【成才之路】高中数学 第1章 3组合名师课件 北师大版选修2-3
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(1)已知C5n－C1＋n3－C3 3n－3＝345，求 n. (2)解不等式 Cm8 －1>3Cm8 ； (3)证明：①Cnm＝m－m nCnm－1， ②Cnk·Cmn－－kk＝Cmn Ckm. [分析] 充分利用组合数公式及性质解题，并注意有关限 制条件．
[解析] (1)原方程可变形为CC5n3n－ －13＋1＝159，即 C5n－1＝154C3n－3， 即n－1n－2n5－！3n－4n－5 ＝154·n－3n3－！4n－5， 化简整理得 n2－3n－54＝0. 解此二次方程得 n＝9 或 n＝－6(不合题意，舍去)． ∴n＝9.
第二类：甲、乙都入选，第一步：选甲、乙，有 C22种选法．第 二步：从除去甲、乙、丙之外的 7 人中再选 1 人，有 C17种选法．根 据乘法原理，不同选法的种数为 C22·C17＝7.
综上，根据加法原理，不同选法的种数为 42＋7＝49.
3．Cmn ＋1＋Cmn －1＋2Cmn 等于(
)
A．Cmn＋＋21
5．已知甲、乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算 机知识竞赛，比赛人员的组成共有________种可能．(用数字作 答)
[答案] 4 900 [解析] 完成这件事可以分两步进行： 第一步：从甲组中抽取 4 人，有 C48种方法； 第二步：从乙组中抽取 4 人，有 C48种方法． 由分步乘法计数原理，比赛人员的组成共有 C48·C48＝4 900 种．
[分析] (1)不受限制，从 7 人中任意选 3 人，按组合定义 计算；(2)“至少一女”的对立事件为“全是男生”，可用间接 法计算；(3)“代表中男、女生都要有”，即 1 男 2 女或 2 男 1 女，可分类求解，也可间接求解．
[解析] (1)即从 7 名学生中选出三名代表，共有选法 C37＝ 35 种．
2．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至
少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )
A．85
B．56
C．49
“甲、乙至少有 1 人入选，而丙 没有入选”可分以下 2 类：
第一类：甲、乙两人只有一人入选，第一步：选甲、乙， 有 C12种选法．第二步：从除去甲、乙、丙之外的 7 人中再选 2 人，有 C27种选法．根据乘法原理，不同选法的种数为 C12·C27＝ 42.
[反思总结] (1)有关组合数的计算问题，一般先用组合数 的两个性质化简，再用组合数公式的乘积形式计算，但当组合 数中含有字母时，要限制字母的范围，这往往是解题的关键．(2) 有关组合数的证明问题，一般先用组合数的两个性质化简，再 用组合数公式的阶乘形式去证明.
组合类应用题
(2013·晋中祁县二中高二期末)从 4 名男生、3 名 女生中选出 3 名代表，(1)不同的选法共有多少种？(2)至少有一 名女生的不同的选法共有多少种？(3)代表中男、女都要有的不 同的选法共有多少种？
[解析] (1)C9969＋C9979＝C91700＝C3100＝1030××299××198＝161700.
0≤38－n≤3n (2)0≤3n≤21＋n
，即1029≤≤nn≤≤22138
.
∴129≤n≤221.∵n∈N＋，∴n＝10，
∴C338n－n＋C321n＋n＝C2380＋C3301＝C230＋C131＝320× ×129＋31＝466.
2．“组合”与“组合数”是两个不同的概念，组合是一个 具体的事件，不是一个数；而“组合数”是符合条件的所有组 合的个数，它是一个数．
3．利用排列数公式和组合数公式进行计算，证明时，要正 确地选用公式，同时注意 Amn 、Cmn 中 m≤n 这个隐含条件．在利 用组合数公式计算、化简时，要灵活运用组合数的性质，一般 地，计算 Cmn 时，若 m 比较大，可利用性质(1)，不计算 Cmn 而改 为计算 Cnn－m，在计算组合数之和时，常利用性质(2)．
n！ k！m－k！n－m！.
Cmn ·Ckm＝m！nn！ －m！·k！mm！ －k！ ＝k！n－mn！！m－k！， ∴Cnk·Cmn－－kk＝Cmn ·Ckm. [反思总结] 解和组合数有关的方程、不等式、求值、证 明等问题时，要注意组合数公式及性质，同时注意其成立的条 件．
(1)计算：C9969＋C9979； (2)求 C338n－n＋C3nn＋21的值； (3)证明：Cmn ＝mn＋＋11Cmn＋＋11＝n－n mCmn－1. [分析] (1)先用组合数两个性质化简，再用组合数公式的 乘积形式计算． (2)Cmn 的限制条件为：m、n∈N＋，且 m≤n，以此得到 n 的 值，再求值． (3)利用组合数公式的阶乘形式证明．
(2)由m－1！8！9－m！>m！3×8－8！m！得9－1 m>m3 ， ∴m>27－3m， ∴m>247＝7－14， 又 0≤m－1≤8，且 0≤m≤8，m∈N， 即 7≤m≤8，∴m＝7 或 8.
(3)证明：①m－m nCnm－1＝m－m n·n！mm－ －11－！n！ ＝n！mm！ －n！＝Cnm. ②∵Ckn·Cmn－－kk＝k！nn！－k！·m－kn！－kn！－m！
一个小组有10名同学，其中4名女生、6名男生，现从中选 出3名代表，其中至少有1名女生的选法有多少种？
[分析] 选出3名代表不必考虑它们的顺序，因而该问题是 组合问题．由于对代表中女代表的人数有要求，我们视女生为 特殊“元素”．
[解析] 解法一：根据代表中女生的人数分类： 第一类：3 名代表中有 1 名女生，则选法种数为：C14·C26＝ 60(种)； 第二类：3 名代表中有 2 名女生，则选法种数为：C24·C16＝ 36(种)； 第三类：3 名代表中都是女生，则选法种数为：C34＝4(种)． 由分类计数原理，符合要求的代表的选法种数为：C14·C26＋ C24·C16＋C34＝60＋36＋4＝100(种)． 解法二：(排除法)：C1140－C164＝100(种)．
课堂典例探究
排列问题与组合问题的辨别
判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并 求出相应的排列数或组合数．
(1)10人相互通一次电话，共通多少次电话？ (2)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行 多少场次？ (3)从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法？ (4)从10个人中选出3个不同学科的课代表，有多少种选 法？
1.组合的定义
一般地，从__n_个__不__同__的__元__素__中___，__任__取__m_(_m_≤_n_)_个__元__素__为__一__组__，
叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合．
有关求组合的个数的问题叫作组合问题．
Amn
2．组合数公式
C
m n
＝
___A__mm __
＝
nn－1n－2…n－m＋1
__________m_！______________，规定 C0n＝1.
因为 Annm＝！n－n！m！，所以，上面的组合数公式还可以写成 Cnm＝__m__！__n_－__m__！___.
3．组合数的性质 性质 1 _C_nm_＝__C__nn－_m__. 性质 2 Cmn＋1＝_C__nm_＋__C_mn_－_1_.
(3)证明：∵mn＋＋11Cmn＋＋11＝mn＋＋11·m＋1n＋ ！1n！ －m！ ＝m！nn！ －m！＝Cmn ， n－n mCmn－1＝n－n m·m！nn－ －11－！m！＝m！nn！ －m！ ＝Cnm， ∴Cnm＝mn＋＋11Cmn＋＋11＝n－n mCmn－1.
B．Cmn＋2
C．Cmn＋＋11
D．Cmn＋1
[答案] A
[解析] 原式＝(Cmn ＋1＋Cnm)＋(Cmn ＋Cmn －1)
＝Cmn＋＋11＋Cmn＋1
＝Cmn＋＋21
4．C22000190＝________，C212＋C312＝________. [答案] 2010 286 [解析] C22000190＝C22001100－2009＝C12010＝2010，C212＋C312＝C313＝ 3！1×3！10！＝286.
成才之路 ·数学
北师大版 ·选修2-3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一章 计数原理
第一章 §3 组 合
1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课时作业
课前自主预习
1.通过实例，理解组合的概念． 2．能利用计数原理推导组合数公式，并能解决简单的实 际问题． 本节重点：组合的概念． 本节难点：组合数的两个性质.
判断下列问题是排列问题，还是组合问题？ (1)从1、2、3、…、9九个数字中任取3个，组成一个三位 数，这样的三位数共有多少个？ (2)从1、2、3、…、9九个数字中任取3个，然后把这三个 数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？ [分析] 取出元素后，在安排这些元素时，与顺序有关则 为排列问题，与顺序无关则为组合问题．
(2)至少有一名女生的不同选法共有 C13C24＋C23C14＋C33＝31 种，或 C37－C34＝31 种．
(3)男、女生都要有的不同的选法共有 C37－C34－C33＝30 种， 或 C14C23＋C24C13＝30 种．
[反思总结] 解答组合应用题的基本思想是“化归”，即 由实际问题来建立组合模型，再由组合数公式来计算其结果， 从而得出实际问题的解．其关键环节是分析判断实际问题有无 顺序．元素顺序改变不影响其结果的便是组合问题．
1.在桥牌比赛中，发给 4 名参赛者每人一手由 52 张牌的四
分之一(即 13 张牌)组成的牌，一名参赛者可能得到的不同的牌
为( )
A．4×13 手
B．134 手
C．A1532手 [答案] D
D．C1532手
[解析] 本题实质上是从 52 个元素中取 13 个元素为一组，
故一名参赛者可能得到 C1532手不同的牌．
[解析] (1)当取出 3 个数字后，如果改变三个数字的顺序， 会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元 素的安排顺序有关，是排列问题．
(2)取出 3 个数字之后，无论怎样改变这三个数字之间的顺 序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排 顺序无关，是组合问题.
有关组合数的计算或证明
1.组合与排列的异同：组合与排列的相同点是，“从n个不 同元素中任取出m个元素”；不同点是，组合“不管元素的顺 序并成一组”，而排列要求元素“按照一定的顺序排成一 列”．因此区分某一问题是组合还是排列，关键是看取出的元 素有无顺序，有顺序就是排列，无顺序就是组合．如在数的运 算中，加法、乘法是组合问题，减法、除法是排列问题；火车 票是排列问题，票价就是组合问题；写信是排列问题，握手是 组合问题．
[分析] 解答本题主要是分清取出的m个(2个或3个)是进行 组合还是排列，即确定是与顺序有关还是无关．
[解析] (1)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就 是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别，组合数为 C210＝45.
(2)是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁 先谁后，没有顺序的区别，组合数为 C210＝45.
(3)是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别，组合 数为 C310＝120.
(4)是排列问题，因为三个人中，担任哪一科的课代表是有 顺序区别的，排列数为 A310＝720.
[反思总结] 区别排列与组合首先弄清楚事件是什么，区 分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一 个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置， 看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列 问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
4．解决组合问题时常用的方法、技巧与解决排列问题时 常用的方法、技巧基本类似．这里应该特别强调的是，解决一 个排列、组合问题首先必须分清它是排列问题还是组合问题； 其次，分析求解过程要注意掌握处理排列与组合的基本思想， 即按元素的性质分类或按事件的发生过程分步；另外，对于同 一个问题应从多个角度去思考，一题多解，这样既可防止重复 与遗漏问题，又可提高分析问题、解决问题的能力.
[解析] (1)原方程可变形为CC5n3n－ －13＋1＝159，即 C5n－1＝154C3n－3， 即n－1n－2n5－！3n－4n－5 ＝154·n－3n3－！4n－5， 化简整理得 n2－3n－54＝0. 解此二次方程得 n＝9 或 n＝－6(不合题意，舍去)． ∴n＝9.
第二类：甲、乙都入选，第一步：选甲、乙，有 C22种选法．第 二步：从除去甲、乙、丙之外的 7 人中再选 1 人，有 C17种选法．根 据乘法原理，不同选法的种数为 C22·C17＝7.
综上，根据加法原理，不同选法的种数为 42＋7＝49.
3．Cmn ＋1＋Cmn －1＋2Cmn 等于(
)
A．Cmn＋＋21
5．已知甲、乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算 机知识竞赛，比赛人员的组成共有________种可能．(用数字作 答)
[答案] 4 900 [解析] 完成这件事可以分两步进行： 第一步：从甲组中抽取 4 人，有 C48种方法； 第二步：从乙组中抽取 4 人，有 C48种方法． 由分步乘法计数原理，比赛人员的组成共有 C48·C48＝4 900 种．
[分析] (1)不受限制，从 7 人中任意选 3 人，按组合定义 计算；(2)“至少一女”的对立事件为“全是男生”，可用间接 法计算；(3)“代表中男、女生都要有”，即 1 男 2 女或 2 男 1 女，可分类求解，也可间接求解．
[解析] (1)即从 7 名学生中选出三名代表，共有选法 C37＝ 35 种．
2．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至
少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )
A．85
B．56
C．49
“甲、乙至少有 1 人入选，而丙 没有入选”可分以下 2 类：
第一类：甲、乙两人只有一人入选，第一步：选甲、乙， 有 C12种选法．第二步：从除去甲、乙、丙之外的 7 人中再选 2 人，有 C27种选法．根据乘法原理，不同选法的种数为 C12·C27＝ 42.
[反思总结] (1)有关组合数的计算问题，一般先用组合数 的两个性质化简，再用组合数公式的乘积形式计算，但当组合 数中含有字母时，要限制字母的范围，这往往是解题的关键．(2) 有关组合数的证明问题，一般先用组合数的两个性质化简，再 用组合数公式的阶乘形式去证明.
组合类应用题
(2013·晋中祁县二中高二期末)从 4 名男生、3 名 女生中选出 3 名代表，(1)不同的选法共有多少种？(2)至少有一 名女生的不同的选法共有多少种？(3)代表中男、女都要有的不 同的选法共有多少种？
[解析] (1)C9969＋C9979＝C91700＝C3100＝1030××299××198＝161700.
0≤38－n≤3n (2)0≤3n≤21＋n
，即1029≤≤nn≤≤22138
.
∴129≤n≤221.∵n∈N＋，∴n＝10，
∴C338n－n＋C321n＋n＝C2380＋C3301＝C230＋C131＝320× ×129＋31＝466.
2．“组合”与“组合数”是两个不同的概念，组合是一个 具体的事件，不是一个数；而“组合数”是符合条件的所有组 合的个数，它是一个数．
3．利用排列数公式和组合数公式进行计算，证明时，要正 确地选用公式，同时注意 Amn 、Cmn 中 m≤n 这个隐含条件．在利 用组合数公式计算、化简时，要灵活运用组合数的性质，一般 地，计算 Cmn 时，若 m 比较大，可利用性质(1)，不计算 Cmn 而改 为计算 Cnn－m，在计算组合数之和时，常利用性质(2)．
n！ k！m－k！n－m！.
Cmn ·Ckm＝m！nn！ －m！·k！mm！ －k！ ＝k！n－mn！！m－k！， ∴Cnk·Cmn－－kk＝Cmn ·Ckm. [反思总结] 解和组合数有关的方程、不等式、求值、证 明等问题时，要注意组合数公式及性质，同时注意其成立的条 件．
(1)计算：C9969＋C9979； (2)求 C338n－n＋C3nn＋21的值； (3)证明：Cmn ＝mn＋＋11Cmn＋＋11＝n－n mCmn－1. [分析] (1)先用组合数两个性质化简，再用组合数公式的 乘积形式计算． (2)Cmn 的限制条件为：m、n∈N＋，且 m≤n，以此得到 n 的 值，再求值． (3)利用组合数公式的阶乘形式证明．
(2)由m－1！8！9－m！>m！3×8－8！m！得9－1 m>m3 ， ∴m>27－3m， ∴m>247＝7－14， 又 0≤m－1≤8，且 0≤m≤8，m∈N， 即 7≤m≤8，∴m＝7 或 8.
(3)证明：①m－m nCnm－1＝m－m n·n！mm－ －11－！n！ ＝n！mm！ －n！＝Cnm. ②∵Ckn·Cmn－－kk＝k！nn！－k！·m－kn！－kn！－m！
一个小组有10名同学，其中4名女生、6名男生，现从中选 出3名代表，其中至少有1名女生的选法有多少种？
[分析] 选出3名代表不必考虑它们的顺序，因而该问题是 组合问题．由于对代表中女代表的人数有要求，我们视女生为 特殊“元素”．
[解析] 解法一：根据代表中女生的人数分类： 第一类：3 名代表中有 1 名女生，则选法种数为：C14·C26＝ 60(种)； 第二类：3 名代表中有 2 名女生，则选法种数为：C24·C16＝ 36(种)； 第三类：3 名代表中都是女生，则选法种数为：C34＝4(种)． 由分类计数原理，符合要求的代表的选法种数为：C14·C26＋ C24·C16＋C34＝60＋36＋4＝100(种)． 解法二：(排除法)：C1140－C164＝100(种)．
课堂典例探究
排列问题与组合问题的辨别
判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并 求出相应的排列数或组合数．
(1)10人相互通一次电话，共通多少次电话？ (2)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行 多少场次？ (3)从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法？ (4)从10个人中选出3个不同学科的课代表，有多少种选 法？
1.组合的定义
一般地，从__n_个__不__同__的__元__素__中___，__任__取__m_(_m_≤_n_)_个__元__素__为__一__组__，
叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合．
有关求组合的个数的问题叫作组合问题．
Amn
2．组合数公式
C
m n
＝
___A__mm __
＝
nn－1n－2…n－m＋1
__________m_！______________，规定 C0n＝1.
因为 Annm＝！n－n！m！，所以，上面的组合数公式还可以写成 Cnm＝__m__！__n_－__m__！___.
3．组合数的性质 性质 1 _C_nm_＝__C__nn－_m__. 性质 2 Cmn＋1＝_C__nm_＋__C_mn_－_1_.
(3)证明：∵mn＋＋11Cmn＋＋11＝mn＋＋11·m＋1n＋ ！1n！ －m！ ＝m！nn！ －m！＝Cmn ， n－n mCmn－1＝n－n m·m！nn－ －11－！m！＝m！nn！ －m！ ＝Cnm， ∴Cnm＝mn＋＋11Cmn＋＋11＝n－n mCmn－1.
B．Cmn＋2
C．Cmn＋＋11
D．Cmn＋1
[答案] A
[解析] 原式＝(Cmn ＋1＋Cnm)＋(Cmn ＋Cmn －1)
＝Cmn＋＋11＋Cmn＋1
＝Cmn＋＋21
4．C22000190＝________，C212＋C312＝________. [答案] 2010 286 [解析] C22000190＝C22001100－2009＝C12010＝2010，C212＋C312＝C313＝ 3！1×3！10！＝286.
成才之路 ·数学
北师大版 ·选修2-3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一章 计数原理
第一章 §3 组 合
1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课时作业
课前自主预习
1.通过实例，理解组合的概念． 2．能利用计数原理推导组合数公式，并能解决简单的实 际问题． 本节重点：组合的概念． 本节难点：组合数的两个性质.
判断下列问题是排列问题，还是组合问题？ (1)从1、2、3、…、9九个数字中任取3个，组成一个三位 数，这样的三位数共有多少个？ (2)从1、2、3、…、9九个数字中任取3个，然后把这三个 数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？ [分析] 取出元素后，在安排这些元素时，与顺序有关则 为排列问题，与顺序无关则为组合问题．
(2)至少有一名女生的不同选法共有 C13C24＋C23C14＋C33＝31 种，或 C37－C34＝31 种．
(3)男、女生都要有的不同的选法共有 C37－C34－C33＝30 种， 或 C14C23＋C24C13＝30 种．
[反思总结] 解答组合应用题的基本思想是“化归”，即 由实际问题来建立组合模型，再由组合数公式来计算其结果， 从而得出实际问题的解．其关键环节是分析判断实际问题有无 顺序．元素顺序改变不影响其结果的便是组合问题．
1.在桥牌比赛中，发给 4 名参赛者每人一手由 52 张牌的四
分之一(即 13 张牌)组成的牌，一名参赛者可能得到的不同的牌
为( )
A．4×13 手
B．134 手
C．A1532手 [答案] D
D．C1532手
[解析] 本题实质上是从 52 个元素中取 13 个元素为一组，
故一名参赛者可能得到 C1532手不同的牌．
[解析] (1)当取出 3 个数字后，如果改变三个数字的顺序， 会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元 素的安排顺序有关，是排列问题．
(2)取出 3 个数字之后，无论怎样改变这三个数字之间的顺 序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排 顺序无关，是组合问题.
有关组合数的计算或证明
1.组合与排列的异同：组合与排列的相同点是，“从n个不 同元素中任取出m个元素”；不同点是，组合“不管元素的顺 序并成一组”，而排列要求元素“按照一定的顺序排成一 列”．因此区分某一问题是组合还是排列，关键是看取出的元 素有无顺序，有顺序就是排列，无顺序就是组合．如在数的运 算中，加法、乘法是组合问题，减法、除法是排列问题；火车 票是排列问题，票价就是组合问题；写信是排列问题，握手是 组合问题．
[分析] 解答本题主要是分清取出的m个(2个或3个)是进行 组合还是排列，即确定是与顺序有关还是无关．
[解析] (1)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就 是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别，组合数为 C210＝45.
(2)是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁 先谁后，没有顺序的区别，组合数为 C210＝45.
(3)是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别，组合 数为 C310＝120.
(4)是排列问题，因为三个人中，担任哪一科的课代表是有 顺序区别的，排列数为 A310＝720.
[反思总结] 区别排列与组合首先弄清楚事件是什么，区 分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一 个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置， 看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列 问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
4．解决组合问题时常用的方法、技巧与解决排列问题时 常用的方法、技巧基本类似．这里应该特别强调的是，解决一 个排列、组合问题首先必须分清它是排列问题还是组合问题； 其次，分析求解过程要注意掌握处理排列与组合的基本思想， 即按元素的性质分类或按事件的发生过程分步；另外，对于同 一个问题应从多个角度去思考，一题多解，这样既可防止重复 与遗漏问题，又可提高分析问题、解决问题的能力.