2020年高考数学二轮复习解答题规范答题-专题5 导数与不等式恒成立问题

2020年高考数学二轮复习解答题规范答题-专题5 导数与不等式恒成立问题
典例1 (12分)设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx .
(1)证明：f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；
(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围．
审题路线图 (1)求导f ′(x )＝m (e mx －1)＋2x →讨论m 确定f ′(x )的符号→证明结论 (2)条件转化为(|f (x 1)－f (x 2)|)max ≤e －1――→
结合(1)知f (x )min ＝f (0)⎩⎨⎧
f (1)－f (0)≤e －1，
f (－1)－f (0)≤e －1
→⎩⎨⎧
e m －m ≤e －1，e －m
＋m ≤e －1
→构造函数g (t )＝e t
－t －e ＋1
→研究g (t )的单调性→
寻求⎩⎨⎧
g (m )≤0，g (－m )≤0
的条件
→对m 讨论得适合条件的范围
规 范 解 答·分 步 得 分
构 建 答 题 模 板
设函数g(t)＝e t－t－e＋1，则g′(t)＝e t－1.
9分当t＜0时，g′(t)＜0；当t＞0时，g′(t)＞0.
故g(t)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
又g(1)＝0，g(－1)＝e－1＋2－e＜0，故当t∈[－1,1]时，g(t)≤0.
当m∈[－1,1]时，g(m)≤0，g(－m)≤0，即①式成立；
10分
当m＞1时，由g(t)的单调性，得g(m)第一步
求导数：一般先确定函数的定义域，再求f′(x)．
第二步
定区间：根据f′(x)的符号确定函数的单调区间．
第三步
寻条件：一般将恒成立问题转化为函数的最值问题．
第四步
写步骤：通过函数单调性探求函数最值，对于最值可能在两点取到的恒成立问题，可转化为不等式组恒成立．
第五步
再反思：查看是否注意定义域、区间的写法、最值点的探求是否合理等.
＞0，即e m －m ＞e －1；
当m ＜－1时，g (－m )＞0，即e －m ＋m ＞e －1.
1
1分
综上，m 的取值范围是[－1,1]. 12分
评分细则 (1)求出导数给1分；
(2)讨论时漏掉m ＝0扣1分；两种情况只讨论正确一种给2分； (3)确定f ′(x )符号时只有结论无中间过程扣1分； (4)写出f (x )在x ＝0处取得最小值给1分； (5)无最后结论扣1分；学&科网 (6)其他方法构造函数同样给分． 跟踪演练1 已知函数f (x )＝
ln x ＋1x .
(1)求函数f (x )的单调区间和极值；
(2)若对任意的x >1，恒有ln(x －1)＋k ＋1≤kx 成立，求k 的取值范围； (3)证明：ln 222＋ln 332＋…＋ln n n 2<2n 2－n －1
4(n ＋1)
(n ∈N *，n ≥2)．[来源:学科网]。