【聚焦典型一轮复习题】高三数学理科(人教B版)一轮复习专练：命题与量词、基本逻辑联结词

命题与量词、基本逻辑联结词
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.(2012·郑州模拟)命题“对任意的x∈R，x 3－x 2
＋1≤0”的否定是( )
(A)不存在x∈R，x 3－x 2＋1≤0
(B)存在x∈R，x 3－x 2＋1≤0
(C)存在x∈R，x 3－x 2＋1＞0
(D)对任意的x∈R，x 3－x 2＋1＞0
2.如果命题“﹁(p∨q)”是假命题，则下列说法正确的是( )
(A)p 、q 均为真命题
(B)p 、q 中至少有一个为真命题
(C)p 、q 均为假命题
(D)p 、q 至少有一个为假命题
3.(2012·唐山模拟)下列命题中的假命题是( )
(A)∃x∈R，lge x ＝0 (B)∃x∈R，tanx ＝x
(C)∀x∈(0，π2
)，sinx ＜1 (D)∀x∈R，∀y∈R，xy 2＝y 2
4.已知命题p ：a 2≥0(a∈R)，命题q ：函数f(x)＝x 2－x 在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题为真命题的是( )
(A)p∨q
(B)p∧q (C)(﹁p)∧(﹁q)
(D)(﹁p)∨q 5.(2012·潍坊模拟)若对∀a∈(－∞，0)，∃x 0∈R，使acosx 0≤a 成立，则cos(x 0－π6
)＝( )
(A)12 (B)32 (C)－12 (D)－32
6.(2012·南昌模拟)已知命题p ：“∀x∈[0,1]，a≥e x ”，命题q ：“∃x∈R，x 2＋4x ＋a
＝0”，若命题“p∧q”是假命题，则实数a 的取值范围是( )
(A)(－∞，4]
(B)(－∞，1)∪(4，＋∞) (C)(－∞，e)∪(4，＋∞) (D)(1，＋∞)
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.(预测题)已知命题p ：∃x∈R，x 3－x 2
＋1≤0，则命题﹁p 是_________. 8.(2012·德州模拟)命题“∃x∈R,2x 2
－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________.
9.若∀a∈(0，＋∞)，∃θ∈R，使asin θ≥a 成立，则cos(θ－π6
)的值为 . 三、解答题(每小题15分，共30分)
10.写出下列命题的否定，并判断真假.
(1)q ：∀x∈R，x 不是5x －12＝0的根；
(2)r ：有些质数是奇数；
(3)s ：∃x∈R，|x|＞0.
11.(易错题)已知命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根；命题q ：存在实数m ，使方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根.若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求m 的取值范围.
【探究创新】
(16分)已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a≤0，若命题“p∨q”是假命题，求a 的取值范围.
答案解析
1.【解析】选C.所给命题是全称命题，其否定为：“存在x ∈R ，x 3－x 2＋1＞0”.
2.【解析】选B.因为“﹁(p ∨q)”是假命题，则“p ∨q ”是真命题，所以p 、q 中至少有一个为真命题.
3.【解析】选D.当x ＝2时，对∀y ∈R ，xy 2＝y 2不恒成立，故选D.
4.【解析】选A.p 真，q 假，从而﹁p 假，﹁q 真，则p ∨q 是真命题，p ∧q 为假命题，(﹁p)∧(﹁q)为假命题，(﹁p)∨q 为假命题.
5.【解析】选B.由题意知cosx 0＝1，∴x 0＝2k π(k ∈Z).
∴cos(x 0－π6)＝cos π6＝32
. 6.【解题指南】“p ∧q ”为假命题是“p ∧q ”为真命题的否定，故可先求出“p ∧q ”为真命题时a 的取值范围，再根据补集的思想求“p ∧q ”为假命题时a 的取值范围.
【解析】选C.当p 为真命题时，a ≥e ；当q 为真命题时，x 2＋4x ＋a ＝0有解，则Δ＝16－4a ≥0，∴a ≤4.
∴“p ∧q ”为真命题时，e ≤a ≤4.
∴“p ∧q ”为假命题时，a ＜e 或a ＞4.
7.【解析】命题p 是存在性命题， 其否定为全称命题.
答案：∀x ∈R ，x 3－x 2＋1＞0
8.【解析】因为命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，所以“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题.
∴Δ＝9a 2－4×2×9≤0⇒－22≤a ≤2 2.
答案：－22≤a ≤2 2
【误区警示】本题易出现不知利用命题及其否定的关系来求解，而使用直接法求a 的取值范围，导致结果错误或计算繁杂的情况.
9.【解题指南】asin θ≥a ⇔a(sin θ－1)≥0，根据a ＞0，得sin θ－1≥0恒成立，从而sin θ＝1.
【解析】∵∀a ∈(0，＋∞)，asin θ≥a ，所以，
sin θ≥1，
又sin θ≤1
∴θ＝2k π＋π2
(k ∈Z)， ∴cos(θ－π6)＝sin π6＝12
. 答案：12
10.【解析】(1)﹁q ：∃x ∈R ，x 是5x －12＝0的根，真命题.
(2)﹁r ：每一个质数都不是奇数，假命题.
(3)﹁s ：∀x ∈R ，|x|≤0，假命题.
11.【解题指南】利用已知条件构造关于m 的不等式组，进而求得m 的取值范围，注意命题真假的要求.
【解析】若方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝m 2－4>0m>0，解得m ＞2，
即m ＞2时，p 真.
若方程4x 2
＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，
则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)＜0，
解得1＜m ＜3，即1＜m ＜3时，q 真.
因“p ∨q ”为真，所以命题p 、q 至少有一个为真，
又“p ∧q ”为假，所以命题p 、q 至少有一个为假，
因此，命题p 、q 应为一真一假，即命题p 为真，命题q 为假或命题p 为假，命题q 为真. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m>2m ≤1或m ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤21<m<3，
解得m ≥3或1＜m ≤2.
【变式备选】已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2
＋2ax ＋2－a ＝0”.若命题“p ∧q ”是真命题，求实数a 的取值范围.
【解析】p ：∵x 2－a ≥0，∀x ∈[1,2]，
∴a ≤x 2，∀x ∈[1,2]，∴a ≤1.
q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0， 则Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0，
得a ≤－2或a ≥1.
若“p ∧q ”是真命题，则p 是真命题且q 是真命题，
即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1a ≤－2或a ≥1，
∴a ≤－2或a ＝1.
【探究创新】
【解析】由2x 2＋ax －a 2
＝0，得(2x －a)(x ＋a)＝0，
∴x ＝a 2
或x ＝－a ， ∴当命题p 为真命题时，|a 2
|≤1或|－a|≤1， ∴|a|≤2.
又“只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0”，
即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，
∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.
∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2.
∴命题“p ∨q ”为真命题时，|a|≤2.
∵命题“p ∨q ”为假命题，
∴a>2或a<－2.
即a的取值范围为a>2或a<－2.。