上海师大数理学院《861高等代数》配套考研真题
(NEW)上海师范大学数理学院861高等代数历年考研真题汇编(含部分答案)
2003年上海师范大学444高等代数考研真题（含答 案）
2002年上海师范大学438高等代数考研真题（含答 案）
2001年上海师范大学432高等代数考研真题
第2部分 其他院校高等代数最新真题
2016年华南理工大学864高等代数考研真题
2016年湘潭大学832高等代数考研真题
2016年中山大学868高等代数考研真题
第2部分 其他院校高等代数最新真题 2016年华南理工大学864高等代数考研真题 2016年湘潭大学832高等代数考研真题 2016年中山大学868高等代数考研真题
第1部分 上海师范大学高等代数考研真题
2007年上海师范大学高等代数考研真题
2005年上海师范大学461高等代数考研真题（含答 案）
目 录
第1部分 上海师范大学高等代数考研真题 2007年上海师范大学高等代数考研真题 2005年上海师范大学461高等代数考研真题（含答案） 2004年上海师范大学448高等代数考研真题（含答案） 2003年上海师范大学444高等代数考研真题（含答案） 2002年上海师范大学438高等代数考研真题（含答案） 2001年上海师范大学432高等代数考研真题
2021-2022年部分高校高等代数考研真题
A
=
1 0 2
−1 1 3
−1 0 1
2 0 −1
1 −2 −2 −1
求 A 的包含 ε1 的最小的不变子空间.
3 1 −1 3. 求 A = −1 3 1 的若尔当标准形及有理标准形.
022
二、证明题.
1. 已知向量组 α1, α2, · · · , αr 线性无关, 且可由向量组 β1, β2, · · · , βs 线性表 出, 证明: 存在某个向量 βj (1 ≤ j ≤ s), 使得向量组 βj, α2, · · · , αr 线性无关.
1 2
1 1
c −2 0
112
(1) 若 A 有特征值 4, 1, −2 , 求 a, b, c. (2) 设 α = (1, k, 1)T 是 B−1 的一个特征向量, 求 k .
五、(15 分) 设 A, B 都是 n 阶实对称矩阵, 且 A 正定, 证明: AB 的特征值 都是实数.
六、(15 分) 设 σ 是 n 维线性空间 V 上的一个线性变换, 证明: σ 的秩 +σ 的零度 = n.
1
北京交通大学 2022 年高等代数考研真题
北京交通大学 2022 年高等代数考研真题
一、填空题 (每题 3 分)
1. 2n 级排列 13 · · · (2n − 1)(2n)(2n − 2) · · · 42 的逆序数为
.
2. 设 4 阶方阵 A, B 的伴随矩阵为 A∗, B∗, 且它们的秩为 r(A) = 3, r(B) =
1
2x1 3x1
+ 3x2 + 5x2
+ (a + 2)x3 + 4x4 = b + 3 + x3 + (a + 8)x4 = 5
上海大学高等代数历年考研真题
2000上海大学 高等代数(一) 计算行列式:acccb ac cb b a cb b b a⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (二) 把二次型414332214321),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=用非退化线性替换化成平方和.(三) B A ,分别为m n ⨯和m n ⨯矩阵, n I 表示n n ⨯单位矩阵.证明: m n ⨯阶矩阵n A I X B ⎛⎫=⎪⎝⎭可逆当且仅当B A 可逆，可逆时求出X 的逆. (四) 设12,n e e e ⋅⋅⋅是n 维线性空间n V 的一组基，对任意n 个向量12,n a a a ⋅⋅⋅n V ∈，证明：存在唯一的线性变换A ，使得(),1,2i i A e a i n ==⋅⋅(五) 设A 是n 维线性空间V 的线性变换，求证：1(0)V A V A -=⊕当且仅当若12,r a a a ⋅⋅⋅为A V 的一组基则12,r A a A a A a ⋅⋅⋅是2()A V 的一组基. (六) 设A 为2级实方阵，适合21001A -⎛⎫=⎪-⎝⎭，求证：A 相似于0110-⎛⎫⎪⎝⎭. (七) 已知,f g 均为线性空间V 上线性变换，满足22,f f gg ==试证：（1）f 与g 有相同的值域⇔,fg g g f f ==. （2）f 与g 有相同的核⇔,fg f g f g ==.2001上海大学 高等代数（一）计算行列式：231212123n n n x a a a a x a a a a x a a a a x（二）设A 为3阶非零方阵，且20A =.（1）求证：存在123,,a a a ，123,,b b b ，()121233a A a b b b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（2）求方程组0A X =的基础解系.（三）用正交的线性替换化二次行2221231231323(,,)3244f x x x x x x x x x x =++--为标准形（四）设A 为n m ⨯阶实矩阵，且()()r A m n m =≥.若'2'()A A a A A =，求证'm A A a E =.（五）设A 是n （n 为奇数）维线性空间V 上线性变换，若10,0n nAA-≠=求证：存在a V ∈，使2211,,,,n n n a A a A a A a Aa Aa Aa a ---++++ 为V 的一组基，并求A 在此组基下的矩阵.（六）设A 是欧式空间V 上的对称变换.求证：对任意0a ≠，都有()0,0a A a a ≠<⇔A 的所有特征值都小于0. （七）设A a B aβ-⎛⎫=⎪⎝⎭，其中A 为n 阶负定矩阵，a 为n 维列实向量，β为实数.求证B 正定的充分必要条件为'10a A a β-+>.（八）若A 是正交阵，且A -特征值为1的重数是S ，求证：(1)sA =-（A 为A 的行列式）.2002 上海大学 高等代数（一）计算行列式：若1232nx a a a ax a aA B aa x a aaax ==，求AB A BA ⎛⎫=⎪⎝⎭. （二）设A 是n 阶可逆方阵，0A A B A ⎛⎫=⎪⎝⎭. （1）计算kB （K 是整数），（2）假设100110111A =，C 为6阶方阵，而且2BC C E =+，求C .（三）设(1)(1)(1)(1)p p p n p pp n p p A p n p p p n pppp--------=--------，A 是n 阶矩阵（0p ≠），求0A X =的基础解系.（四）构造一个3阶实对称方阵A ，使其特征值为1，1，-1.并且对应的特征值有特征向量(1,1,1)，(2,2,1).（五）设向量组A ：123,,n a a a a ⋅⋅的秩为r （r n <），则A 中任意r 个向量线性无关的充分必要条件为：对任意向量121,,r i i i a a a + ，若1211210r i i rika k a k a ++++= ，则121,r k k k +或全为0或全不为0.（六）设A 为n 阶正定矩阵，n m B ⨯为秩为m 的实矩阵，求证'B A B tE +（0t >，E 为单位矩阵）为正定矩阵.（七）设A 为欧式空间V 上的线性变换，且2A E =.（1）求证：A 是V 上的正交变换的充分必要条件为A 是V 上的对称变换. （2）设{}1,V a a V A a a =∈=，求证：12V V V =+是直和.（八）设A 为n 阶实正交矩阵，123,,n a a a a ⋅⋅为n 维列向量，且线性无关，若12,n A E a A E a A E a +++ 线性无关，则1A =.2003上海大学 高等代数（一）计算行列式：x a a a ax a aA a a x a aaax=（A 为n 阶矩阵），2AA B AA ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求A （2）求B（二）设A 为21n k =+阶反对称矩阵，求A .（三）设,A B 为n 阶整数方阵（,A B 中元素为整数），若A B E A =- （1）求证：1A =±，（2）若200120232B -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求A . （四）设12(,)n A a a a = 为n 阶方阵，()1r A n =-，且121n n a a a a -=++ 121n n a a a a β-=+++ ，求A X β=的解.（五）设A 是n 阶可逆方阵，且A 每行元素之和为a ，求证：k A -的每行元素之和为ka -（k 为正整数）（六）设A 为n 阶正交矩阵，若.证明：存在正交矩阵G 使1rs E GA G E -⎛⎫=⎪-⎝⎭. （七）设2A A =，且A 为n 阶方阵，()R A r =.（1）求证：2rE A += （2）求证：()()R A R A E n +-=（3）若1r =，求0A X =的解.（八）构造一个3阶实对称方阵A ，使其特征值为2，1，1，且有特征向量(1,1,1). （九）设二次型22221234121314232434()222222f X x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++---（1）求()f X 对应的实对称矩阵A .（2）求正交变换X P Y =，将()f X 化为标准型.（十）设A 是n 维线性空间V 上的线性变换，12,k a a a 是对应的不同特征值12,k λλλ 的特征向量.若12k a a a W ++∈ ，而W 是A 的不变子空间，则有维（W ）k ≥ （十一）设B 为欧式空间V 上的变换，A 为欧式空间V 上的线性变换且有：(,)(,),,A a a B a V βββ=∀∈.证明：（1）B 为欧式空间V 上的线性变换. （2）1(0)()A B V -⊥=2004 上海大学 高等代数（一）设n 阶可逆方阵()ij A a =中每一行元素之和为(0)a a ≠，证明：（1）11(1,2)nij j A aA i n -===∑ ，其中i j A 为ij a 的代数余子式.（2）如果ij a 都是整数(1,2)i n = ，则a 整除A . （二）设1212121n n nn n a a a a A b b b b -⨯-⎛⎫= ⎪⎝⎭为实矩阵，且()2r A =. （1）求行列式'E A A λ-.（2）求'0A A X =的解（X 是n 维列向量）.（三）设,A B 为n 阶整数方阵，若2B E A B =-.（1）求证：21A B+=.（2）若100110231B -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求1(2)A B -+. （四）若A 为非零的半正定矩阵，B 为正定矩阵，求证： （1）求证：存在实矩阵T ，使'T T B =. （2）1A E +>. （3）A B B +>.（五）设λ为A 的特征值的最小者.求证:对任意的n 维列向量a ,有''a A a a a λ≥. (六) 设123,,λλλ为3阶方阵A 的特征值,且()()()111,011,01分别为其对应的特征向量,求nA .(七) V 是n 维欧氏空间, σ是n 维空间V 上的线性变换,如果1231,,n a a a a - 是V 中1n -个线性无关的向量,且(),σββ分别与1231,,n a a a a - 正交(β不为0).求证: β为σ的特征向量.(八)设3223303060303A B ⨯⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求证： （1）()()2r A r B == （2）题型与钱吉林书习题类示。
全国名校高等代数考研真题汇编(含部分答案)
考生注意： 1.本 试 卷 满 分 为 150 分，共计10道题，每题满分15 分，考试时间总计180 分钟；
2.答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸 上均无效。
一、设 是 阶单位矩阵， ，证明 的行列式等于 .
，矩阵 满足
二、设 是 阶幕零矩阵满足
，
.证明所有的 都相似于一个对角矩阵，
的特征值之和等于矩阵 的秩.
3.南开大学高等代数考研真题 2012年南开大学804高等代数考研真题 2011年南开大学802高等代数考研真题
4.厦 门 大 学 825高等代数考研真题 2014年厦门大学825高等代数考研真题 2013年厦门大学825高等代数考研真题 2012年厦门大学825高等代数考研真题 2011年厦门大学825高等代数考研真题
有
证明：
(1)
.
(2) 是 的不变子空间，则 也是的 不变子空间.
10.四川大学高等代数考研真题及 详解
2013年四川大学931高等代数考研真 题及详解
2011年四川大学高等代数考研真题
11.浙江大学高等代数考研真题
2012年浙江大学601高等代数考研真题
浙江大学2012年攻读硕士学位研究生入学试题 考试科目：高等代数（601）
5.中 山 大 学 877高等代数考研真题
2015年中山大学877高等代数考研真题 2014年中山大学874高等代数考研真题 2013年中山大学869高等代数考研真题 2012年中山大学869高等代数考研真题 2011年中山大学875高等代数考研真题 6.中南大学高等代数考研真题 2011年中南大学883高等代数考研真题 7.湖南大学高等代数考研真题 2013年湖南大学813高等代数考研真题 8.华 东 师 范 大 学 817高等代数考研真题 2013年华东师范大学817高等代数考研真题 2012年华东师范大学817高等代数考研真题 2011年华东师范大学817高等代数考研真题 9.华中科技大学高等代数考研真题及详解 2013年华中科技大学高等代数考研真题 2012年华中科技大学高等代数考研真题及详解 2011年华中科技大学高等代数考研真题 10.四川大学高等代数考研真题及详解 2013年四川大学931高等代数考研真题及详解 2011年四川大学高等代数考研真题 11.浙江大学高等代数考研真题 2012年浙江大学601高等代数考研真题
上海师范大学2016-2020年研究生入学考试高等代数试题选讲（讲稿+视频链接）
上海师范大学2016-2020年研究生入学考试高等代数试题选讲（讲稿+视频链接）上海师范大学 2016-2020 年研究生入学考试高等代数试题选讲（讲稿+视频链接）主讲人:王乐炀视频链接(B 站):https:///video/BV15M4y1g74X讲稿截图:上师大数理学院简介上海师范大学数理学院下设数学系和物理系，涉及数学、物理学、天文学三个一级学科。
其中数学学科和物理学科建立于1954年，是当时上海最早设立数学学科和物理学科的高校之一。
1956年正式成立数学系和物理系，开始招收本科生，培养了中国科学院院士褚君浩教授、上海市首届教育功臣唐盛昌校长、国家杰出青年基金获得者王斌教授等一批杰出人才。
改革开放后，学科获得了长足的发展，1984年开始招收硕士研究生，2000年开始招收博士研究生，培养的研究生多次获上海市研究生优秀成果（学位论文）和全国优秀博士论文提名奖。
目前，学院设有数学博士后流动站、数学一级学科博士点、物理一级学科硕士点、天体物理二级学科硕士点、数学和物理学科教学硕士学位点、统计学专业硕士点，数学与应用数学、信息与计算科学、数理统计、物理学四个本科专业，在校本科生1178人，在校硕士和博士研究生617人（其中博士：49人）。
学院历来重视师资队伍建设。
现有教职167人，有专任教师144人，其中：教授52人（二级教授8人），副教授57人，具有博士学位教师140人，百千万国家人才工程1人，国家杰出青年基金获得者3人，国家优秀青年基金获得者1人，教育部新世纪优秀人才支持计划4人，博士生导师20多人。
是上海师范大学师资力量最雄厚的学院之一。
近年来，学院青年教师在连续三届上海市“青椒”教学比赛中获得好成绩，获得一等奖2名，二等奖1名，由于青年教师在教学比赛中成绩出色，2018年学院获得了“上海市工人先锋号”。
学院围绕人才培养，打造了各类学科平台，现有上海市重点实验室1个、上海市国际合作联合研究中心1个、上海高校E-研究院1个、上海市教委重点实验室1个、上海市高峰学科1个、上海市重点学科1个、校级重点学科和重点实验室6个，主办了《Journal of Applied Analysis and Computations》和《上海中学数学》两本学术期刊，为高层次人才培养奠定了基础。
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上海师大数理学院《861高等代数》配套考研真题一、上海师范大学高等代数考研真题
二、线性空间
一、选择题
1．下面哪一种变换是线性变换（）．[西北工业大学研]
A．B． C．
【答案】C查看答案
【解析】不一定是线性变换，比如则也不是线性变换，比如给而不是惟一的．
2．在n维向量空间取出两个向量组，它们的秩（）．[西北工业大学研]
A．必相等B．可能相等亦可能不相等C．不相等
【答案】B查看答案
【解析】比如在中选三个向量组
(I)：0
(Ⅱ)
(Ⅲ)．
若选（I）（II），秩秩（II），从而否定A，若选（Ⅱ）（Ⅲ），秩（Ⅲ）＝秩（Ⅱ），从而否定C，故选B．
二、填空题
1．若
则V对于通常的加法和数乘，在复数域C上是______维的，而在实数域R上是______维的．[中国人民大学研]
【答案】2；4．查看答案
【解析】在复数域上令；则是线性无关的．
则
此即证可由线性表出．
在实数域上，令
若，其中，则
此即在R上线性关．
可由线性表出，所以在实数域R上，有
三、分析计算题
1．设V是复数域上n维线性空间，V1和V2各为V的r1维和r2维子空间，试求之维数的一切可能值．[南京大学研]
解：取的一组基，再取的一组基则
＝秩
2．设U是由生成的的子空间，W是由生成的的子空间，求
（1）U＋W：
（2）L∩W的维数与基底．[同济大学研]
解：（1）令
可得．所以
由于为的一个极大线性无关组，因此又可得
且，故为U＋W的一组基．
（2）令
因为秩＝3．所以齐次方程组①的基础解系由一个向量组成：
再令，则
故ζ为U∩W的一组基．
3．设A是数域K上的一个m×n,矩阵，B是一个m维非零列向量．令
（1）证明：W关于K n的运算构成K n的一个子空间；
（2）设线性方程组AX＝B的增广矩阵的秩为r．证明W的维数dimW＝n－r ＋1：
（3）对于非齐次线性方程组
求W的一个基．[华东师范大学研]
证明：（1）显然W≠，又
因为存在t1，t2使Aα＝t1B，Aβ＝t2B．所以
即kα＋lβ∈W，此说明W是K n的子空间．
（2）对线性方程组（A，B）X n＋1＝0，由题设，其解空间V的维数为（n＋1）－r（A，B）＝n－r＋1．
任取α∈W，存在t∈K，使
所以是线性方程组（A，B）X n＋1＝0的解．
这样，存在W到V的映射，显然，这是W形到V的一个双射．又α1，α2∈W，k∈K，存在t1，t2∈K，使Aα1＝t1B，Aα2＝t2B，则
所以
且
可见W与V同构，从而有dim W＝dim V＝n－r＋1．
（3）由（2）W与如下齐次线性方程组解空间同构．
该方程组的一个基础解系为：
其在σ之下原像
即为W的一组基．
4．设V 1，V2均为有限维线性空间V的子空间，且，则和空间与另一个重合．[上海交通大学研]
证明：因为
所以
由题设
所以
即
当时，由得
此时
当时
因为，所以，此时
5．设V是数域K上n维线性空间，V1,…,Vs是V的s个真子空间，证明：（1）存在，使得
（2）存在V中一组基，使[北京大学研]
证明：（1）因V 1,…,Vs是V的真子空间，由上例，存在
（2）令，同样有且显然，线性无关．令，则存在，且线性无关，如此继续下去，可得线性无关向量组（构成V的基），且有
6．设V是定义域为实数集R的所有实值函数组成的集合，对于f，g∈V，a∈R，分别用下列式子定义f＋g与af：
则V成为实数域上的一个线性空间．
设f0（x）＝1，f1（x）＝cosx,，f2（x）＝cos2x，f3（x）＝cos3x，
（1）判断f0，f1，f2，f3是否线性相关，写出理由；
（2）用＜f，g＞表示f，g生成的线性子空间，判断＜f0，f1＞＋＜f2，f3＞是否为直和，写出理由．[北京大学研]
解：（1）令k0f0＋k1f1＋k2f2＋k3f3＝0，分别取x＝0，
得
解之得k0＝k1＝k2＝k2＝0，说明f0，f1，f2，f3线性无关．
（2）因为＜f，g＞＝L（f，g），所以
从而
又，故L（f0，f1，f2，f3）是＜f0，f1＞与＜f2，f3＞的直和．。