【优选整合】北师大版九年级下册数学21二次函数优选资源教案.doc

第二章二次函数
2. 1二次函数
教学目标
1.探索并归纳二次函数的定义.
2.经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的关系.
3.能够利用尝试求值的方法解决实际问题.
重点难点
重占
用二次函数表示变暈Z间关系；能够表示简单变暈Z间的二次函数关系.
难点
经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验.
教学过程
一、创设情境，导入新课
［师］对于“函数”这个词我们并不陌生，大家还记得我们学过哪些函数吗？
［生］学过正比例函数，一次函数，反比例函数.
［师］那函数的定义是什么，大家还记得吗？
［生］记得，在某个变化过程中，有两个变量兀和y,如果给定一个兀值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中兀是自变量，y是因变量.
［师］能把学过的函数回忆一下吗？
一次函数y=kx+b(其中匕是常数，IL £H0)・
正比例函数y=kx{k是不为0的常数).
反比例函数y=^k是不为0的常数).
［师］很好，从上面的儿种函数来看，每一种函数都有一般的形式.那么二次函数的一般形式究竟是什么呢？本节课我们将揭开它神秘的面纱.
二、合作交流，探究新知
某果园有100棵橙子树，每一棵.树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.
(1)问题中有哪些变量？其中哪些是白变量？哪些因变量？
(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这吋平均每棵树结多少个橙子？
(3)如果果园橙子的总产量为)‘，个，那么请你写出y与x之间的关系式.
请大家互相交流后冋答.
(1)变量有树的数量，每棵树上平均结的橙子数，所有的树上共结的橙子数.其屮树的数量是自变量，每棵树上平均结的橙子数以及所有的树上共结的橙子数是因变量.
(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有(卄100)棵树，平均每棵树就会少结5x个橙子，则平均每棵树结(600—5兀)个橙子.
(3)如果果园橙子的总产量为y 个，则y = (100+x)(600-5x) = -5x24-100x+60000.
提出问题：大家根据刚才的分析，判断上式屮的y是■否是x的函数？若是，与我们前面所学的函数相同吗？
因为x是自变量，y是因变量，给x —个值，相应地就确定了一个y的值，因此根据函数的定义，y是x的函数；但是从函数形式上看，它不同于正比例函数、一次函数与反比例函数，白变量的最高次数是2, 所以我猜测可能是二次函数.
在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的产量最多？
请大家发表自己的看法.
［生］在函数y=—5<+100兀+60000中，因为一次项系数100大于二次项系数一5,因此当x越大时，y 的值越大.
［生］我不同意他的观点.因为/的增㈡速度比兀的增氏速度要快，因此一5/的绝对值要大于100无的绝对值，因此兀应取比较小的数才能使y的值大.
大家说的都有道理，究竟是如何呢？我们不妨取一些特殊的数字验证一下.
我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化情况.你能根据表格中的数据作出猜测吗？自己试一试.
请大家先填表，再猜测.
从左到右依次填60095, 60180, 60255, 60320, 60375, 60420, 60455, 60480, 60495, 60500, 60495, 60480, 60455, 60420.
可以猜测当兀逐渐增大时，y也逐渐增大.当兀取10时，y取最大值.x大于10时，y的值反而减小，因此当增种10棵橙子树时，橙子的总产量最多.
大家的猜想很有道理，推理能力日渐增长，究竟猜想结果如何，我们将要在后面.的学习中专门进行研究.
做一做：
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的.也就是说，利率是一个变量.在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.
设人民币一年定期储蓄的年利率是兀，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定'•期储蓄转存.如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税).
首先我们要回顾一下有关名词：本金、利息、本息和，如何计算利息在前面的学习中我们已接触过，大家还记得吗？
本金是存入银行时的资金，利息是银行根据利率和存的时间付给的“报酬”，木息和就是本金和利息的和，利息=本金X利率X期数(时间).
根据利息的公式，大家可以计算出一•年后的本息和.
一年后的本息和为(1004-100x-l)= 100(1+x)..
再计算出两年后的本息和，这时，一年后的.本息和将作为第二年的本金.
y= 100(1 +x)+100(l+x)xX 1
= 100(1+%)+100(1+x)x
=100.(1+x)(l+x)
=100(1+x)2
= 100?+200x+100
在这个关系式屮，y是兀的函数吗？是兀的什么函数？请猜想.
因为年利率兀是一个变量，两年后的本息和y是随着兀的变化而变化的，因此x是自变量，y是兀的函数.再从函数的形式来看，y是x的二次函数.
想一想：
(1)已知矩形的周g为40 cm,它的面积可能是100 cm2吗？可能是75 cm2吗？还可能是多少？你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗？
(2)两数的和是20,设其屮一个数是x,你能写出这两数之积y的表达式吗？
一般地，若两个变量尤，y之间的对应关系可以表示成y=尼+加+C(G, b, c是常数，G HO)的形式，则称y 是x 的二次函数(quadratic function).
注意：定义屮只要求二次项系数不为零(必须存在二次项)，一次项系数久常数项c可以为零.最简单形式的二次函数为y=ax\a^0).
例如，y=-5?+100x+60000和y=100? + 200x+100都是二次函数.我们以前学过的正方形面积A 与边长。

的关系A=/,圆面积S与半径广的关系S=n/,自由落体运动物体下落的高度〃与下落的时间/ 的关系h=^r等也都是二次函数的例子.
议一议：上述问题屮，自变量能取哪'些值？
三、运用新知，深化理解
例1下列函数中是二次函数的有()
®y=jc+^； @y=3(x—I)2+厶®j=(%+3)2—2x2；®y=^+x.
A. 4个B・3个. C. 2个D. 1个
分析：①y=x+£，®y=^i+x的右边不是整式，故①④不是二次函数；②)=3(尤一1)?+2,符合二次函数的定义；
③y=(x+3)2—2“=—_?+6兀+9,符合二次函数的定义.故选C.
例2 己知函数)=(也2 —加疋+伽一l)x+/77 + 1.
(・1)若这个函数是一次函数，求加的值；
(2)若这个函数是二次函数，则加的值应怎样？
分析：根据二次函数与一次函数的定义解答.
解：(1)根据一次函数的定义，得〃/—加=0,解得加=0或tn=\.又丁加一1H0,即加H1,・••当时，这个函数是一次函数；
(2)根据二次函数的定义，得屛一加H0,解得加H0或加Hl, .•・当加H0或加H1时，这个函数是二次函数.
例3如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD,设A3边长为兀米，则菜园的面积y(单位：米2)与兀(单位：米)的函数关系式为多少？
分析：根据已知由边长为兀米可以推出B C=|(30-x),然后根据矩形的面积公式即可求出函数关系式.
解：TA3边长为兀米，而菜园ABCD是矩形菜园，・・・BC=*(30-r),・•・菜园的面积=ABXBC= |(30 -x).x，则菜园的面积y与兀的函数关系式为尸一誓+15兀.
四、课堂练习，巩固提高
1.教材P30 “随堂练习”.
2.《探究在线•高效课堂》“自主检测”部分.
五、反思小结，梳理新知
对本节课进行小结：
1.经历探索和表示二次函数关系的过程，猜想并归纳二次函数的定义及一般形式.
2.用尝试求值的方法探索函数的最大值.
六、布置作业
1.教材P.30〜31习题
2.1第1, 3, 4题.。