(完整版)向心力典型例题(附详解)

1、以下图，半径为r 的圆筒，绕竖直中心轴OO′转动，小物块 a 靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的动摩擦因数为μ，现要使 a 不下滑，则圆筒转动的角速度ω起码为（）
A. B. C. D.
2、下边对于向心力的表达中，正确的选项是（）
A.向心力的方向一直沿着半径指向圆心，所以是一个变力
B.做匀速圆周运动的物体，除了遇到其余物体对它的作用外，还必定遇到一个向心力的作用
C.向心力能够是重力、弹力、摩擦力中的某个力，也能够是这些力中某几个力的协力，或许是某一个力
的分力
D.向心力只改变物体速度的方向，不改变物体速度的大小
3、对于向心力的说法，正确的选项是（）
A.物体因为做圆周运动而产生了一个向心力
B.向心力不改变圆周运动物体速度的大小
C.做匀速圆周运动的物体其向心力即为其所受的合外力
D.做匀速圆周运动的物体其向心力大小不变
5、以下图，质量为 m 的木块，从半径为 r 的竖直圆轨道上的 A 点滑向 B 点，因为摩擦力的作用，
木块的速率保持不变，则在这个过程中
A.木块的加快度为零
B.木块所受的合外力为零
C.木块所受合外力大小不变，方向一直指向圆心
D.木块所受合外力的大小和方向均不变
6
=80 kg,M=40 kg，当面拉着弹簧秤做、甲、乙两名滑冰运动员， M 甲乙
圆周运动的滑冰表演，以下图，两个相距 0.9 m，弹簧秤的示数为 9.2 N，下
列判断正确的选项是（）
A.两人的线速度相同，约为 40 m/s
B.两人的角速度相同，为 6 rad/s
C.两人的运动半径相同，都是0.45 m
D.两人的运动半径不一样，甲为 0.3 m,乙为 0.6 m
7、以下图，在匀速转动的圆筒内壁上有一物体随圆筒一同转动而未滑动.若圆筒和物体以更大的角速
度做匀速转动，以下说法正确的选项是（）
A.物体所受弹力增大，摩擦力也增大
B.物体所受弹力增大，摩擦力减小
C.物体所受弹力减小，摩擦力也减小
D.物体所受弹力增大，摩擦力不变
8、用细绳拴住一球，在水平面上做匀速圆周运动，以下说法中正确的选项是（）
A.当转速不变时，绳短易断
B.当角速度不变时，绳短易断
C.当线速度不变时，绳长易断
D.当周期不变时，绳长易断
9、如图,质量为 m 的木块从半径为 R 的半球形的碗口下滑到碗的最低点的过程中，假如因为摩擦力的作用使得木块的速率不变
A.因为速率不变，所以木块加快度为零 C.木块下滑过程中的摩擦
力大小不变
B.木块下滑的过程中所受的合外力愈来愈大
D.木块下滑过程中的加快度大小不变 ,方向时辰指向球心
分析：木块做匀速圆周运动，所受合外力大小恒定，方向时辰指向圆心，故
选项 A、B 不正确 .在木块滑动过程中，小球对碗壁的压力不一样，故摩擦力大小改变,C 错. 答案：D
10、以下图，在圆滑的以角速度ω旋转的细杆上穿有质量分别为
m 和 M 的两球，两球用轻微线连结 .若 M＞m，则（）
A.当两球离轴距离相等时，两球相对杆不动
B.当两球离轴距离之比等于质量之比时，两球相对杆都不动
C.若转速为ω时，两球相对杆都不动，那么转速为 2ω时两球也不动
D.若两球相对杆滑动，必定向同一方向，不会相向滑动
分析：由牛顿第三定律可知 M、m 间的作使劲相等，即 F M =F m，F M=Mω2r M，F m=mω2rm，所以若 M、m 不动，则 r M∶r m=m∶M ，所以 A 、B 不对， C 对（不动的条件与ω没关）.若相向滑动，无力供给向心力， D 对. 答案：CD 11、一物体以 4m/s 的线速度做匀速圆周运动，转动周期为 2s，则物体在运动过程的任一时辰，速度变化率的大小为（）
222
D.4 π m/s
ω =2π/T=2 π/2= πv= ω *r所以r=4/πa=v ∧2/r=16/(4/π)=4 π
12、在水平路面上安全转弯的汽车，向心力是（）
A.重力和支持力的协力
B.重力、支持力和牵引力的协力
C 汽车与路面间的静摩擦力 D.汽车与路面间的滑动摩擦力
二、非选择题【共3道小题】
1、以下图，半径为 R 的半球形碗内，有一个拥有必定质量的
物体 A，A 与碗壁间的动摩擦因数为μ，当碗绕竖直轴 OO′匀速
转动时，物体 A 恰巧能紧贴在碗口邻近随碗一同匀速转动而不发
生相对滑动，求碗转动的角速度 .
分析：物体A 随碗一同转动而不发生相对滑动，物体做匀速圆周运动的角速度 A 做匀速圆周运动所需的向心力方向指向球心 O，故此向心力不是重力而是由碗壁对物体的弹力供给，此时物体所受的摩擦力与重力均衡 .
分析：物体 A 做匀速圆周运动，向心力： Fω2
R
n=m
而摩擦力与重力均衡，则有μF
即 F n=mg/μ
n=mg
由以上两式可得： mω2μ即碗匀速转动的角速度为：ω=
R= mg/
.
2、汽车沿半径为 R 的水平圆跑道行驶，路面作用于车的摩擦力的最大值是车重的1/10，要使汽车不致冲出圆跑道，车速最大不可以超出多少 ?
分析：跑道对汽车的摩擦力供给向心力，1/10mg=mv2/r，所以要使汽车不致冲出圆跑道，车速最大值为 v=. 答案：车速最大不可以超出
3、一质量 m=2 kg 的小球从圆滑斜面上高 h=3.5 m处由静止滑下，
斜面的底端连着一个半径 R=1 m 的圆滑圆环（以下图），则小球滑至圆环
极点时对环的压力为，小球起码应从多高处静止滑下才能经过圆环最高点， hmin=_________(g=10 m/s2).
匀速圆周运动典型问题分析
匀速圆周运动问题是学习的难点，也是高考的热门，同时它又简单和很
多知识综合在一同，形成能力性很强的题目，如除力学部格外，电学中“粒
子在磁场中的运动”波及的好多问题仍旧要用到匀速圆周运动的知识，对匀
速圆周运动的学习可要点从两个方面掌握其特色，第一是匀速圆周运动的运
动学规律，其次是其动力学规律，现就各部分波及的典型问题作点滴说明。

（一）运动学特色及应用
匀速圆周运动的加快度、线速度的大小不变，而方向都是时辰变化的，
所以匀速圆周运动是典型的变加快曲线运动。

为了描绘其运动的特别性，又
引入周期（ T）、频次（f ）、角速度（）等物理量，波及的物理量及公式较多。

所以，娴熟理解、掌握这些观点、公式，并加以灵巧选择运用，是我们
学习的要点。

1.基本观点、公式的理解和运用
[例 1] 对于匀速圆周运动，以下说法正确的选项是（）
A. 线速度不变
B. 角速度不变
C. 加快度为零
D. 周期不变分析：匀速圆周运动的角速度和周期是不变的；线速度的大小不变，但方向
时辰变化，故匀速圆周运动的线速度是变化的，加快度不为零，答案为 B、D。

[例 2] 在绕竖直轴匀速转动的圆环上有 A、B 两点，如图 1 所
示，过 A、B 的半径与竖直轴的夹角分别为 30°和 60°，则
A、B 两点的线速度之比为；向心加快度之比为。

2.传动带传动问题
[例 3] 如图 2 所示，a、b 两轮靠皮带传动， A、B 分别为两
轮边沿上的点， C 与 A 同在 a 轮上，已知r A r B，
在传动时，皮带不打滑。

求：
（1）C:B；（） v C : v B；（） a C : a B。

23
[例 4] 如图 3 所示，质量相等的小球 A、B 分别固定在轻杆的中点和端点，当杆在圆滑水平面上绕 O 点匀速转动时求杆 OA 和 AB 段对球 A 的拉力之比。

对 A 球：F1F2m 2 L OA①
对 B 球：F2m2 L OB②
① 两式联立解得
F
13 F22
[例 5] 如图 4 所示，一个内壁圆滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球 A 和 B 紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内作匀速圆周运动，则以下说法正确的选项是（）
A.球 A 的线速度必然大于球 B 的线速度
B. 球 A 的角速度必然小于球 B 的角速度
C. 球 A 的运动周期必然小于球 B 的运动周期
2r B， OC
D.球 A 对筒壁的压力必然大于球 B 对筒壁的压力
3.联系实质问题
[例 7] 司机开着汽车在一广阔的马路上匀速行驶忽然发现前面有一堵墙，他
是刹车好仍是转弯好？（设转弯时汽车做匀速圆周运动，最大静摩擦力与滑
动摩擦力相等。

）
分析：设汽车质量为 m，车轮与地面的动摩擦因数为，刹车时车速为v0，此时车离墙距离为 s0，为方便起见，设车是沿墙底线的中垂线运动。

若司机
v02
采纳刹车，车向前滑行的距离设为 s，则s常数，若司机采纳急转弯法，
2g
则 mg m v02（R 是最小转弯半径），R v022s 。

R g
议论：（1）若s0R ，则急刹车或急转弯均能够；
（2）若R s0s ，则急刹车会安然无事，汽车可否急转弯与墙的长度和
地点相关，如图 6 所示，质点 P 表示汽车， AB 表示墙，若墙长度l2R ，如图 6，l 2(R R cos ) ，则墙在AB和CD之间任一地点上，汽车转弯相同平
安无事；
（3）若s0s ，则不可以急刹车，但由（2）知若墙长和地点切合必定条件，
汽车仍旧能够转弯。

评论：利用基本知识解决实质问题的要点是看可否将实质问题转化为合理的物理模型。

三. 匀速圆周运动的实例变形
课文中的圆周运动只有汽车过桥和火车转弯两个实例，而从这两个实例
能够变化出好多模型。

试分析以下：
（一）汽车过桥
原型：汽车过凸桥
如图 1 所示，汽车遇到重力 G 和支持力 F N ，协力供给汽车过桥所需的向
心力。

2 假定汽车过桥的速度为 v ，质量为 m ，桥的半径为 r ， G
F N
mv。

r
分析：当支持力为零时，只有重力供给汽车所需的向心力，
2
即G
mv 0
， v 0
gr
r
1. 当汽车的速度 v v 0 ，汽车所受的重力 G 小于过桥所
需的向心力，汽车过桥时就会走开桥面飞起来。

2. 当汽车的速度 v v 0 ，汽车所受的重力 G 恰巧等于过桥需要的向心力，
汽车恰巧经过桥面的最高点。

(G
mv 02 , v 0gr )
r
3. 当汽车的速度 v v 0 ，汽车所受的重力 G 大于所需的向心力，此时需要的
2
向心力要由重力和支持力的协力共同来供给。

(G F N
mv
)
r
所以，汽车过凸桥的最大速度为
gr 。

模型一：绳拉小球在竖直平面内过最高点的运动。

如图 2 所示，小球所受的重力和绳的拉力的协力供给小球所需的
向心力，即
mg
F T
m
2v。

r
分析：当绳的拉力为零时，只有重力供给小球所需的向心力，即 G mv02，
r
v0gr
1.当小球的速度 v v0，物体所受的重力G已不足以供给物体所需的向心力。

不足的部分将由小球所受的绳的拉力来供给，只需不超出绳的蒙受力，
2
已知物体的速度，便可求出对应的拉力。

(mg F T m v )
r
2.当小球的速度 v v0，物体所受的重力G恰巧供给物体所需的向心力。

2
mv0
(G, v0gr )
3.当小球的速度 v v0，物体所受的重力G大于所需的向心力，此时小球
将上不到最高点。

所以，绳拉小球在竖直平面内过最高点时的最小速度为v0gr 。

实例：翻转过山车
如图 3 所示：因为过山车在轨道最高点所受的力为重
力和轨道的支持力，故分析方法与模型一近似。

请同学们
自己分析一下。

模型二：一轻杆固定一小球在竖直平面内过最高点的运动。

如图 4 所示，物体所受的重力和杆对球的弹力的协力供给物体所
2
需的向心力，即 mg F T m v
r
分析：当杆对球的弹力为零时，只有重力供给小球所需的向心力，
2
mv0
即 G，v0gr
1. 当小球的速度v v0，物体所受的重力G已不足以供给物体所需的向心
力。

不足的部分将由小球所受的杆的拉力来供给。

（此时杆对小球的弹力为向
(v2)
下的拉力，参照图 3）。

已知物体的速度，便可求出对应的拉力。

mg F T m
r 2.当小球的速度 v v0，物体所受的重力G恰巧供给物体所需的向心力。

(G mv02, v0gr )
r
3.当小球的速度 v v0，物体所受的重力G大于所需的向心力，剩余的部
分将由杆对小球的支持力来抵消。

（此时杆对小球的弹力为向上的支持力）。

( mg F T
2 m v
r
)
4.当小球的速度 v 0 ，物体所受的重力G等于杆对小球的支持力。

( mg F T ) 所以，一轻杆固定一小球在竖直平面内过最高点的最小速度为0。

（二）火车转弯
原型：火车转弯
如图 5 所示，火车在平直的轨道上转弯，将挤压外轨，由外轨给火车的弹力供给火车转弯所需的向心力，这样长此以往，将破坏外轨。

故火车转弯处使外轨略高于内轨，火车驶过转弯处
时，铁轨对火车的支持力 F N的方向不再是竖直的，而是
斜向弯道的内侧，它与重力的协力指向圆心，供给火车
转弯所需的向心力（如图 6 所示）。

这就减少了轮缘与外轨的挤压。

分析：当火车的速度为 v0时，火车所需的向心力所有由重力和支持力的合力来供给，即 mg tan m v02，v0gr tan 。

r
1.若火车的速度 v v0，将挤压外轨；
2.若火车的速度 v v0，将挤压内轨。

模型一：圆锥摆
小球所需的向心力由重力和绳的拉力的协力来供给（如图7 所示）
模型二：小球在漏斗中的转动
小球所需的向心力由重力和漏斗的支持力的协力来供给（如图 8 所示）
四.匀速圆周运动的多解问题
匀速圆周运动的多解问题常波及两个物体的两种不一样的运动，此中一个做匀速圆周运动，另一个做其余形式的运动。

因为这两种运动是同时进行的，所以，依照等时性成立等式来解待求量是解答此类问题的基本思路。

特别需要提示同学们注意的是，因匀速圆周运动拥有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中相同可能发生，这就要求我们在表达做匀速圆周运动物体的运动时间时，一定把各样可能都考虑进去，以下几例运算结果中的自然数“n”正是这一考虑的数学化。

[例 1] 如图 1 所示，直径为 d 的圆筒绕中心轴做匀速圆周运动，
枪口发射的子弹速度为 v，并沿直径匀速穿过圆筒。

若子弹穿出
后在圆筒上只留下一个弹孔，则圆筒运动的角速度为多少？
分析：子弹穿过圆筒后做匀速直线运动，当它再次抵达圆
筒壁时，若本来的弹孔也恰巧运动到此处。

则圆筒上只留下一个弹孔，在子弹运动位移为 d 的时间内，圆筒转过的角度为2n，此中 n 0 , 1 , 2 , 3，
即d
2n。

(时间相等 ) v
解得角速度的值2n v ， n 0 , 1 , 2 , 3
d
[例 2] 质点 P 以 O 为圆心做半径为 R 的匀速圆周运动，如图 2 所示，周期为T。

当 P 经过图中 D 点时，有一质量为 m 的另一质点 Q 遇到
力F 的作用从静止开始做匀加快直线运动。

为使 P、Q 两质
点在某时辰的速度相同，则 F 的大小应知足什么条件？
分析：速度相同包含大小相等和方向相同，由质点P 的旋转状况可知，
只有当 P 运动到圆周上的 C 点时 P、Q 速度方向才相同，即质点 P 转过(n3 )
4
周(n 0 , 1 , 2 , 3 )
经历的时间 t (n 3
) T ( n0 , 1 , 2 , 3) ①4
质点 P 的速率v 2 R②
T
在相同的时间内，质点 Q 做匀加快直线运动，速度应达到 v，由牛顿第二定律及速度公式得 v F t③
m
联立以上三式，解得 F8 mR(n0 ,1 , 2 , 3 )
(4n3)T 2
[例 3] 如图 3 所示，在同一竖直平面内， A 物体从 a 点开始做匀速圆周
运动，同时 B 物体从圆心 O 处自由落下，要使两物体在 b 点相遇，求 A
的角速度。

分析： A、B 两物体在 b 点相遇，则要求 A 从 a 匀速转到 b 和 B 从 O 自由着落到 b 用的时间相等。

A 从 a 匀速转到 b 的时间t1332
( n)T (n)(n 0 , 1 , 2 , 3 )
44
B 从O 自由着落到 b 点的时间t22R 由t1
g
t2，解得
[例 4] 如图 4，半径为 R 的水平圆盘正以中心 O 为转轴匀速转动，从圆板中
心O 的正上方h 高处水平抛出一球，此时半径OB 恰与球的初速度方向一致。

要使球正好落在 B 点，则小球的初速度及圆盘的角速分别为多少？
分析：要使球正好落在 B 点，则要求小球在做平抛运动的
时间内，圆盘恰巧转了 n 圈（n 1 , 2 , 3）。

对小球 h1gt 2①R v0t②
2
对圆盘 2n t (n 1 , 2 , 3 )③
联立以上三式，解得n 2g
(n 1 , 2 , 3 )v0 R g h2h
【模拟试题】
一.选择题（在每题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确）
1.以下说法正确的选项是（）
A.做匀速圆周运动的物体的加快度恒定
B.做匀速圆周运动的物体所受合外力为零
C.做匀速圆周运动的物体的速度大小是不变的
D.做匀速圆周运动的物体处于均衡状态
2.如图 1 所示，把一个长为 20cm，系数为 360N/m 的弹簧
一端固定，作为圆心，弹簧的另一端连结一个质量为的小球，当小球
以360
r / min 的转速在圆滑水平面上做匀速圆周运动时，弹簧的伸长应为
（）
=2 n=2* *360//60=12r/s F=m*
2*R= m* 2*(l+x) F=kx
kx= m* 2*(l+x)360x=0.5*12*12(0.2+x)=0.05m=5cm
3.一圆盘能够绕其竖直轴在图 2 所示水平面内转动，圆盘半径为 R。

甲、乙物体质量分别是 M 和 m（M>m），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正
压力的倍，两物体用一根长为L( L R) 的轻绳连在一同。

若将甲物体放在转
轴地点上，甲、乙之间连线恰巧沿半径方向被拉直，要使两物体与圆盘间不发生相对滑动，则转回旋转角速度的最大值不得超出（两物体均看作质点）
A.( M m) g
B.(M m)g
C.(M m)g
D.(M m) g
mL ML ML mL
4.如图 3 所示，一个球绕中心线OO以角速度转动，则
（）
A. A、B 两点的角速度相等
B. A、B 两点的线速度相等
C. 若30 ，则v A: v B 3 : 2
D. 以上答案都不对
5.一圆盘可绕圆盘中心 O 且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上
搁置一小木块 A，它随圆盘一同运动（做匀速圆周运动），如图 4 所示，则关
于木块 A 的受力，以下说法正确的选项是（）
A.木块 A 受重力、支持力和向心力
B.木块 A 受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反
C.木块 A 受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心
D.木块 A 受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相同
6.如图 5 所示，质量为 m 的小球在竖直平面内的圆滑圆轨道上做圆周运动。

圆半径为 R，小球经过圆环最高点时恰巧不离开圆环，则其经过最高点时
A. 小球对圆环的压力大小等于 mg
B. 小球遇到的向心力等于重力 mg
C. 小球的线速度大小等于gR
D. 小球的向心加快度大小等于g
二.填空题
7. 一辆质量为 4t 的汽车驶过半径为 50m 的凸形桥面时，一直保持
5m/s的速率。

汽车所受的阻力为车对桥面压力的 0.05 倍。

经过桥的最
高点时汽车牵引力是N。

（g=10m/s2）
三.解答题（解答应写出必需的文字说明、方程式和演算步骤）
8.m1、m2是质量分别为 50g和 100g的小球，套在水平圆滑杆上，如图 6
所示。

两球相距 21cm，并用细线相连结，欲使小球绕轴以 600r/min
的转速在水平面内转动而不滑动，两球离转动中心多远？线上拉力
是多大？
9.如图 7 所示，在水平转台上放有 A、B 两个小物块，它们距离轴心 O 分
别为 r A 0.2m ，r B 0.3m ，它们与台面间互相作用的静摩擦力的最
大值为其重力的 0.4 倍，取g 10m / s2。

（1）当转台转动时，要使两物块都不发生相对于台面的滑动，
求转台转动的角速度的范围；
（2）要使两物块都对台面发生滑动，求转台转动角度速度应知足的条件。

【试题答案】
1. C
2. C
3. D
4. AC
5. C
6. BCD
7. 1.9 103
8.r1 14cm r2 7cm F T1 F T2 28N
9.（1）0 2 10 rad / s（2） 2 5rad / s
3。