2012年新课标文科数学解析

2012年新课标文科数学解析
1.【解析】因为{|12}A x x =-<<，{|11}B x x =-<<，所以B A ，故选择B 。

【点评】本题主要考察一元二次不等式的解法，两个集合间的关系，属简单题。

2.【解析】因为(3)(2)551(2)(2)5
i i i
z i i i -+--+=
==-++-，所以1z i =--，故选择D 。

【点评】本题主要考察复数的运算及共轭复数的概念。

3.【解析】因为112y x =+中，1
02
k =>，所以样本相关系数0r >，
又所有样本点（i x ，i y ）（i =1，2，…，n ）都在直线1
12
y x =+上，
所以样本相关系数1r =，故选择D 。

【点评】本题主要考察回归直线，相关系数的知识。

4.【解析】如图所示，21F PF ∆是等腰三角形，
212130F F P F PF ∠=∠=︒，212||||2F P F F c ==， 260PF Q ∠=︒，230F PQ ∠=︒，2||F Q c =，
又23||2a F Q c =-，所以32
a c c -=，解得3
4c a =，
因此3
4
c e a ==，故选择C 。

【点评】本题主要考察椭圆的简单几何性质，离心率。

5.【解析】正△ABC 内部如图所示，
A （1，1），
B （1，3），
C （13+，2）。

将目标函数z x y =-+化为y x z =+， 显然在B （1，3）处，max 132z =-+=；
在C （13+，2）处，min (13)213z =-++=-。

因为区域不包括端点，所以132z -<<，故选择A 。

【点评】本题主要考察线性规划的知识。

6.【解析】由程序框图可知，A 表示1a ，2a ，…，N a 中最大的数，B 表示1a ，2a ，…，N
a 中最小的数，故选择C 。

【点评】本题主要考察程序框图的应用。

7.【解析】由三视图可知，该几何体为
三棱锥A-BCD ， 底面△BCD 为 底边为6，高为3的等腰三角形， 侧面ABD ⊥底面BCD ，
AO ⊥底面BCD ，
因此此几何体的体积为
11
(63)3932
V =⨯⨯⨯⨯=，故选择B 。

【点评】本题主要考察空间几何体的三视图。

8.【解析】如图所示，由已知11O A =，12OO =
，
在1Rt OO A ∆中，球的半径3R OA ==， 所以此球的体积34
433
V R ππ=
=，故选择B 。

【点评】本题主要考察球面的性质及球的体积的计算。

9.【解析】由直线4x π
=
和54
x π
=
是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，
得()sin()f x x ωϕ=+的最小正周期52()244
T ππ
π=-=，从而1ω=。

由此()sin()f x x ϕ=+，由已知4
x π
=处()sin()f x x ϕ=+取得最值，
所以sin(
)14
π
ϕ+=±，结合选项，知ϕ=
4
π
，故选择A 。

【点评】本题主要考察三角函数的图象和性质。

10.【解析】设等轴双曲线C 的方程为22
221x y a a
-=，
即2
2
2
x y a -=（0a >），
抛物线216y x =的准线方程为4x =-，
联立方程2224
x y a x ⎧-=⎨=-⎩，解得22
16y a =-，
因为||43AB =，
所以222||(2||)448AB y y ===，从而2
12y =，
所以21612a -=，2
4a =，2a =，
O
B
D
A
因此C 的实轴长为24a =，故选择C 。

【点评】本题主要考察双曲线和抛物线的几何性质。

11.【解析】显然要使不等式成立，必有01a <<。

在同一坐标系中画出4x
y =与log a y x =的图象。

若102
x <≤
时，4log x
a x <，
当且仅当011
log 22
a a <<⎧⎪
⎨>⎪⎩， 2
011log log 2a a a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩，即201
12
a a <<⎧⎪
⎨>⎪⎩。

1a <<，故选择B 。

12.【解析】因为1(1)21n
n n a a n ++-=-，
所以211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，
……，5857113a a -=，5958115a a +=，6059117a a -=。

由211a a -=，323a a +=可得132a a +=； 由659a a -=，7611a a +=可得572a a +=； ……
由5857113a a -=，5958115a a +=可得57592a a +=； 从
而
1357575913575759()()()21530a a a a a a a a a a a a ++++++=++++++=⨯=L L 。

又211a a -=，435a a -=，659a a -=，…，5857113a a -=，6059117a a -=， 所以2466013559()()a a a a a a a a ++++-++++L L
2143656059()()()()a a a a a a a a =-+-+-++-=L 159117++++L
3011817702
⨯==。

从而24660a a a a ++++L 135591770a a a a =+++++L 3017701800=+=。

因
此
6012345960
S a a a a a a =++++++L 13592460()()a a a a a a =+++++++L L
3018001830=+=。

故选择D 。

【点评】本小题主要考察递推数列的知识。

二.填空题
13.【答案】430x y --=。

【解析】由已知'3ln 4y x =+，根据导数的几何意义知切线斜率1'|4x k y ===，
因此切线方程为14(1)y x -=-，即430x y --=。

【点评】本小题主要考察导数的几何意义，曲线上一点处的切线方程的求法。

14.【答案】2-。

【解析】由已知得2
3123111S a a a a a q a q =++=++，2121133333S a a a a q =+=+，
因为3230S S +=，所以2
111440a a q a q ++=
而10a ≠，所以2
440q q ++=，解得2q =-。

【点评】本小题主要等比数列通项公式、求和公式的应用。

15.【答案】23。

【解析】由已知||2
2
45cos ||||b b a b a =︒⋅⋅=⋅。

因为|2|a b -=r r 10||4||422=+⋅-，即06||22||2
=--，
解得23||=b 。

【点评】本小题主要考察平面向量的数量积的知识。

16.【答案】2。

【解析】2222(1)sin 12sin ()11x x x x x f x x x +++++==++222sin 111
x x
x x =++
++。

令222sin ()11
x x
g x x x =
+
++，则()()1f x g x =+。

因为()g x 为奇函数，所以max min ()()0g x g x +=。

所以M m +=max min max min [()1][()1]()()22g x g x g x g x +++=++=。

【点评】本小题主要考察数列的知识。

17.【解析】（1）根据正弦定理
2sin sin a c
R A C
==，得A R a sin 2=， C R c sin 2=，
因为sin cos c C c A =-，
所以2sin sin )sin 2sin cos R C R A C R C A =-⋅， 化简得C C A C A sin sin cos sin sin 3=-， 因为0sin ≠C ，所以1cos sin 3=-A A ，即2
1)6
sin(=
-π
A ， 而π<<A 0，656
6
ππ
π
<
-
<-
A ，从而6
6ππ=-A ，解得3π=A 。

（2）若2a =，△ABC
1）得3
π
=
A ，
则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==-+=4
3cos 233sin 21
222a bc c b bc ππ，化简得⎩⎨⎧=+=842
2c b bc ， 从而解得2=b ，2=c 。

【点评】本小题主要考察正弦定理、余弦定理及三角变换的知识。

18.【解析】（1）当日需求量17≥n 时，利润85517=⨯=y ；
当日需求量16≤n 时，利润8510)17(55-=--=n n n y 。

所以当天的利润y 关于当天需求量n 的函数解析式为⎩⎨
⎧≥≤-=)17(85
)
16(8510n n n y （N n ∈）。

（2）①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，
则这100天的日利润（单位：元）的平均数为
]8510851385158516)85160(16)85150(20)85140(10[1001
⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯+-⨯+-⨯⨯=
y 4.76=（元）。

②利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝。

故当天的利润不少于75元的概率为
7.010.013.015.016.016.0=++++=p 。

【点评】本小题主要考察统计初步、随机事件概率的求法。

19.【解析】（1）在Rt DAC ∆中，AD AC =， 得：45ADC ︒∠=，
同理：1114590A DC CDC ︒︒
∠=⇒∠=，
得：1DC DC ⊥。

由题设知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，1CC AC C =I ， 所以BC ⊥平面11ACC A 。

又1DC ⊂平面11ACC A ，所以1DC BC ⊥ 而DC BC C =I ，所以1DC ⊥平面BDC 。

又1DC ⊂平面1BDC ，故平面BDC 1⊥平面BDC 。

（2）由已知AC=BC=
2
1
AA 1，D 是棱AA 1的中点， 设12AA a =，AC BC AD a ===，则1112
3122
ABC A B C V a a a -=⋅=。

由（1），BC ⊥平面11ACC A ，所以BC 为四棱锥1B ACC D -的高， 所以13111
(3)322
B AC
C
D V a a a a -=
⨯⨯⨯⨯=。

因此平面
BDC 1
分此棱柱为两部分体积的比为
1111133
3112112
ABC A B C B ACC D
B AC
C D
a a V V V a -----=
=。

【点评】本小题主要考察空间面面垂直，及多面体体积的计算。

20.【解析】
（1）若∠BFD =90°，则△BFD 为等腰直角三角形，
且|BD|=2p ，圆F 的半径||2r FA p ==
，
又根据抛物线的定义可得点A 到准线l 的距离
||2d FA p ==。

因为△ABD 的面积为24， 所以1||422BD d ⋅⋅=，即
1
22422
p p ⋅⋅=， 所以2
4p =，由0>p ，解得2p =。

从而抛物线C 的方程为2
4x y =，
圆F 的圆心F （0，1），半径||22r FA ==， 因此圆F 的方程为2
2
(1)8x y +-=。

（2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上， 则AB 为圆F 的直径，∠ADB=90°， 根据抛物线的定义，得1
||||||2
AD FA AB ==， 所以30ABD ∠=︒， 从而直线m 的斜率为
3或3-。

当直线m 的斜率为
3时，直线m 的方程为32
p
y x =
+， 原点O 到直线m 的距离12231(
)3
p
d =
+。

依题意设直线n 的方程为3
3
y x b =
+， 联立233
2y x b x py
⎧=+⎪⎨⎪=⎩
，得2
2320x px pb --=，
因为直线n 与C 只有一个公共点，所以24803p pb ∆=+=，从而6
p
b =-。

所以直线n
的方程为36
p
y x =
-，原点O 到直线n
的距离2p
d =
因此坐标原点到m ，n 距离的比值为12236
p d
p
d ==。

当直线m
的斜率为由图形的对称性可知，坐标原点到m ，n 距离的比值也为3。

【点评】本小题主要考察解析几何知识。

21.【解析】（1）函数)(x f 的定义域为（－∞，+∞），且'()x
f x e a =-。

当0a ≤时，'()0f x >，)(x f 在（－∞，+∞）上是增函数； 当0a >时，令'()0x
f x e a =-=，得ln x a =。

令'()0x
f x e a =->，得ln x a >，所以)(x f 在(ln ,)a +∞上是增函数， 令'()0x f x e a =-<，得ln x a <，所以)(x f 在(,ln )a -∞上是减函数，
（2）若1a =，则()2x
f x e x =--，'()1x
f x e =-。

所以()'()1()(1)1x
x k f x x x k e x -++=--++，
故当0x >时，()'()10x k f x x -++>等价于
1(1)11
111
x x x x x xe x e x x k x e e e +-+++<==+---，
即当0x >时，1
1
x
x k x e +<
+-（0x >）。

① 令1
()1
x x g x x e +=+-，则221(2)'()1(1)(1)x x x x
x xe e e x g x e e ----=+=--。

由（1）知，函数()2x
h x e x =--在(0,)+∞单调递增，
而(1)30h e =-<，2(2)40h e =->，所以()h x 在(0,)+∞存在唯一的零点。

故'()g x 在(0,)+∞存在唯一的零点。

设此零点为α，则(1,2)α∈。

当(0,)x α∈时，'()0g x <；当(,)x α∈+∞时，'()0g x >。

所以()g x 在(0,)+∞的最小值为()g α。

又由'()0g α=，可得2e αα=+，所以1
()1(2,3)1
g e ααααα+=+=+∈-，
由于①式等价于()1(2,3)k g αα<=+∈，
故整数k 的最大值为2。

【点评】本小题主要考察利用导数求单调区间，导数的综合应用。