25
＝1联立方程组，同时考虑到x 1≠－3，x 2≠3，
解得M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3（80－m 2）80＋m 2，40m 80＋m 2、N(3（m 2
－20）20＋m 2，－20m
20＋m 2)．
(证法1)当x 1≠x 2时，直线MN 的方程为y ＋20m 20＋m
2
40m 80＋m 2＋20m
20＋m
2
＝
x －3（m 2
－20）20＋m
2
3（80－m 2）80＋m 2－3（m 2
－20）
20＋m
2
，令y ＝0，解得x ＝1，此时必过点D(1，0)；当x 1＝x 2时，直线MN 的方程为x ＝1，与x 轴交点为D(1，0)，所以直线MN 必过x 轴上的一定点D(1，0)．
(证法2)若x 1＝x 2，则由240－3m 280＋m 2＝3m 2
－60
20＋m
2及m>0，
得m ＝210，此时直线MN 的方程为x ＝1，
过点D(1，0)．若x 1≠x 2，则m≠210.
直线MD 的斜率k MD ＝40m
80＋m 2
240－3m 280＋m 2－1＝10m
40－m
2，
直线ND 的斜率k ND ＝－20m
20＋m 2
3m 2－6020＋m
2－1＝10m
40－m
2，
得k MD ＝k ND ，所以直线MN 过D 点．
因此，直线MN 必过x 轴上的点D(1，0)． 变式训练
已知椭圆C ：x 2a 2＋y
2b 2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率
为2
2
.直线y ＝k(x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N.
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 当△AMN 的面积为10
3时，求k 的值．
解：(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，
c a ＝2
2，a 2
＝b 2
＋c 2
，
解得b ＝
2，所以椭圆C 的方
程为x 24＋y
2
2
＝1.
(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），
x 24＋y
2
2
＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2
－4＝0.设点
M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，
则y 1＝k(x 1－1)，y 2＝k(x 2－1)，
x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－4
1＋2k
2，
所以MN ＝（x 2－x 1）2
＋（y 2－y 1）2
＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2
－4x 1x 2]
＝2（1＋k 2）（4＋6k 2
）1＋2k
2
. 又因为点A(2，0)到直线y ＝k(x －1)的距离d ＝|k|
1＋k
2，所以
△AMN 的面积为S ＝12MN ·d ＝|k|4＋6k 21＋2k 2.由|k|4＋6k 2
1＋2k 2
＝10
3
，解得k ＝±1.
【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分16分)
已知双曲线x 2a 2－y
2b 2＝1的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于
3，过右焦点F 2的直线l 交双曲线于A 、B 两点，F 1为左焦点．
(1) 求双曲线的方程；
(2) 若△F 1AB 的面积等于62，求直线l 的方程．
学生错解：解：(2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，F(2，0)，直线l ：y ＝k(x －2)，
由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），x 2－y 23＝1，消元得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2
＋3＝0，x 1＋
x 2＝4k 2
k 2－3，x 1x 2＝4k 2
＋3
k 2－3
，y 1－y 2＝k(x 1－x 2)，
△F 1AB 的面积S ＝c|y 1－y 2|＝2|k|·|x 1－x 2|＝
2|k|（4k 2）2－4（k 2－3）（4k 2＋3）|k 2
－3|＝2|k|·6k 2
＋1|k 2－3|
＝63k 4＋8k 2－9＝0k 2＝1k ＝±1，所以直线l 的方程为y ＝±(x －2)．
审题引导： (1) 直线与双曲线相交问题时的处理方法； (2) △F 1AB 面积的表示．
规范解答： 解：(1) 依题意，b ＝3，c
a
＝2a ＝1，c ＝2，
(4分)
∴ 双曲线的方程为x 2
－y 23
＝1.(6分)
(2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，F 2(2，0)，直线l ：y ＝k(x －2)， 由⎩
⎪⎨⎪
⎧y ＝k （x －2），
x 2－y 2
3＝1，消元得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2
＋3＝0，(8
分)
k ≠±3时，x 1＋x 2＝4k 2
k 2－3，x 1x 2＝4k 2
＋3k 2－3
，y 1－y 2＝k(x 1－x 2)，
(10分)
△F 1AB 的面积S ＝c|y 1－y 2|＝2|k|·|x 1－x 2|＝
2|k|·（4k 2）2－4（k 2－3）（4k 2＋3）|k 2
－3|＝2|k|·k 2
＋1
|k 2－3|
＝63k 4＋8k 2－9＝0k 2
＝1k ＝±1，(14分) 所以直线l 的方程为y ＝±(x－2)．(16分) 错因分析： 解本题时容易忽略二次项系数不为零，即k≠±3这一条件．
1. 设抛物线y 2
＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．
答案：[－1，1]
解析：易知抛物线y 2
＝8x 的准线x ＝－2与x 轴的交点为Q(－2，0)，于是，可设过点Q(－2，0)的直线l 的方程为y ＝k(x ＋2)(由
题可知k 是存在的)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k （x ＋2）k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k
2
＝0.其判别式为Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＝－64k 2
＋64≥0，可解得－1≤k≤1.
2. 如图，过抛物线C ：y 2
＝4x 上一点P(1，－2)作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点A(x ，y 1)，B(x 2，y 2)．
(1) 求y 1＋y 2的值；
(2) 若y 1≥0，y 2≥0，求△PAB 面积的最大值．
解：(1) 因为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在抛物线C ：y 2
＝4x 上，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫y 22
4，y 2，k PA ＝y 1＋2y 214
－1＝4（y 1＋2）y 2
1－4＝4y 1－2，同理k PB ＝4y 2－2，依题意有k PA ＝－k PB ，因为4y 1－2＝－4y 2－2，所以y 1＋y 2
＝4.
(2) 由(1)知k AB ＝y 2－y 1y 224－y 214
＝1，设AB 的方程为y －y 1＝x －y 2
1
4，即
x －y ＋y 1－y 2
14＝0，P 到AB 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪3＋y 1－y 2
142，AB ＝2·
⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 214－y 224＝2|y 1－y 2|＝22|2－y 1|，所以S △PAB ＝1
2
×
⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪3＋y 1－y 2
142
×22|2
－y 1|＝14|y 21－4y 1－12||y 1－2|＝14
|(y 1－2)2
－16|·|y 1－2|，令y 1
－2＝t ，由y 1＋y 2＝4，y 1≥0，y 2≥0，可知－2≤t≤2.S △PAB ＝14
|t
3
－16t|，因为S △PAB ＝14
|t 3
－16t|为偶函数，只考虑0≤t≤2的情况，
记f(t)＝|t 3－16t|＝16t －t 3，f ′(t)＝16－3t 2
>0，故f(t)在[0，2]是单调增函数，故f(t)的最大值为f(2)＝24，故S △PAB 的最大值为6.
3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(x ＋1)2＋y 2
＝16，
点F(1，0)，E 是圆C 上的一个动点，EF 的垂直平分线PQ 与CE 交于点B ，与EF 交于点D.
(1) 求点B 的轨迹方程；
(2) 当点D 位于y 轴的正半轴上时，求直线PQ 的方程；
(3) 若G 是圆C 上的另一个动点，且满足FG⊥FE，记线段EG 的中点为M ，试判断线段OM 的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
解：(1) 连结BF ，由已知BF ＝BE ，所以BC ＋BF ＝BC ＋BE ＝CE ＝4，
所以点B 的轨迹是以C 、F 为焦点，长轴为4的椭圆，所以B
点的轨迹方程为x 24＋y
23
＝1.
(2) 当点D 位于y 轴的正半轴上时，因为D 是线段EF 的中点，O 为线段CF 的中点，所以CE∥OD，且CE ＝2OD ，所以E 、D 的坐标分别为(－1，4)和(0，2)．
因为PQ 是线段EF 的垂直平分线，所以直线PQ 的方程为y ＝
1
2
x ＋2，即直线PQ 的方程为x －2y ＋4＝0.
(3) 设点E 、G 的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，则点M 的坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫
x 1＋x 22
，y 1＋y 22，因为点E 、G 均在圆C 上，且FG⊥FE，所以(x 1＋1)2＋y 21＝16，① (x 2＋1)2＋y 2
2＝16，②
(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0，③
所以x 21＋y 21＝15－2x 1，x 22＋y 2
2＝15－2x 2，x 1x 2＋y 1y 2＝x 1＋x 2－
1.所以MO 2＝14[(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2]＝14·[(x 21＋y 21)＋(x 22＋y 2
2)＋
2(x 1x 2＋y 1y 2)]＝1
4[15－2x 1＋15－2x 2＋2(x 1＋x 2－1)]＝7，即M 点到
坐标原点O 的距离为定值，且定值为7.
4. 给定椭圆C ：x 2a 2＋y
2b 2＝1(a>b>0)，称圆心在原点O 、半径是
a 2
＋b 2
的圆为椭圆C 的“准圆”．已知椭圆C 的一个焦点为F(2，0)，其短轴的一个端点到点F 的距离为 3.
(1) 求椭圆C 和其“准圆”的方程；
(2) 若点A 是椭圆C 的“准圆”与x 轴正半轴的交点，B 、D 是椭圆C 上的两相异点，且BD⊥x 轴，求AB →·AD →的取值范围；
(3) 在椭圆C 的“准圆”上任取一点P ，过点P 作直线l 1，l 2，使得l 1，l 2与椭圆C 都只有一个交点，试判断l 1，l 2是否垂直？并说明理由．
解：(1) 由题意知c ＝2，且a ＝b 2＋c 2
＝3，可得b ＝1，
故椭圆C 的方程为x 23
＋y 2＝1，其“准圆”方程为x 2＋y 2
＝4.
(2) 由题意，可设B(m ，n)，D(m ，－n)(－3<m<3)，则有
m
23
＋n 2
＝1，又A 点坐标为(2，0)，故AB →＝(m －2，n)，AD →＝(m －2，
－n)，故AB →·AD →＝(m －2)2－n 2＝m 2－4m ＋4－⎝
⎛⎭⎪⎫1－m 2
3＝43m 2－4m ＋3
＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫m －322，又－3<m<3，故43⎝ ⎛⎭
⎪⎫m －322∈[0，7＋43]，所以AB →·AD →的取值范围是[0，7＋43)．
(3) 设P(s ，t)，则s 2＋t 2
＝4.当s ＝±3时，t ＝±1，则l 1，l 2其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有l 1⊥l 2.当s≠±3时，设过P(s ，t)且与椭圆有一个公共点的直线l 的斜率为k ，则
l 的方程为y －t ＝k(x －s)，代入椭圆C 方程可得x 2
＋3[kx ＋(t －
ks)]2＝3，即(3k 2＋1)x 2＋6k(t －ks)x ＋3(t －ks)2
－3＝0，由Δ＝
36k 2(t －ks)2－4(3k 2＋1)[3(t －ks)2－3]＝0，可得(3－s 2)k 2＋2stk
＋1－t 2＝0，其中3－s 2
＝0，设l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则k 1，
k 2是上述方程的两个根，故k 1k 2＝1－t 23－s 2＝1－（4－s 2
）
3－s
2
＝－1，即l 1⊥l 2.综上可知，对于椭圆C 上的任意点P ，都有l 1⊥l 2.
5. 如图，已知椭圆C 的方程为x 24
＋y 2
＝1，A 、B 是四条直线x
＝±2，y ＝±1所围成的矩形的两个顶点．
(1) 设P 是椭圆C 上任意一点，若OP →＝mOA →＋nOB →，求证：动点Q(m ，n)在定圆上运动，并求出定圆的方程；
(2) 若M 、N 是椭圆C 上两个动点，且直线OM 、ON 的斜率之积等于直线OA 、OB 的斜率之积，试探求△OMN 的面积是否为定值，并说明理由．
(1) 证明：易知A(2，1)，B(－2，1)．设P(x 0，y 0)，则x 20
4
＋
y 20＝1.由OP →＝mOA →＋nOB →，得⎩⎪⎨
⎪⎧x 0＝2（m －n ），y 0＝m ＋n ，
所以4（m －n ）2
4＋(m
＋n)2＝1，即m 2＋n 2＝12，故点Q(m ，n)在定圆x 2＋y 2
＝12
上．
(2) 解：(解法1)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2＝－1
4
，平方
得x 21x 22＝16y 21y 22＝(4－x 21)(4－x 22)，即x 21＋x 2
2＝4.因为直线MN 的方程为(y 1－y 2)x －(x 1－x 2)y ＋x 1y 2－x 2y 1＝0，所以O 到直线MN 的距离为
d ＝|x 1y 2－x 2y 1|（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）
2，所以△OMN 的面积S ＝12MN ·d ＝1
2|x 1y 2－x 2y 1|＝12
x 21y 22＋x 22y 2
1－2x 1x 2y 1y 2
＝12x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 224＋x 2
2⎝
⎛⎭⎪⎫1－x 2
14＋12x 21x 22
＝12
x 21＋x 2
2＝1，故△OMN 的面积为定值1. (解法2)设OM 的方程为y ＝kx(k>0)，则ON 的方程为y ＝－
1
4k
x(k>0)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，
x 2＋4y 2
＝4，
解得 M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21＋4k 2，2k 1＋4k 2.同理可得N ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫4k 1＋4k 2
，－11＋4k 2. 因为点N 到直线OM 的距离为d ＝
1＋4k
2
1＋k
2，OM ＝⎝
⎛⎭⎪⎪⎫21＋4k 22＋⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫2k 1＋4k 22＝21＋k 2
1＋4k 2，所以△OMN 的面积S ＝1
2
d ·OM ＝12·1＋4k 2
1＋k
2·21＋k
2
1＋4k 2＝1，故△OMN 的面积为定值． 1. 若双曲线x 2a 2－y
2b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、
F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2
＝2bx 的焦点分成7∶3的两段，则此双曲线的离心率为________．
答案：53
解析：依题意得，c ＋b 2＝77＋3×2c ，即b ＝4
5c(其中c 是双曲
线的半焦距)，a ＝c 2－b 2
＝35c ，则c a ＝53
，因此该双曲线的离心率
等于53
.
2. 如图，设E ：x 2a 2＋y
2b
2＝1(a ＞b ＞0)的焦点为F 1与F 2，且P ∈
E ，∠
F 1PF 2＝2θ.求证：△PF 1F 2的面积S ＝b 2
tan θ.
证明：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则S ＝1
2
r 1r 2sin2θ.
又|F 1F 2|＝2c ，
由余弦定理有(2c)2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos2θ＝(r 1＋r 2)2
－2r 1r 2－
2r 1r 2cos2θ＝(2a)2
－2r 1r 2(1＋cos2θ)，
于是2r 1r 2(1＋cos2θ)＝4a 2－4c 2＝4b 2
.
所以r 1r 2＝2b
21＋cos2θ
.
这样即有S ＝12·2b 2
1＋cos2θsin2θ＝b 22sinθcosθ2cos 2
θ＝b 2
tan θ. 3. 已知椭圆x 2
a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为2
2
，短轴的一个
端点为M(0，1)，直线l ：y ＝kx －1
3
与椭圆相交于不同的两点A 、
B.
(1) 若AB ＝426
9
，求k 的值；
(2) 求证：不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M.
(1) 解：由题意知c a ＝2
2
，b ＝1.
由a 2
＝b 2
＋c 2
可得c ＝b ＝1，a ＝2，
∴ 椭圆的方程为x 22
＋y 2
＝1.
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －13
，
x 2
2＋y 2
＝1
得(2k 2
＋1)x 2
－43kx －16
9
＝0.
Δ＝169k 2－4(2k 2＋1)×⎝
⎛⎭⎪⎫－169＝16k 2
＋649＞0恒成立，
设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝4k 3（2k 2＋1），x 1x 2＝－16
9（2k 2
＋1）
. ∴ AB ＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2
－4x 1x 2＝4（1＋k 2）（9k 2
＋4）3（2k 2
＋1）＝4269，化简得23k 4－13k 2－10＝0，即(k 2
－1)(23k 2
＋10)＝0，解得k ＝±1.
(2) 证明：∵ MA →＝(x 1，y 1－1)，MB →＝(x 2，y 2－1)， ∴ MA →·MB →＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝(1＋k 2)x 1x 2－43
·k(x 1＋x 2)
＋169＝－16（1＋k 2）9（2k 2＋1）－16k 2
9（2k 2
＋1）＋169
＝0. ∴ 不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M.
4. 已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的离心率为3
5，且过点P ⎝
⎛⎭⎪⎫4，125，
A 为上顶点，F 为右焦点．点Q(0，t)是线段OA(除端点外)上的一个动点，
过Q 作平行于x 轴的直线交直线AP 于点M ，以QM 为直径的圆的圆心为N.
(1) 求椭圆方程；
(2) 若圆N 与x 轴相切，求圆N 的方程；
(3) 设点R 为圆N 上的动点，点R 到直线PF 的最大距离为d ，求d 的取值范围．
解：(1) ∵ e＝3
5 不妨设c ＝3k ，a ＝5k ，则b ＝4k ，其中k>0，
故椭圆方程为x 225k 2＋y
2
16k 2＝1(a>b>0)，∵ P ⎝
⎛⎭⎪⎫4，125在椭圆上，∴
42
25k 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫125216k 2＝1解得k ＝1，∴ 椭圆方程为
x 225＋y
2
16
＝1. (2) k AP ＝125－44＝－25 , 则直线AP 的方程为y ＝－2
5
x ＋4，
令y ＝t ()0<t<4，则x ＝5（4－t ）
2 ∴ M ⎝
⎛⎭
⎪⎫5（4－t ）2，t .∵ Q(0，t )∴ N ⎝
⎛⎭
⎪⎫
5（4－t ）4，t ， ∵ 圆N 与x 轴相切，∴ 5（4－t ）
4
＝t ，由题意M 为第一象
限的点，则5（4－t ）4＝t ，解得t ＝20
9.∴ N ⎝ ⎛⎭⎪⎫209
，209，圆N 的方程
为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2092＋⎝
⎛⎭⎪⎫y －2092＝40081.
(3) F(3，0)，k PF ＝125，∴ 直线PF 的方程为y ＝12
5
(x －3)即
12x －5y －36＝0，
∴ 点N 到直线PF 的距离为⎪⎪
⎪⎪⎪⎪15（4－t ）－5t －3613＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
24－20t 13＝4
13
||6－5t ， ∴ d ＝413||6－5t ＋5
4
(4－t)，∵ 0<t<4，
∴ 当0<t≤65时，d ＝413(6－5t)＋54(4－t)＝356－145t
52
，
此时72≤d<8913，
当65<t<4时，d ＝413(5t －6)＋54(4－t)＝164＋15t 52，此时72<d<5613
， ∴ 综上， d 的取值范围为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
72，8913.
1. 直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用．
2. 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．
请使用课时训练(A)第10课时(见活页)．[备课札记]。