“0度角”的陷阱

“0度角”的陷阱
作者：粟多智
来源：《中学教学参考·理科版》2010年第09期
【题1】(人教版高中数学第二册(上)复习参考八B组第5题)
两定点的坐标分别为A(-1,0),B(2,0),动点M满足条件∠MBA=2∠MAB,求动点M的轨迹方程.
错解:如图1,设∠MBA=α,∠MAB=β(α>0,β>0),点M的坐标为(x,y).
∵α=2β,
∴tanα=tan2β=2tanβ1-tan2β
.
图1
当点M在x轴上方时,
tanα=-yx-2,tanβ=yx+1
,
所以,-yx-2=2yx+1
1-y2(x+1)2
,
即3x2-y2=3.
当点M在x轴下方时,tanα=yx-2,tanβ=-yx+1,仍可得上面方程.
又α=2β,
∴|AM|>|BM|.
因此点M一定在线段AB垂直平分线的右侧,所求的轨迹方程为双曲线3x2-y2=3的右支,且不包括x轴上的点.
分析:此解答是错误的,它忽略了当∠MBA=∠MAB=0°时,即点M在线段AB上时也符合条件.
所以此题的正确结果应为:
①当∠MBA=α,∠MAB=β(α>0,β>0)时,轨迹方程为3x2-y2=3(x>0且y≠0);
②当∠MBA=∠MAB=0°时,轨迹方程为-1
【题2】
设O为平面直角坐标系的原点,已知定点A(3,0),动点B在曲线x2+y2=1上运动,∠AOB的平分线交线段AB于点M,求动点M的轨迹方程.
错解:设
∵OM是∠AOB的平分线,
∴M分所成的比λ=|AM||MB|=|OA||OB|=3
.
由定比分点坐标公式得
,
解得-
.
∵点在曲线x2+y2=1上,
∴x22即(4x-33)2+(4y3)2=1,
化简得(4x-3)2+16y2=9.
故动点M的轨迹方程为(4x-3)2+16y2=9.
图2
分析:此解答是错误的,忽略了当点在B(1,0)时,∠AOB的平分线与线段AB有无数个交点,即为线段AB.
所以此题的正确结果为:
①当∠AOB≠0°时,动点M的轨迹方程为(4x-3)2+16y2=9(x≠32).
②当∠AOB=0°时,动点M的轨迹方程为
这两道题都是忽略了0度角的存在,而造成了解答的不完善.希望读者在今后的解题中要注意类似的细节处理,避免错误的发生.
(责任编辑金铃)。