等比数列的性质及其应用 课件

例3:a,b,c,d成等比数列,a+b,b+c,c+d均不为0. 求证:a+b,b+c,c+d成等比数列.
变式：
已知数列an满足a1 1, an1 2an 1， (1)求证：数列an 1是等比数列；
(2)求数列an的通项公式.
小结
等差数列与等比数列的性质
{an}是公差为d的等差数列
(2)在等比数列an中，a15 10, a45 90,则a60 270.
(3)在等比数列an中，若a1 a2 2, a3 a4 4，
则a4 a5
(4)在 1 和n间插入n个正数，使得这n 2个数成等比数列， n
求插入的这n个数的积.
Tn

1 n

a1
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等差数列
等比数列
如果一个数列从第2项起， 如果一个数列从第2项起，每
定义
每一项与它前一项的差等于 同一个常数，那么这个数列
一项与它的前一项的比等于同 一个常数，那么这个数列就叫
就叫做等差数列.
做等比数列.
数学 表达
an+1-an= d(常数)
an+1 an
{bn}是公比为q的等比数列
性质１：an=am+(n-m)d
bn bm q nm
性质２：若n+m=2p，
则am+an=2ap.
若n+m=2p，
则aman=（ap）2.
性质３： 若n+m=p+q
则am+an=ap+aq
若n+m=p+q
则bn bm=bp bq
7 12
，求这三个数.
解：设三个正数为 a , a, a q.
q
a a a q 21， q
a ( 1 1 q) 21， q
得
q1 1 7， a a aq 12
1 (q 1 1) 7 .
a
q 12
a2 36.
a 6,
q 2或1 . 2
则bmbn=（bp）2.
性质３： 若n+m=p+q 猜想3：若n+m=p+q，
，则am+an=ap+aq.
则bn ·bm=bp ·bq.
bn bmq nm .
证明:
bm b1 qm1, bn b1 qn1，
bm qnm b1 qm1 qnm
b1 qn1
=
q(常数)
符号 表示
首项a1, 公差d
首项a1, 公比q(q≠0)
d与{an} q与{an}
d＞0 d＜0 d＝0
{an }递增 {an }递减 {an }为常数列
q＞0 q＜0 q＝1
{an }中各项同号 {an }中的项正负相间 {an }为非零常数列
通项 公式
an= a1+（n-1）d
an= a1·qn-1
bn.
若n+m=p+q, 则bn bm=bp bq.
证明:bn bm b1 q1n1 b1 q1m1
b12 q1nm2，
bp
bq

b1

q1
p1

b1

q q1 1
n
m

p


qb1，2 qb1np


q 2，
bm bp
bq .
中项 a,A,b成等差,则2A=a＋b
a,G,b成等比, 则G2=ab
由等差数列的性质，猜想等比数列的性质
{an}是公差为d的等差数列 {bn}是公比为q的等比数列
性质１：an=am+(n-m)d. 猜想1：bn bm qnm .
性质２：若n+m=2p， 猜想2： 若n+m=2p，
则am+an=2ap.
则a10= 5 .
变式：（1）在等比数列an中，a1 1, a5 9,
则a3 3 ,q 3.
性质4 等差数列{an}中下标成 等差数列的项 am,am+k,am+2k,am+3k,...成等差数列
等比数列{an}中 am,am+k,am+2k,am+3k,...成等比数列 等比数列{an}中a2 =2,a12 =4,求a22
反之成立吗? 不一定，当q=1时不成立.
如数列an: 1,1,1,1
例1:
⒈在等比数列{an}中，a2=-2,a5=16， a8= -128 .
⒉在等比数列{an}中，且an＞0， a2 a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5= _ 6 .
⒊在等比数列{an}中，若 a4 a7 a13a16 625，

a2倒 来自n1 an n 序1 Tn n an an1 a2 a1 n
相 乘
性质5 {an}{bn}是等差数列，则 {kan},{c+an},{kan+pbn+c}都是等 差数列
{an}{bn}是等比数列{kan} {kanbn}都是等比数列
数列{an}{bn}是等比数列,{cn}中cn= anbn，c6=2,c10=32,求c8
例2: 三个数成等比数列，它们的 和求等这于三2个1数，.倒数的和等于172 ，
• 分析：若三个数成等差数列，则设这三个数为ad,a,a+d.
• 由类比思想的应用可得: 再联立方程组.
若三个数成等比数列，则设这三个数
为 a , a, a q， q
三个正数成等比数列，他们的和等于21，
倒数的和等于