高中数学第二章等式与不等式2.2.1不等式及其性质人教B版必修第一册

2.2.1 不等式及其性质
[A 基础达标]
1．下列说法正确的是( )
A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd
B ．若1a >1b
，则a <b C ．若b >c ，则|a |b ≥|a |c
D ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d
解析：选C.A 项：a ，b ，c ，d 的符号不确定，故无法判断；B 项：不知道ab 的符号，无法确定a ，b 的大小；C 项：|a |≥0，所以|a |b ≥|a |c 成立；D 项：同向不等式不能相减．
2．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 解析：选A.(a －b )·a 2<0，则必有a －b <0，即a <b ；而a <b 时，不能推出(a －b )·a 2<0，
如a ＝0，b ＝1，所以“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的充分不必要条件．
3．若y 1＝3x 2－x ＋1，y 2＝2x 2＋x －1，则y 1与y 2的大小关系是( )
A ．y 1<y 2
B ．y 1＝y 2
C ．y 1>y 2
D ．随x 值变化而变化 解析：选C.y 1－y 2＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x －1)
＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，
所以y 1>y 2.故选C.
4．已知a >b >0，则下列不等式一定成立的是( )
A ．a ＋1b >b ＋1a
B ．a ＋1a
≥b ＋1b C.b a >b ＋1a ＋1
D ．b －1b >a －1a 解析：选A.因为a >b >0，所以1b >1a >0，所以a ＋1b >b ＋1a
，故选A. 5．设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是( )
A ．ab >bc
B ．ac >bc
C ．ab >ac
D ．a |b |>c |b |
解析：选C.因为a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，
所以a >0，c <0，b 可正、可负、可为零．
由b >c ，a >0知，ab >ac .故选C.
6．给出四个条件：①b >0>a ，②0>a >b ，③a >0>b ，④a >b >0，能推得1a <1b
成立的是________． 解析：1a <1b ⇔b －a ab
<0，所以①②④能使它成立． 答案：①②④
7．若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________．
解析：(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)
＝(a 1b 1－a 1b 2)＋(a 2b 2－a 2b 1)
＝a 1(b 1－b 2)＋a 2(b 2－b 1)
＝(a 1－a 2)(b 1－b 2)，
因为a 1<a 2，b 1<b 2，
所以a 1－a 2<0，b 1－b 2<0，
所以(a 1－a 2)(b 1－b 2)>0，
所以a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.
答案：a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1
8．已知三个不等式①ab >0；②c a >d b ；③bc >ad .若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．
解析：①②⇒③，③①⇒②.(证明略)
由②得bc －ad ab
>0，又由③得bc －ad >0.所以ab >0⇒①.所以可以组成3个正确命题． 答案：3
9．已知a ，b ∈R ，a ＋b >0，试比较a 3＋b 3与ab 2＋a 2b 的大小．
解：因为a ＋b >0，(a －b )2≥0，
所以a 3＋b 3－ab 2－a 2b ＝a 3－a 2b ＋b 3－ab 2＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )(a －b )(a ＋b )＝(a －b )2(a ＋b )≥0，
所以a 3＋b 3≥ab 2＋a 2
b .
10．已知－2<a ≤3，1≤b <2，试求下列代数式的取值范围．
(1)|a |；(2)a ＋b ；(3)a －b ；(4)2a －3b .
解：(1)|a |∈[0，3]．
(2)－1<a ＋b <5.
(3)依题意得－2<a ≤3，－2<－b ≤－1，
相加得－4<a －b ≤2.
(4)由－2<a ≤3，得－4<2a ≤6，①
由1≤b <2，得－6<－3b ≤－3，②
由①②得，－10<2a －3b ≤3.
[B 能力提升]
11．(2019·河南省实验中学月考)若1a <1b
<0，则下列结论中不正确的是( ) A ．a 2<b 2
B ．ab <b 2
C ．a ＋b <0
D ．|a |＋|b |>|a ＋b | 解析：选D.因为1a <1b
<0，所以b <a <0，所以b 2>a 2，ab <b 2，a ＋b <0，所以A ，B ，C 均正确，因为b <a <0，所以|a |＋|b |＝|a ＋b |，故D 错误，故选D.
12．若α、β满足－π2<α<β<π2
，则2α－β的取值范围是( ) A ．－π<2α－β<0
B ．－π<2α－β<π
C ．－3π2<2α－β<π2
D ．0<2α－β<π
解析：选C.由－π2<α<β<π2，得－π<α－β<0，又－π2<α<π2，所以－32
π<α＋(α－β)<π2，即－32π<2α－β<π2
. 13．已知0<a <b 且a ＋b ＝1，试比较：
(1)a 2＋b 2
与b 的大小；
(2)2ab 与12
的大小． 解：(1)因为0<a <b 且a ＋b ＝1，
所以0<a <12
<b ， 则a 2＋b 2－b ＝a 2＋b (b －1)＝a 2－ab ＝a (a －b )<0，
所以a 2＋b 2<b .
(2)因为2ab －12＝2a (1－a )－12
＝－2a 2＋2a －12
＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a ＋14 ＝－2⎝ ⎛⎭
⎪⎫a －122
<0， 所以2ab <12
.
14．若bc －ad ≥0，bd ＞0，求证：a ＋b b ≤c ＋d d
. 证明：⎩
⎪⎨⎪⎧bc －ad ≥0⇒bc ≥ad bd >0⇒1bd >0⇒c d ≥a b ⇒c d ＋1≥a b ＋1⇒c ＋d d ≥a ＋b b ⇒a ＋b b ≤c ＋d d . [C 拓展探究]
15．已知－12<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a ，D ＝11－a
，试判断A 、B 、C 、D 的大小关系．
解：因为－12<a <0，取a ＝－13，则A ＝109，B ＝89，C ＝32，D ＝34
，所以猜想C >A >B >D .则只需说明B －D >0，A －B >0，C －A >0即可．
因为B －D ＝1－a 2－11－a ＝a 3－a 2－a 1－a ＝a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122
－541－a ， 又－12<a <0，所以1－a >0，－1<a －12<－12
， 所以14<⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122<1，故⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122－54
<0. 所以a ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122－541－a
>0，所以B >D . 因为A －B ＝1＋a 2－1＋a 2＝2a 2>0，所以A >B .
因为C －A ＝11＋a －(1＋a 2)＝－a （a 2
＋a ＋1）1＋a ＝－a ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋341＋a ，
又1＋a >0，－a >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34
>0， 所以－a ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋341＋a >0，所以C >A .
综上可知，A 、B 、C 、D 的大小关系是C >A >B >D .。