云南省曲靖市第一中学高三4月高考复习质量监测卷(七)

云南省曲靖市第一中学2018届高三4月高考复习质量监测卷（七）
文科数学
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合2
{|1}A x x =≤，2{|log 1}B x x =≤，则A
B =（ ）
A ． (1,2]
B ．(0,1]
C ． [1,1]-
D ．(0,2]
2.如图所示的程序中，如果输入的x 等于2018，程序运行后输出的结果是（ ）
A ．2018
B ．-2018
C ．2019
D ．-2019 3.已知复数2()z ai a R =+∈，则|(1)|4i z -=，则a 的值为（ ） A ． 2 B ．2± C ．0 D ． 1±
4.若抛物线2
x y =在1x =处的切线的倾斜角为θ，则sin 2θ=（ ）
A ．
45 B ．12 C.45- D ．12
- 5.已知P ：函数()(1)x
f x a =-为增函数，1:[,1]2
q x ∀∈，10ax -≤，则p 是q ⌝的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
6.如图，正方形BCDE 和ABFG 的边长分别为2a ，a ，连接CE 和CG ，在两个正方形区域内任取一点，则该点位于阴影部分的概率是（ ）
A ．
35 B ．38 C.310 D ．320
7.一个几何体的三视图如图所示（两个矩形，一个直角三角形），则这个几何体的体积是（ ）
A ． 72
B ．48 C. 27 D ．36
8.若直线:2(0,0)l ax by a b -=>>平分圆2
2
240x y x y +-+=，则11
a b
+的最小值为（ ）
A
．．
2 C.
1
(32
+ D
．3+9.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c +=，3sin 5sin C B =，则角A =（ ）
A ．
3
π
B ．23π C. 34π D ．56π
10.若不等式20
22020
x y x y x y m +-≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-+≥⎩
，表示的平面区域为三角形且其面积等于43，则12z x y =-的
最小值为（ ） A ． -2 B ．5
3
-
C.-3 D ．1 11.设双曲线22
143
x y -=的左、右焦点分别为21,F F ，过2F 的直线交双曲线右支于,A B 两点，则11||||AF BF +的最小值为（ ）
A ．16
B ． 12 C. 11 D ．
19
2
12.不等式x
e x ax +>的解集为P ，且[0,2]P ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ． (,1)e -∞- B ．(1,)e -+∞ C. (,1)e -∞+ D ．(1,)e ++∞ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量(2,1)a =，(,2)b x =-，()a a b ⊥+，则实数x 的值是 ．
14.将容量为n 的样本中得数据分成5组，绘制频率分布直方图，若第1至第5个长方形得面积之比为3：3：6：2：1，且最后两组数据的频数之和等于20，则n 的值等于 ．
15.已知函数()cos(2)(||)2
f x x π
θθ=+<
的图像向左平移
3
π
个单位长度后关于原点对称，则()12
f π
的值等于 ． 16.已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线:20
l x y -=交椭圆于,A B 两点，若||||2AF BF +=，点P 到直线l
取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 记n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知1
22n n S n +=--，数列{}n b 满足2log (1)n n b a =+.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列1
1
{
}n n b b +的前n 项和n T . 18. 某地随着经济的发展，居民收入逐年增大，下表是该地一农业银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如下表：
为了研究方便，工作人员将上表的数据进行了处理，2012t x =-，得到下表：
（1）求y 关于t 的线性回归方程； （2）求y 关于x 的线性回归方程；
（3）用所求回归方程预测，到2020年底，该地储蓄存款额大约可达多少？
（附：线性回归方程y bx a =+，^
1
22
1
()n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
n x ==-=
-∑∑，x b
y a ^^-=） 19. 在四棱锥P ABCD -中，AD AB ⊥，//AD BC ，PDA ∆，PAB ∆都是边长为1的正三角形.
（1）证明：平面PDB ⊥平面ABCD ； （2）求点C 到平面PAD 的距离.
20. 已知抛物线2
:2C x y =，直线:2l y x =-，设P 为直线l 上的动点，过P 作抛物线的两条切线，切点分布为,A B .
（1）当点P 在y 轴上时，求线段AB 的长； （2）求证：直线AB 恒过定点. 21. 已知函数1
()ln (1)()f x a x a x a R x
=+-+
∈. （1）1a >时，求函数()f x 的单调区间； （2）设,[
1,3]m n ∃∈，使不等式|()()|(ln3)(2)2ln3f m f n k a ->+--对任意的(2,4)a ∈恒
成立，求实数k 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知直线l 过点)6
A π
且倾斜角为
3
π
. （1）求直线l 的极坐标方程；
（2）若以直线Ox 为x 轴，O 为原点建立直角坐标系，曲线C 的参数方程为2
2x t y t
⎧=⎨=⎩（t 为参
数），直线l 交曲线C 于,A B 两点，求弦长||AB . 23.选修4-5：不等式选讲 设函数()|21|,f x x x x R =++∈. （1）求不等式()5f x ≤的解集；
（2）若()()|1|g x f x ax x =---，0a >，求()g x 的值域.
试卷答案
一、选择题
1-5: BDBAA 6-10:CDCBA 11、12：CC 二、填空题
13. 3
2-
14. 100 15. 1 16. 0⎛ ⎝⎦
三、解答题
17. 解：（Ⅰ）∵122n n S n +=--， 当1n =时，111a S ==；
当n 2≥时，1n n n a S S -=-，∴21n n a =-， 1n =时也满足21n n a =-=1，
∴21n n a =-．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知21n n a =-，
∵2log (1)n n b a =+，∴2log (2)n n b n ==， ∴
11111(1)1n n b b n n n n +==-++，∵122334
1
111
1
n n n T b b b b b b b b +=+++
+
， ∴111111*********
111
n n
T n n n n =-
+-+-++
-=-=
+++． 18. 解：（Ⅰ）3t =，36
7.25y ==，51120i i i t y ==∑，5
21
55i i t ==∑，
∵1
22
1
ˆn
i i
i n
i
i x y
nx y b
x
nx ==-=-∑∑，∴120537.2ˆ 1.25559
b
-⨯⨯==-⨯， ∵ˆˆa
y bx =-，∴ˆ7.2 1.23 3.6a =-⨯=， ∴ 1.2 3.6y t =+．
（Ⅱ）∵2012t x =-与 1.2 3.6y t =+，
∴ 1.2(2012) 3.6y x =-+，即 1.22410.8y x =-． （Ⅲ）将2020x =代入 1.22410.8y x =-，有13.2y =， 所以到2020年底，该地储蓄存款额大约可达13.2亿元． 19. （Ⅰ）证明：如图，
连接BD ，∵PAB △，PAD △都是正三角形， ∴1AD AB PD PB ====，
设O 为BD 的中点，∴PO BD ⊥，AO BD ⊥，
在Rt ADB △中，1AD AB ==，∴BD =，
∵O 为BD 的中点，∴OA =
，
在等腰PDB △中，1PD PB ==，BD ，∴PO ，
在POA △中，PO =
，OA =1PA =， ∵222PO OA PA +=，∴PO OA ⊥，
又∵PO BD ⊥，BD OA O BD ABCD OA ABCD =⊂⊂，平面，平面， ∴PO ⊥平面ABCD ， 又∵PO ⊂平面PDB ， ∴平面⊥PDB 平面ABCD ．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知DO PO =
设点C 到平面PAD 的距离为d ，则ACD P PAD C V V --=，
即2111111332d ⨯=⨯⨯⨯
∴d =
∴点C 到平面PAD
20. （Ⅰ）解：设21112A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，22212B x x ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，，
2
12
y x =
的导数为y x '=， 以A 为切点的切线方程为21111()2y x x x x -=-，即2111
2y x x x =-，
同理以B 为切点的切线方程为2
2212
y x x x =-，
∵(02)P -，在切线方程上， ∴21122x -=-，2
2122
x -=-，
∴22
12
124(0)x x x x ==<，AB x ∥轴， ∴12|||||22|4AB x x =-=+= （Ⅱ）证明：设()P x y ，，
由（Ⅰ）得211222
12
12
y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，
∴121222x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭，，
由已知直线AB 的斜率必存在，设AB 的方程为y kx b =+， 由2
12
y kx b y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，
，得2220x kx b --=， ∴122x x k +=，122x x b =-， ∴()P k b -，，
由P 在直线2y x =-上可得2b k =-，
则AB 方程为(2)y kx k =+-，即(1)20k x y -+-=， ∴直线AB 过定点(1，2)．
21. 解：（Ⅰ）已知函数定义域为(0)+∞，，
2222
1(1)1(1)[(1)1]
()1a a x ax x a x f x a x x x x -+---+'=-+-==
， 已知1a >，令()0f x '=，11x =，21
1
x a =-，
当2a =时，121x x ==，()0f x '≤，()f x 在(0)+∞，上递减；
当12a <<时，211
11
x x a =
>=-， ∴()f x 在(01)，上递减，在111a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，上递增，在11a ⎛⎫
+∞
⎪-⎝⎭
，上递减， 当2a >时，121
11
x x a =>=
-， ∴()f x 在101a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，上递减，在111a ⎛⎫
⎪-⎝⎭
，上递增，在(1)+∞，上递减． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当(24)a ∈，时，()f x 在(1)+∞，上递减， 当[13]x ∈，时，max ()(1)112f x f a a ==-+=-， min 110
()(3)ln333ln3333
f x f a a a a ==++-=-+，
原问题等价于：对任意的(24)a ∈，，
恒有10(ln 3)(2)2ln 32ln 333k a a a a ⎛⎫
+--<--+- ⎪⎝⎭
成立， 即4
2466(2)883223(2)3(2)3(2)
a
a a k a a a a ----->===------，
当4a =时，463(2)a a --取得最大值10
3
-，
∴103
k >-
． 22. 解：（Ⅰ）设l 上动点()M l ρθ，，与x 轴交于B ，则1OB =， 又在△OMB
中，
1πsin 2π
π3sin sin 3
3ρ
ρθθ⎛⎫
=
⇒-= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪
⎝⎭
（Ⅱ）C 的普通方程是24y x =与l
的直角坐标方程y =-
240y --=，2=8∆，
16
||.3
AB ==∴ 23. 解：（Ⅰ）4
()5|21|5521563
f x x x x x x x ⇒+-⇒-+-⇔-≤≤≤≤≤≤，
∴其解集为46.3⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦，
（Ⅱ）∵0a >，
1(2)211()|21||1|(2)21(2)22a x x a g x x ax a x x a a x x ⎧
-+⎪⎪
⎪
=+--=+-<⎨⎪
⎪--<-⎪⎩，≥，，≤，，，
221a a ⎛
⎤>-∞+ ⎥⎝⎦∴①当时，其值域是，；
0212a a ⎡⎫
<<--+∞⎪⎢⎣⎭②当时，其值域是，；
2[22]a =-③当时，其值域是，.。