专题4.2：三角形中一个三角恒等式的研究与拓展

专题
4.2：三角形中一个三角恒等式的研究与拓展
【课本溯源】 在斜三角形中，求证：C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++
【探究拓展】
探究：一般地，当C B A ,,满足什么条件时，C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++能成立？
变式1：在△ABC 中，若tan :A tan :tan 1:2:3B C =，则A =
变式2：在ABC ∆中，已知BC BA AC AB ⋅=⋅3
（1）求证：tan 3tan B A =；（2）若cos C =求A 的值． 变式3：在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2
28cos21b C a
=-． （1）求11tan tan A C
+的值； （2）若8tan 15
B =，求tan A 及tan
C 的值. 解：（1）∵228cos21b C a
=-，∴2224sin b C a =． ∵ C 为三角形内角，∴sin 0,C >∴2sin b C a
=． ∵sin sin a b A B =，∴ sin sin b B a A
=． ∴2sin sin sin B A C = ∵A B C π++=，∴sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+．
∴2sin cos 2cos sin sin sin A C A C A C +=．
∵sin sin 0A C ≠g ，∴
21tan 1tan 1=+C A ． （2）∵111tan tan 2A C +=，∴2tan tan tan 2
C A C =- ∵A B C π++=, ∴22tan tan tan tan tan()1tan tan 2tan tan 2
A C C
B A
C A C C C +=-+=-=--+． ∴ 228tan 152tan tan 2
C C C =-+ 整理得tan 2C －8tan C ＋16＝0 解得，tan C ＝4，tan A ＝4． 拓展1：在ABC ∆中，请你探究C B A tan tan tan 的取值范围
拓展2：设αtan =x ，βtan =y ，γtan =z ，证明下列问题：
（1）已知R z y x ∈,,，且
0111=+-++-++-zx x z yz z y xy y x ，求证：条件的三个式子中至少有一个式子的值为0；
（2）已知xyz z y x =++，求证：
)1)(1)(1(4111222222z y x xyz z z y y x x ---=-+-+-
【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。