2020年湖北省襄樊市高三数学文史类调研测试卷 新课标 人教版

2020年湖北省襄樊市高三数学文史类调研测试卷
(2020.1)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分，考试时间120分钟。

参考公式：
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1+x
2. 已知集合A 中有10个元素，B 中有6个元素，全集U 中有18个元素，设∁U (A ∪B )有
x 个元素，则x 的取值范围是 A ．3≤x ≤8且x ∈N B ．2≤x ≤8且x ∈N C ．8≤x ≤12且x ∈N D ．10≤x ≤15且x ∈N
3.
已知)2
sin()(π
+
=x x f ，)2
cos()(π
-
=x x g ，则下列结论中正确的是
A ．函数)()(x g x f y =的周期为π2
B ．函数)()(x g x f y =的最大值为1
C ．将)(x f y =的图像向左平移
2π
单位后得)(x g y =的图像 D ．将)(x f y =的图像向右平移2
π
单位后得)(x g y =的图像
4.
命题p ：“x > 1”是“x
x 1
||>
”的充要条件；命题q ：若|168|2+-x x ≤x －4的解集为[4，5]．那么
A ．“p 或q ”为假
B ．“p 且q ”为真
C ．“p 且¬q “为真
D ．“¬p 且q “为真
5.
若曲线x x x f -=4)(在点P 处的切线平行于直线03=-y x ，则点P 的坐标为
A ．(1，3)
B ．(－1，3)
C ．(－1，0)
D ．(1，0)
如果事件A 、B 互斥，那么 P (A + B ) = P (A ) + P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么
P (A · B ) = P (A ) · P (B ) 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独
立重复试验中恰好发生k 次的概率
k n k k n n p p C k P --=)1()(
球的表面积公式 24R S π= 其中R 表示球的半径
球的体积公式 33
4
R V π= 其中R 表示球的半径
A B C D
6. 若点O 是△ABC 的外心，且0=++CO ，则△ABC 的内角C 等于
A ．45°
B ．60°
C ．90°
D ．120°
7.
用清水漂洗衣服，假定每次能洗去污垢的
4
3
，若要使存留的污垢不超过原有的1％，则至少要漂洗
A ．3次
B ．4次
C ．5次
D ．6次
8.
下列式子中，数值与2最接近的是
A ．︒+︒54sin 54cos 3
B ．︒+︒64sin 64cos 3
C ．︒+︒74sin 74cos 3
D ．︒+︒84sin 84cos 3
9.
设f (x )是奇函数，对任意的实数x 、y ，有)()()(y f x f y x f +=+，当x > 0时，f (x )
< 0，则f (x )在区间[a ，b ]上 A ．有最大值f (a )
B ．有最小值f (a )
C ．有最大值)2
(b
a f +
D ．有最小值)2
(b
a f +
10. 设f (n )为正整数n (十进制)的各数位上的数字的平方之和，比如 11. 222321)123(++=f ．
记f 1(n ) = f (n )，)]([)(1n f f n f k k =+ (k = 1，2，3，…)，则=)2007(2007f A ．20
B ．4
C ．42
D ．145
第Ⅱ卷 (非选择题，共100分)
12. 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

将正确答案填在答题卷上对应题号的横线上。

13. 已知三个不等式：①ab > 0；②b
d
a c -<-；③bc > ad ．以其中两个作为条件，余下一个作为结论组成命题，则真命题的个数为 ▲ ．
14. 已知向量a 、b 的夹角为︒45，且| a | = 4，12)32()2
1
(=-⋅+b a b a ，
则| b | = ▲ ；b 在a 方向上的投影等于 ▲ ．
15. 已知函数)0(sin 2>=ωωx y 的图象与直线02=+y 的相邻的两个公共点之间的距离为3
2π
，则ω的值为 ▲ ．
16. 给出下列四个命题：
①函数f (x ) = x | x |＋bx ＋c 为奇函数的充要条件是c = 0； ②函数x y -=2(x > 0)的反函数是x y 2log -=(0 < x < 1)； ③若函数)lg()(2a ax x x f -+=的值域是R ，则a ≤－4或a ≥0；
④若函数y = f (x －1)是偶函数，则函数y = f (x )的图象关于直线x = 0对称． 其中所有正确命题的序号是 ▲ ．
17. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度v 与时间t 的关系如图所示，则该汽车在前3小时内行驶的路程为 ▲ km ，假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2
18. 006km ，那么在t ∈[1，2]时，汽车里程表读数S 与时间t 的函数解析式为 ▲ ． 19. 三．解答题：本大题共6小题，满分75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

20. (本大题满分12分)记函数1
3
2)(++-
=x x x f 的定义域为A ， 21. )]2)(1lg[()(x a a x x g ---= (a < 1)的定义域为B ．若A B ⊆，求实数a 的取值范围．
22. (本大题满分12分) 已知三点A 、B 、C 的坐标分别为)4
)(sin (cos Z ∈≠
k k A ，，π
ααα，B (3，0)，C (0，3)，若1-=⋅AC AB ，求
α
α
αtan 12cos 2sin 1+-+的值．
23. (本大题满分12分)等差数列}{n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且a 1，a 3，a 9成等比
数列，2
55a S =．
(1)求数列}{n a 的通项公式；
(2)若数列}{n b 满足1
21+⋅++=n n n a a n n b ，求数列}{n b 的前n 项的和．
(本大题满分12分)通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设)(t f 表示学生注意力随时间t (分钟)的变化规律()(t f 越大，表明学生注意力越集中)，经过实验分析得知：
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤<+-≤<≤<++-=402038072010240
10010024)(2t t t t t t t f (1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？
(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？
24. (本大题满分13分)设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且函数)(x f y =与)(x g y =的图象关于直线1=x 对称，当2>x 时，a x x a x g ()2()2()(3---=为常数)． (1)求)(x f 的解析式；
(2)若)(x f 对区间1[，)+∞上的每个x 值，恒有)(x f ≥－2a 成立，求a 的取值范围．
25. (本大题满分14分)已知在数列{a n }中，a 1 = t ，a 2 = t 2
，其中t > 0，t x =是-=-31)(x a x f n
1])1[(31+-++x a a t n n (n ≥2)的一个极值点．
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若)(12221*2N ∈+=<<n a a b t n n n ，，求证：
2221111321n
n n b b b b --<++++Λ．
[参考答案]
一．选择题：ABDDD DBCAD 二．填空题：
11．3 12．2，1 13．3 14．①②③ 15．220；976180+=t S (1≤t ≤2) 三．解答题：
16．(1)由132++-x x ≥0得：1
1
+-x x ≥0，解得x ＜－1或x ≥1，
即)1[)1(∞+--∞=，，Y A
4分 (2)由0)2)(1(>---x a a x 得：0)2)(1(<---a x a x 由a ＜1得a a 21>+，∴)12(+=a a B ，
7分
∵A B ⊆，∴2a ≥1或a ＋1≤－1
即a ≥21或a ≤－2，而a ＜1，∴2
1
≤a ＜1或a ≤－2
故当A B ⊆时，实数a 的取值范围是)12
1
[]2(，，Y --∞
12分
17．解：ααααsin 3cos ()sin cos 3(--=--=，，，AC AB ) ∵1-=⋅，∴1)3(sin sin cos )3(cos -=-+⋅-αααα
2分 整理得：3
2
cos sin =+αα ①
5分
=+
+=+-+α
ααααα
ααcos sin 1cos sin 2sin 2tan 12cos 2sin 12
ααα
αααααcos sin 2cos sin )cos (sin cos sin 2=++
10分
由①平方得94cos sin 21=+αα，∴9
5
cos sin 2-=αα
即9
5
tan 12cos 2sin 1-=+-+ααα
12分
18．(1)解：设数列}{n a 公差为d (d ＞0)
∵a 1，a 3，a 9成等比数列，∴912
3
a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+ 2分 整理得：d a d 12=
∵0≠d ，∴d a =1 ①
4分 ∵2
55a S = ∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+ ②
5分 由①②得：53
1=a ，5
3=d
6分 ∴n n a n 5
3
53)1(53=⨯-+=
8分
(2))1
1
11(925
)1(1925)1(5
353122+-+
=+++⋅=+⋅++=n n n n n n n n n n b n 10分
∴)]1
11()312
1
()211([925321+-++-
+-+=++++n n n b b b b n ΛΛΛΛ 1
2925)111(9252++⋅
=+-+=n n
n n n 12分
19．(1)解：当0＜t ≤10时，
244)12(10024)(22+--=++-=t t t t f 是增函数，且240)10(=f 2分 当20＜t ≤40时，3807)(+-=t t f 是减函数，且240)20(=f 3分 所以，讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟 4分 (2)解：205)25(195)5(==f f ，，所以，讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始
后5分钟更集中
7分 (3)当0＜t ≤10时，令18010024)(2=++-=t t t f 得：4=t 9分 当20＜t ≤40时，令1803807)(=+-=t t f 得：57.28≈t 11分
则学生注意力在180以上所持续的时间2457.24457.28>=-
所以,经过适当安排,老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题
12分
20．(1)解：1°当x ＜0时，2－x ＞2，
设P (x ，y )(x ＜0)为)(x f y =上的任一点，它关于直线1=x 的对称点为)(111y x P ，，则 ⎩⎨⎧=-=y y x x 1
12
∵)(111y x P ，在函数)(x g y =的图象上，
∴3111)2()2(---=x x a y ，即3x ax y +-=，∴)0()(3<-=x ax x x f 2分 2°当x ＞0时，－x ＜0
)(x f Θ为奇函数，∴)0(])()([)()(33>+-=-+---=--=x x ax x x a x f x f 4分 3°当x = 0时，3000)(+⨯-==a x f 综上可得：ax x x f -=3)( (x ∈R )
6分
(2)由题意)1[∞+∈，x 时，min )]([x f ≥－2a a x x f -='23)(
当a ≤0时，)(x f '≥0恒成立，)(x f 在[1，+∞)上是增函数 ∴a f x f -==1)1()]([min ≥－2a ，解得：a ≥－1，∴－1≤a ≤0 8分
当a ＞0时，令0)(='x f 得3
3a
x a x -==，(舍) 若
13
<a
，即0＜a ＜3，)(x f '在[1，+∞)恒大于零，∴)(x f 在1[，)+∞是增函数， ∴a f x f -==1)1()]([min ≥－2a ，解得：a ≥－1，∴0＜a ＜3
10分
若3
a
≥1，即a ≥3，则)(x f 在1[，)+∞的最小值是 3
3
23)3()3(
3a
a a a a a f -=-= 令)3
(
a
f ≥－2a ，解得：3≤a ≤27 ∴满足条件的a 的取值范围是{a | －1≤a ≤27}．
13分 21．(1)解：121)1[(33)(+--+-='n n n a a t x a x f (n ≥2) 2分 由题意：0)(='t f ，即0])1[(3311=-+-+-n n n a a t t a (n ≥2) ∴)(11-+-=-n n n n a a t a a (n ≥2) ①
4分 若t ≠1，数列}{1--n n a a 是以t 2
－t 为首项，t 为公比的等比数列 ∴n n n t t a a )1(1-=-- 6分
由此得：11)1(---=-n n n t t a a 221)1(----=-n n n t t a a 332)1(----=-n n n t t a a ……
t t a a )1(12-=-
相加得))(1(121-+++-=-n n t t t t a a Λ，∴n n t a =(n ≥2) ② 8分
当n = 1时，②式成立，∴n n t a =
若t = 1，由①得012211=-==-=----a a a a a a n n n n Λ，∴1111=====--a a a a n n n Λ 适合②式，∴n n t a =
10分
(2)解：)1
(21)1(211n n n n n t t a a b +=+=
∵22
1
<<t ，∴n n n t t 21)2(<>，
∴0]1)2)[(2()2(1
)1()212(>--=+-+n n n n
n n n n t t t t t ∴)212(21)1(211n n n n n t t b +<+= 12分
故
)]2
12()212()212[(2111112211321n n n b b b b ++++++<++++ΛΛ 222])21(21[2]2
11])21(1[2121)21(2[
211n n n n n n
-+-<+-=-
-+--= 14分。